第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 223估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的,滤波器为FIR型,长度 等于M,将(222)式和(223)式代入(224)式,可以得到 Ele(n)F]=El d(n)2]-2h(k)E[x' (n-k)d(n) ∑h(kE[x(n-kd(n)+∑∑h(k)h(1)E[x(n-k)x(m- k=0 (2.225)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.3 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度 等于M，将(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到 ( ) [ ( ) ( )] ( ) (1) [ ( ) ( )] [| ( ) | ] [| ( ) | ] ( ) [ ( ) ( )] * 1 0 1 0 * * 1 0 * 1 0 2 2 * h k E x n k d n h k h E x n k x n i E e n E d n h k E x n k d n M k M i M k M k − − + − − = − − − = − = − = − = (2.2.25)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 上式可以进一步化简得到 M-1 Ee(n)P]=a2-∑h(k2(k)-∑h(k)(k)+∑∑h(k()r2(-k) od -(h)rd(rrd)h+(h*) h od (rd)rrxd+(h-rerxd)]r(h-rwrrd) 可以看出,均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次 函数关系。由于单位脉冲响应h(m)为M维向量,因此均方误差是 个超椭圆抛物形曲面,该曲面有极小点存在。当滤波器工作 于最佳状态时,均方误差取得最小值
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式可以进一步化简得到 ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( *) [| ( ) | ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * T 1 1 * T 1 2 * T * T T 1 0 1 0 * 1 0 * 1 0 2 2 * d xd xx xd xx xd xx xx xd d xd xd xx M k xx M i M k xd xd M k d R R R h R R R h R R h R R h h R h E e n h k r k h k r k h k h i r i k − − − − = − = − = − = = − + − − = − − + = − − + − 可以看出， 均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个二次 函数关系。由于单位脉冲响应h (n)为M维向量，因此均方误差是 一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极小点存在。当滤波器工作 于最佳状态时， 均方误差取得最小值
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 将(22.24)式代入(22.26)式,得到最小均方误差 Ele(n)I min =od - (rd) r rrd =od -(rrd) h (22.27) 例22.1设y(m)=x(mn)+2(n),v2(m)是一白噪声,方差a2=0.1 期望信号x1(n)的信号模型如图2.2.2(a)所示,其中白噪声v(n) 的方差a3=0.27,且b=0.8458。x(m)的信号模型如图2.2.2(b)所 示,b1=0,9458。假定v1(n)与v2(m)、x1(n)与y(mn)不相关,并都是实 信号。设计一个维纳滤波器,得到该信号的最佳估计,要求滤波 器是一长度为2的FIR滤波器
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 将（2.2.24）式代入(2.2.26)式，得到最小均方误差 n d Rxd Rxx Rxd d Rxd hopt E e 2 * T 1 2 * T min 2 [| ( )| ] = −( ) = −( ) − (2.2.27) 例2.2.1 设y(n)=x(n)+v2 (n)，v2 (n)是一白噪声，方差σ 2 2 =0.1。 期望信号x1 (n)的信号模型如图2.2.2（a）所示，其中白噪声v1 (n) 的方差σ 2 1 =0.27，且b0 =0.8458。x(n)的信号模型如图2.2.2（b）所 示，b1 =0.9458。假定v1 (n)与v2 (n)、x1 (n)与y(n)不相关，并都是实 信号。设计一个维纳滤波器，得到该信号的最佳估计，要求滤波 器是一长度为2的FIR滤波器
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 v2(m) v1(n) x,(n x1(n) yn) (b) 图222输入信号与观测数据的模型
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.2.2 输入信号与观测数据的模型 z － 1 x1 v (n) 1 (n) b0 z － 1 x x(n) 1 (n) b1 y(n) v 2 (n) (a) (b)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 解这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程的典型问题,其 关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的 互相关函数 + x, (n) H1(x) H2() yn) 图223维纳滤波器的框图
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 解 这个问题属于直接应用维纳-霍夫方程的典型问题， 其 关键在于求出观测信号的自相关函数和观测信号与期望信号的 互相关函数。 图 2.2.3 维纳滤波器的框图 H1 (z) H2 (z) ＋ v1 (n) x1 (n) x(n) y(n) v 2 (n) ＋ ＋