一⑤总第2童连统集统的时城分析 例2-5求微分方程y"(t)+y(t)=f(t)的齐次解 解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数 λ12=±j,因此,该方程的齐次解 yn(t=c,cost+C,sint 2特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2—1 列出了几种类型的激励函数巛t)及其所对应的特征解 yn(t)。选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其 待定系数P;,就可得出特解。 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 例2―5求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数 λ1,2 =±j，因此，该方程的齐次解 yh (t)=c1cost+c2 sint 2. 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2―1 列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解 yp (t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其 待定系数Pi，就可得出特解
一⑤第章连绣集统的城分析 表21激励函数及所对应的解 激励f(t) 特解y(t) Pnt"+Pm-t"1+…+P1t+P 所有特征根均不为零 osT PI coS Bt+P2sin Bt sinT PI coS Bt +P2 sin Bt P 当a不是特征根时 Pite+ Pne 当a是特征单根时 te"+Py-te+…+P1te+P 当a是y重特征根时 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 表2―1 激励函数及所对应的解
一⑤总第2童连统集统的时城分析 例2-6若输入激励ft)=et,试求微分方程 y"(t)+3y(t)+2y(t)=ft)的特解。 解查表2—1,因为f(t)=et,a=-1与一个特征根λ1 1相同,因此该方程的特解 y,(t=Pte+ pe 将特解y(t)代入微分方程,有 (Pte Pe )+3(pte pe )+2(Pte+ pe=e 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 例 2―6 若输入激励 f(t)=e-t ， 试求微分方程 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。 解查表2―1，因为f(t)=e-t ，α=-1与一个特征根λ1 =- 1相同，因此该方程的特解 1 0 2 2 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) 3 ( ) 2( ) t t p t t t t t t t y t Pte P e d d Pte P e Pte P e Pte P e e dt dt − − − − − − − − − = + + + + + + = 将特解yp (t)代入微分方程，有
一⑤第章连绣集统的城分析 3完全解 根据式(2—8),完全解是齐次解与特解之和,如果 微分方程的特征根全为单根,则微分方程的全解为 ()=∑ce"+yn() (2-15) 当特征根中入1为y重根,而其余(n-y)个根均为单根 时,方程的全解为 ∑er"e+∑cer+y()a-1o J=y+1 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 3. 根据式(2―8)，完全解是齐次解与特解之和，如果 微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为 1 ( ) ( ) i n t i p i y t c e y t = = + (2―15) 当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个根均为单根 时，方程的全解为 1 1 1 ( ) ( ) i n t t i i p i j y t c t e c e j y t − = = + = + + (2―16)
一⑤总第2童连统集统的时城分析 如果微分方程的特征根都是单根,则方程的完全解 为式(2-15),将给定的初始条件分别代入到式(2-15及 其各阶导数,可得方程组 y(O)=c1+c2+…+cn+yp(0) y(O)=x1C1+入2C2+…+nCn+yp(O) n1)(0)=3n11c1+xn2c2+,+2nnn+ym)p(0) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解 为式(2―15)，将给定的初始条件分别代入到式(2―15)及 其各阶导数，可得方程组 y(0)=c1+c2+…+cn+yp (0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′ p (0) … y (n-1) (0)=λn-1 1c1+ λ n-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1) p (0)