第三节 第二章 连续型随机变量的分布 连续型随机变量 、指数分布 连续型均匀分布 三、正态分布(标准正态分布)
第三节 连续型随机变量的分布 第二章 连续型随机变量: 一、指数分布 二、连续型均匀分布 三、正态分布(标准正态分布)
分布函数 对于非离散型随机变量X,由于其可能取的值不能一个一个 地列举出来,因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律 来描述它。另外,我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一 指定的实数值的概率都等于0。再者,在实际中,对于这样的 随机变量,例如误差￡,元件的寿命T等,我们并不会对误差 E=0.05(mm),寿命T=1251(h)的概率感兴趣,而是考虑误差 落在某个区间内的概率,寿命T大于某个数的概率。因而我们 转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率: P{x1<X≤x2}.但由于 P{x1<X≤x2}=P{Xsx2)}-P{X≤x} 所以我们只需知道P{X≤x} HIGH EDUCATION PRESS 。③ 页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、分布函数 对于非离散型随机变量X，由于其可能取的值不能一个一个 地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律 来描述它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一 指定的实数值的概率都等于0。再者，在实际中，对于这样的 随机变量，例如误差 ε ，元件的寿命T 等，我们并不会对误差 ε = 0.05 (mm),寿命T=1251（h）的概率感兴趣，而是考虑误差 落在某个区间内的概率，寿命T大于某个数的概率。因而我们 转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率： { }. 1 2 P x X x 但由于 { } 1 2 P x X x { }2 P X x { }1 P X x 所以我们只需知道 P{X x}
1定义:设X是一个随机变量x是任意实数则函数F(x)=P(Xx) 称为X的分布函数。 对于任意实数x1,x2(x1<x2),有 P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1 因此,若已知X的分布函数,我们就知道X落在任一区间(x1,x2l 上的概率,在这个意义上说,分布函数完整地描述了随机变量 的统计规律。 分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我们将能用 数学分析的方法来研究随机变量 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标,那么,分布函数 F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞,x上的概率 HIGH EDUCATION PRESS O6-
1.定义: 设X是一个随机变量,x是任意实数,则函数 F(x) = P(X≤x) 称为X的分布函数。 因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间(x1 , x2 ] { } { } { } ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 P x X x P X x P X x F x F x 对于任意实数 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ，有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量 的统计规律。 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们将能用 数学分析的方法来研究随机变量。 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-∞, x]上的概率
2.性质 (1)分布函数是一个不减函数:当x1<x2时,有Fx1)≤F(x2 对于任意实数x1,x2(x1<x2),有 F(2-F(X1=P(x<Xsx2 (2)0≤F(x)≤1,且F(-∞)=limF(x)=0F(∞)=1imF(x)=1 x→-0 我们只从几何意义上加以说明。在下图中,将区间端点x 沿数轴无限向左移动(即x ),则“随机点X落在点x的左边 这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于0,即有F(-∞)=0; 又若将点无限右移(即x→>∞),则“随机点X落在点x左边”这 一事件趋于必然事件,从而其概率趋于1,即有F(∞)=1 (3)F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束
2. 性质 （1） 分布函数是一个不减函数：当 x1 < x2 时，有 F(x1) ≤ F(x2) 对于任意实数 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ，有 我们只从几何意义上加以说明。在下图中，将区间端点x (3) F(x 0) F(x) , 即 F(x) 是右连续的. F ( x2 ) -F ( x1 ) = P ( x1 < X≤ x2 ) (2) 0 ( ) 1, () lim ( ) 0 F x F F x x 且 () lim ( ) 1 F F x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿数轴无限向左移动（即x→－∞）,则“随机点X落在点x的左边” 这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，即有F(–∞)=0; 又若将点x无限右移（即x→∞)，则“随机点X落在点x左边”这 一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，即有F(∞)=1
例1:设离散型随机变量X的概率函数为 2 0.16 0.48 0.36 求X的分布函数,并求PX X≤3},P≤X≤2 解:X仅在0,1,2三点处其概率不等于0,而Fx)的值是Kx 的累积概率值,由概率的有限可加性,知它即为小于或 等于x的那些xk处的概率pk之和,有 0 0 P{X=0} 0<x<1 F(x)= P{X=0}+P{X=1}1≤x<2 XX HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束
解 : X仅在0，1，2三点处其概率不等于0，而F(x)的值是X≤ x 例1: 设离散型随机变量X的概率函数为 求X的分布函数，并求 , 1 2. 2 3 2 1 , 2 1 P X P X P X 的累积概率值，由概率的有限可加性，知它即为小于或 等于 x 的那些 xk 处的概率 pk 之和，有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 F(x) 0 x 0 P{X 0} 0 x 1 P{X 0} P{X 1} 1 x 2 1 x 2 X 0 1 2 P 0.16 0.48 0.36