第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 假若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m),要估计当前及以后时刻 的信号值sn+M,N≌0,这样的估计问题称为预测问题;若已知 x(n1),x(n-2),灬,x(n-m),要估计当前的信号值s(n),称为过滤 或滤波;根据过去的观测值x(n-1),x(m2),…,x(n-m),估计过去 的信号值s(n-N,N≌1,称为平滑或内插。维纳( Wiener)滤波与卡 尔曼( Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的 过滤或预测问题,并以估计的结果与信号真值之间的误差的均 方值最小作为最佳准则
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 假若已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，要估计当前及以后时刻 的信号值s(n+N), N≥0，这样的估计问题称为预测问题；若已知 x(n-1), x(n-2), …, x(n-m) ，要估计当前的信号值s(n)，称为过滤 或滤波； 根据过去的观测值x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，估计过去 的信号值s(n-N), N≥1，称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡 尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的 过滤或预测问题, 并以估计的结果与信号真值之间的误差的均 方值最小作为最佳准则。 ^ ^
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间,由于军事的需要由维 纳提出的。1950年,伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理 谱时,由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。维 纳滤波器的求解,要求知道随机信号的统计分布规律(自相关 函数或功率谱密度),得到的结果是封闭公式。采用谱分解的 方法求解,简单易行,具有一定的工程实用价值,并且物理概 念清楚,但不能实时处理;维纳滤波的最大缺点是仅适用于 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的,因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维 纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理 谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。 维 纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关 函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的 方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概 念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 22维纳滤波器的离散形式时域解 221维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论,并考虑到系统的因果性,可以 得到滤波器的输出y(m y(n)=x(n)*h(n) ∑h(m)x(n-m)m=0,1,2,(2.22) 设期望信号为d(n),误差信号e(n)及其均方值E[ke(n)2]分别为 e(n)=(n)y(n)=S(n)-(n) (22.3 Ele(n)P]=E[ld( n)-y(n)]=Eld(n)-2h(m)x(n-m) (2.2.4
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n), + = = = − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m y n x n h n h m x n m n=0, 1, 2, … （2.2.2） 设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为 e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n) （2.2.３） = − = − − + = 2 0 2 2 [| ( ) | ] [| ( ) ( ) | ] ( ) ( ) ( ) m E e n E d n y n E d n h m x n m （2.2.４）
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小,须满足 dETe(n) 0 (2.2.5) ah 这里,h表示(,同理,可以用a,b分别表示a(0),b0)。由于误 差的均方值是一标量,因此(2.2.5)式是一个标量对复函数的求 导问题,它等价于 aElle(n)ll.oEle(n2I J 0产=0,1,2, a (22.6) 户0,1,2 ab 2.2.7)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 要使均方误差为最小，须满足 0 [| ( ) | ] 2 = hj E e n （2.2.5） 这里，hj表示h(j); 同理，可以用aj，bj分别表示a(j)，b(j)。由于误 差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求 导问题， 它等价于 0 [| ( ) | ] [| ( ) | ] 2 2 = + j bj E e n j a E e n j=0, 1, 2, … （2.2.6） 记 j j j b j a + = j=0, 1, 2, … （2.2.７）
第二章维纳滤波和卡尔曼滤波 则(226)式可以写为 VElle(n]=0 (2.2.8) 将(22.8)式展开 V, Elle(n)P]=el de(n) ce(n ye(n oe e(n)+je(n)+ je(n a C ab ab (2.2.9) 又根据(2.2.1)~(22.3)式
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为 [| ( )| ] 0 2 j E e n = （2.2.8） 将（2.2.8）式展开 + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [| ( ) | ] * * * 2 * j e n b e n j e n b e n e n a e n e n a e n E e n E j j j j j （2.2.9） 又根据（2.2.1）~(2.2.3)式