一⑤第章连绣集统的城分析 2.1,2微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般,如果单输入 单输出线性非时变的激励为f1),其全响应为(),则描 述线性非时变系统的激励f1)与响应)之间关系的是n 阶常系数线性微分方程,它可写为 yn(t+a n-l y(n-D(t) +ta,y(t+aoy(=bmfm(t)+bm-I f(m-(t)+.+b,R(t)+bof(t) (2-7) 式中an-1,…,al,a0和bm,bm-1,…,b1,b0均 为常数。该方程的仝解由齐次解和特解组成。齐次方 程的解即为齐次解,用y(t)表示。非齐次方程的特解 用y(t)表示。即有 y(t)=y (t+y(t (2-8) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 2.1.2 我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、 单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描 述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n 阶常系数线性微分方程，它可写为 y (n)(t)+a n-1 y (n-1)(t)+…+a1y (1)(t)+a0y(t)= bmf (m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+… +b1 f (1)(t)+b0 f(t) (2―7) 式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均 为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方 程的解即为齐次解，用yh (t)表示。非齐次方程的特解 用yp (t)表示。即有 y(t)=yh (t)+yp (t) (2―8)
一⑤第章连绣集统的城分析 齐次解 齐次解满足齐次微分方程 yn(t)+a n-l yn-(t)+.taiyo(t+aoy(t)=0(2-9) 由高等数学经典理论知,该齐次微分方程的特征 方程为 入叶+a1^n1+.+a1+a=0 (2-10) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 1. 齐次解满足齐次微分方程 y (n)(t)+a n-1 y (n-1) (t)+…+a1y (1) (t)+a0y(t)=0 (2―9) 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征 方程为 λ n+a n-1λ n-1+…+a1λ+a0 =0 (2―10)
一⑤总第2童连统集统的时城分析— 1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根),则微分方程的齐次解 y()=∑ce (2)特征根有重根。若1是特征方程的γ重根,即 有1=2===A2,而其余(n)个根入+1,12x+2,…,A都 是单根,则微分方程的齐次解 y()=∑cre (2-12) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 (1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解 (2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即 有λ1=λ2=λ3 =…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都 是单根，则微分方程的齐次解 1 ( ) i n t h i i y t c e = = (2―11) 1 ( ) j n t i h i i y t c t e − = = (2―12)
一⑤总第2童连统集统的时城分析 (3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±j,则微分 方程的齐次解 yh(t)=c ealcosbt+c, eatsinbt 2-13) (4)特征根有一对m重复根。即共有m重入12=a+jb的 复根,则微分方程的齐次解 (t)=C, cos dt +c,te cos dt+,.+Cmt"e cos dt +d,e sin bt +d, te sin bt +...+d, t"e sin dt(2-14) 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 (3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则微分 方程的齐次解 yh (t)=c1e atcosbt+c2e atsinbt (2―13) (4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的 复根，则微分方程的齐次解 1 1 2 1 1 2 ( ) cos cos cos sin sin sin at m at h m at at m at m y t c dt c te dt c t e dt d e bt d te bt d t e dt − − = + + + + + + + (2―14)
2章连续糸统的肘域分析 例2—3求微分方程y(t)+3y(t+2 y(t)=ft的齐次解 解由特征方程λ2+3+2=0解得特征根λ 2。 因此该方程的齐次解 yn(t=ce+ce 例2-4求微分方程y"(t)+2y(t)+yt)=f()的齐次解。 解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根入1=22=-1,因此 该方程的齐次解 yh(t=ce-t+c,te-t 《信号与线性系统》
《 信号与线性系统》 第2章 连续系统的时域分析 例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1 =-1， λ2 =- 2。 因此该方程的齐次解 yh (t)=c1e -t+c2e -2t 例2―4求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解 由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2 =-1，因此 该方程的齐次解 yh (t)=c1e -t+c2 te-t