第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 de(n x(n-j de(n jx(n-j) e(n x (n e(n jx(n-j ab 将(22.10)~(22.13)式代入(22.9)式,得 VEle(n=-2ELx(n-je(n) (22.14)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * jx n j b e n x n j a e n jx n j b e n x n j a e n j j j j = + − = − − = − − = − − 将（2.2.10）～（2.2.13）式代入（2.2.9）式， 得 [| ( )| ] 2 [ ( ) ( )] 2 * j E e n = − E x n − j e n （2.2.14)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 因此 E[x*(n)e(n)]=0产=0,1,2,(2.2.15) 上式说明,均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任 进入估计的输入信号正交,这就是通常所说的正交性原理。它 的重要意义在于提供了一个数学方法,用以判断线性滤波系统 是否工作于最佳状态
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 因此 E［x*(n-j)e(n)］=0 j=0, 1, 2, … （2.2.15） 上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一 进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。它 的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统 是否工作于最佳状态
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 下面计算输出信号与误差信号的互相关函数 E[y(n)e(n)]=EDh(j)x(n-j)e(n) ∑h()E[x(n-j)e(m)](2.2.16) 假定滤波器工作于最佳状态,滤波器的输出yon(m)与期望信号d(n) 的误差为eon(m),把(2215)式代入上式,得到 ELyon (neon ( n)=0 (2.2.17
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 下面计算输出信号与误差信号的互相关函数 + = + = = − = − 0 * 0 * * ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] j j h j E x n j e n E y n e n E h j x n j e n (2.2.16) 假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n) 的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到 [ ( ) ( )] 0 * E yopt n eopt n = (2.2.17)
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 d(n) op op 图22.1期望信号、估计值与误差信号的几何关系
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系 eopt(n) d(n) y opt(n)
第三章维纳鸿波和卡尔曼逃波 图22.1表明在滤波器处于最佳工作状态时,估计值加上估 计偏差等于期望信号,即 d(n)=yon (n)+eon(n) 注意我们所研究的是随机信号,图22.1中各矢量的几何表 示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角 度来看,假定输入信号和期望信号都是零均值,应用正交性原 理则+a2+Eem],因此在滤波器处于最佳状态时, 估计值的能量总是小于等于期望信号的能量
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时， 估计值加上估 计偏差等于期望信号， 即 ( ) ( ) e ( ) d n = yopt n + opt n 注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表 示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角 度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值, 应用正交性原 理,则 , 因此在滤波器处于最佳状态时， 估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。 [| | ] 2 opt 2 2 d opt E e + y +