第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 根据题意,画出这个维纳滤波器的框图,如图22.3所示。 用H1(z)和H2(z)分别表示x1(m)和x(n)的信号模型,那么滤波器的 输入信号x(n)可以看作是v(m)通过H1(z)和H2()级联后的输出, H1()和H2()级联后的等效系统用H(z)表示,输出信号y(n)就等 于x(m)和v2(m)之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵R和 输出信号与期望信号的互相关矩阵Rν是解决问题的关键。相关 函数矩阵由相关函数值组成,已知x(n)与v2(m)不相关,那么 rn(m)=r(m)+r(m)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 根据题意，画出这个维纳滤波器的框图，如图2.2.3所示。 用H1 (z)和H2 (z)分别表示x1 (n)和x(n)的信号模型，那么滤波器的 输入信号x(n)可以看作是v1 (n)通过H1 (z)和H２(z)级联后的输出， H1 (z)和H２(z)级联后的等效系统用H(z)表示，输出信号y(n)就等 于x(n)和v2 (n)之和。因此求出输出信号的自相关函数矩阵Ryy和 输出信号与期望信号的互相关矩阵Ryd是解决问题的关键。相关 函数矩阵由相关函数值组成，已知x(n)与v2 (n)不相关，那么 ( ) ( ) ( ) 2 2 ryy m = rxx m + rv v m
第三章维纳鸿波和卡尔曼逃波 (1)求出期望信号的方差。根据图2,2.2(a),期望信号的时 间序列模型所对应的差分方程为 这里,b=0.8458,由于x1(m)的均值为零,其方差与自相关函数在 零点的值相等。 a2=R(0)=Ex2(m)=Ev(n)-2b(n)x1(m-1)+b2x2(n-1) +bo 0.27 =0.9486 1-b1-(08458)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (1) 求出期望信号的方差。根据图2.2.2(a)，期望信号的时 间序列模型所对应的差分方程为 x1 (n)=v1 (n)-b0x1 (n-1) 这里，b0 =0.8458, 由于x1 (n)的均值为零，其方差与自相关函数在 零点的值相等。 2 2 0 2 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 (0) [ ( )] [ ( ) 2 ( ) ( 1) ( 1)] x x x b R E x n E v n b v n x n b x n = + = = = − − + − 0.9486 1 (0.8458) 0.27 1 2 2 0 2 2 2 1 1 = − = − = = b d x
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 (2)计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自 相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系,已知 时间序列信号模型,就可以求出自相关函数。这里,信号的模 型H()可以通过计算得到。 H(=)=H1(=)H2(=)= (1+0.8458)(1-0.9458z1 这是一个二阶系统,所对应的差分方程为 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(m) 式中,a1=0.1,a2=-0.8。由于v1(m)、v2n)的均值为零,因此, x(m)的均值为0。给方程两边同乘以x(n-m),并取数学期望,得 到 xm)+a1x(m-1)+a2x(m-2)=0m>0(1) rx(0)+a1rx(1)+a2x2(2)=021m=0(2)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (2) 计算输入信号和输出信号的自相关函数矩阵。根据自 相关函数、功率谱密度和时间序列信号模型的等价关系，已知 时间序列信号模型，就可以求出自相关函数。这里，信号的模 型H(z)可以通过计算得到。 (1 0.8458 )(1 0.9458 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 −1 −1 + − = = z z H z H z H z 这是一个二阶系统，所对应的差分方程为 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1 (n) 式中，a1 =-0.1，a2 =-0.8。由于v1 (n)、v2 (n)的均值为零，因此， x(n)的均值为0。给方程两边同乘以x * (n-m)，并取数学期望，得 到 rxx(m)+a1 rxx(m-1)+a2 rxx (m-2)=0 m＞0 (1) rxx(0)+ a1 rxx(1)+a2 rxx(2)=σ 2 1 m=0 (2)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 对方程(1)取m=1,2,得到 (1)+a1rx(0)+a2rx(1) (3) rx(2)+a1rx(1)+a2x(0=0 方程(2)、(3)、(4)联立求解,得 +a 1-0.8 0.27 (0) (+a2)2-a2](1+0.8[(1-0.8)2-(-0.1)2 0.1 =0.5 1+ -0.8 至此,输入信号的自相关矩阵R可以写出: r(0 10.5 R XX r(1)r2(O)0.51
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 对方程（1）取m=1, 2，得到 rxx(1)+a1 rxx(0)+a2 rxx(1)=0 (3) rxx(2)+a1 rxx(1)+a2 rxx(0)=0 (4) 方程（2）、（3）、（4）联立求解，得 0.5 1 0.8 0.1 1 (1) 1 [(1 0.8) ( 0.1) ] 0.27 1 0.8 1 0.8 1 [(1 ) ] 1 (0) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 = − = + − = = − − − + − = + − − + = = a a r a a a a r xx x xx 至此， 输入信号的自相关矩阵Rxx可以写出： = = 0.5 1 1 0.5 (1) (0) (0) (1) xx xx xx xx xx r r r r R
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 2(m)是一个零均值的白噪声,它的自相关函数矩阵呈对 角形,且rn,(0) 0.10 R v2v2 (1)72(O)」L00 因此,输出信号的自相关R,为 rn(0)r2(1)(0)+21()+2()「1105 R 0)0.51
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 v2 (n)是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对 角形， 且 ， 2 2 (0) 2 2 rv v = = = 0 0.1 0.1 0 (1) (0) (0) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v v v v v v v r r r r R 因此，输出信号的自相关Ryy为 = + + + + = = 0.5 1.1 1.1 0.5 (1) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (0) (0) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 xx v v xx v v xx v v xx v v yy yy yy yy yy r r r r r r r r r r r r R