第四章 随机变量的 数字特征 「数学期望 推广 方差 矩 协方差与相关系数
第四章 数学期望 方差 协方差与相关系数 矩 推广 随机变量的 数字特征
第一节 第四章 数学期望 定义 性质 、常见的随机变量的数学期望 四、应用 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
一、定义 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、性质 三、常见的随机变量的数学期望 数学期望 第四章 四、应用
分布函数虽然能全面地刻划随机变量的统计规律,是随机 变量概率性质最完整的刻划,然而在许多实际问题中,一方面 由于寻求随机变量的分布函数比较困难,另一方面由于有时 只须知道随机变量的一个或几个分布特征即能解决实际问题, 这就有必要研究描述随机变量某种特征的数量,即随机变量的 数字特征,这些数字特征在理论和实际上都具有重要意义。 例如:考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的 概率分布,就可以知道寿命在任一指定界限内的元件百分率 有多少,这对这种元件寿命提供了一副完整的图景。如后面 将指出,根据这一分布就可以算出元件的平均寿命皿,m这个数 虽则不能对寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要 方面,且往往是人们最关心的一个方面刻划了元件寿命的状况, HIGH EDUCATION PRESS
变量概率性质最完整的刻划,然而在许多实际问题中,一方面 分布函数虽然能全面地刻划随机变量的统计规律,是随机 这就有必要研究描述随机变量某种特征的数量,即随机变量的 数字特征,这些数字特征在理论和实际上都具有重要意义。 例如:考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的 费马 目录 上页 下页 返回 结束 由于寻求随机变量的分布函数比较困难,另一方面由于有时 只须知道随机变量的一个或几个分布特征即能解决实际问题, 概率分布,就可以知道寿命在任一指定界限内的元件百分率 有多少,这对这种元件寿命提供了一副完整的图景。如后面 将指出,根据这一分布就可以算出元件的平均寿命m,m这个数 虽则不能对寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要 方面,且往往是人们最关心的一个方面刻划了元件寿命的状况
因而在应用上有极重要的意义。类似的情况很多,比如我们在 了解某种行业的人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均 收入,这给了我们一个总的印象,至于收入的分布状况,除了特殊 的研究目的,倒反而不一定是最重要的。 那么,随机变量的平均值应怎样定义呢? 设随机变量X的所有可能的取值为x1,x2,…,xn,但预期 X的取值的平均数一般并不等于通常的算术平均数,即对参加 平均的每个值不能一视同仁。这是因为X取每个值的概率一般 不同,必须相应考虑到各取值对平均数的贡献大小。为此,在求 平均数时,每个取值乘上一个代表该值贡献大小的系数,即所谓 的权重系数。 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
因而在应用上有极重要的意义。类似的情况很多,比如我们在 了解某种行业的人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均 收入,这给了我们一个总的印象,至于收入的分布状况,除了特殊 的研究目的,倒反而不一定是最重要的。 那么，随机变量的平均值应怎样定义呢？ 设随机变量X的所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn ，但预期 X的取值的平均数一般并不等于通常的算术平均数,即对参加 平均的每个值不能一视同仁。这是因为X取每个值的概率一般 的权重系数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不同,必须相应考虑到各取值对平均数的贡献大小。为此,在求 平均数时,每个取值乘上一个代表该值贡献大小的系数,即所谓
例如:甲乙两人赌技相同各出赌金100元,约定先胜三局者 为胜取得全部200元现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止,问 赌本该如何分? 设想继续赌两局则结果无非以下四种情况之 甲甲,甲乙,乙甲,乙乙 把已赌过的三局与以上四种结合(即甲,乙赌完五局),我们看出: 前三个结果都是甲先胜三局,只在最后一个结果乙才胜。因此 在赌技相同的条件下,四个结果应有等可能性。因此甲取胜的 (概率)为3/4(这时甲得200元,乙胜的机会为1/4(这时甲得0元)。 所以在甲胜2局乙胜1局的这个情况下,甲能“期望”得到的数 目, 应当确定为: 200×+0×=150(元) 4 4 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
例如:甲乙两人赌技相同,各出赌金100元,约定先胜三局者 为胜,取得全部200元.现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止,问 赌本该如何分? 设想继续赌两局.则结果无非以下四种情况之一: 把已赌过的三局与以上四种结合(即甲,乙赌完五局),我们看出: 前三个结果都是甲先胜三局,只在最后一个结果乙才胜。因此 在赌技相同的条件下,四个结果应有等可能性。因此甲取胜的 甲甲 , 甲乙 , 乙甲 , 乙乙 150( ) 4 1 0 4 3 200 元 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (概率)为3/4(这时甲得200元),乙胜的机会为1/4(这时甲得0元)。 所以,在甲胜2局乙胜1局的这个情况下,甲能“期望”得到的数 目, 应当确定为: