第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 222维纳_霍夫方程 将(22.15)式展开,可以得到 Ex(n-k)d(n)-Eh(m)x'(n-m)=0 将输入信号分配进去,得到 t(-k)=∑h(my2(m-k)k=0,2, 对上式两边取共轭,利用相关函数的性质:F2(-k)=3k),得到 r2(k)=∑h(m)2(k-m)=h(k)*(k)k=0,1,2 (2.220)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2.2 维纳—霍夫方程 将（2.2.15）式展开， 可以得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 * * * = − − − + m= E x n k d n h m x n m 将输入信号分配进去， 得到 ( ) ( ) ( ) 0 * r k h m r m k m d x − = xx − + = k=0, 1, 2, … 对上式两边取共轭，利用相关函数的性质: ryx(-k)=r * xy(k), 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 r k h m r k m h k r k xx m xd = xx − = + = k=0, 1, 2, … (2.2.20)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 (22.20)式称为维纳霍夫( Wiener-Hopf)方程。当h(m)是 个长度为M的因果序列(即h(n)是一个长度为M的FIR滤波器) 时,维纳霍夫方程表述为 r2(k)=∑h(mx(k-m)=h(k)*(k)k=0,1,2, (2.221) 把k的取值代入(22,21)式,得到 当k=0时,h1rx(O)+h2rx(1)++h3x(M-1)=r3(0) 当k=1时,h1rx2(1)+h2rx(O)+.+h1Jx2(M2)=rx(+1) 当k=M1时,hr(M-1)+h2rx(M2)+,+hn3(0)=rx(M1) 2.2.22)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 (2.2.20)式称为维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程。当h(n)是 一个长度为M的因果序列(即h(n)是一个长度为M的FIR滤波器) 时， 维纳-霍夫方程表述为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 r k h m r k m h k r k xx M m xd = xx − = − = k=0, 1, 2, … (2.2.21) 把k的取值代入(2.2.21)式， 得到 当k=0时，h1 rxx(0)+h2 rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0) 当k=1时， h1 rxx(1)+ h2 rxx(0)+…+ hMrxx(M-2)= rxd(+1) 当k=M-1时， h1 rxx(M-1)+ h2 rxx (M-2)+…+hMrxx(0)= rxd(M-1) … (2.2.22)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 定义 h2 R r,(M (1)…rx(M-1) r(0) (0)…rx(M-2) R
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 定义 − − − − = − = = ( 1) ( 2) (0) (0) (0) ( 2) (0) (1) ( 1) ( 1) (1) (0) 2 1 xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xd xd xd xd M r M r M r r r r M r r r M R r M r r R h h h h
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 (2222)式可以写成矩阵的形式,目 rd=rr h (2.223) 对上式求逆,得到 h=Rr (2.224)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 （2.2.22）式可以写成矩阵的形式， 即 Rxd = Rxxh (2.2.23) 对上式求逆，得到 Rxx Rxd h −1 = (2.2.24)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测 数据的自相关函数时,可以通过矩阵求逆运算,得到维纳滤 波器的最佳解。同时可以看到,直接从时域求解因果的维纳 滤波器,当选择的滤波器的长度M较大时,计算工作量很大, 并且需要计算R的逆矩阵,从而要求的存贮量也很大。此外, 在具体实现时,滤波器的长度是由实验来确定的,如果想通 过增加长度提高逼近的精度,就需要在新M基础上重新进行计 算。因此,从时域求解维纳滤波器,并不是一个有效的方法
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测 数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算， 得到维纳滤 波器的最佳解。同时可以看到，直接从时域求解因果的维纳 滤波器， 当选择的滤波器的长度M较大时， 计算工作量很大， 并且需要计算Rxx的逆矩阵，从而要求的存贮量也很大。此外， 在具体实现时，滤波器的长度是由实验来确定的，如果想通 过增加长度提高逼近的精度，就需要在新M基础上重新进行计 算。因此，从时域求解维纳滤波器，并不是一个有效的方法