摘要第二章电磁波的传播授课题目（章、节）3有导体存在时电磁波的传播本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，理解并掌握导体内电磁波传播规律和趋肤效应。【重点】导体内电磁波传播规律和趋肤效应【难点】导体内电磁波传播规律和趋肤效应内容【本讲课程的引入】真空和绝缘介质中电磁波..-在真空和理想绝缘介质内部，没有能量损耗，电磁波可以无衰减地传播导体中的电磁波--导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗.因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波.在传播过程中，电磁能量转化为热量导体内电磁波的传播过程是交变电磁场与自由电子运动互相制约的过程，这种相互作用决定导体内电磁波的存在形式．先研究导体内自由电荷分布的特点，然后在有传导电流分布的情形下解麦克斯韦方程组，分析导体内的电磁波以及在导体表面上电磁波的反射和折射问题.【本讲课程的内容】第3节有导体存在时电磁波的传播1导体内的自由电荷分布在静电情形我们知道导体内部不带电，自由电荷只能分布于导体表面上，在迅变场中是否仍然保持这特性呢？设导体内部某区域内有自由电荷分布，其密度为p.这电荷分布激发电场E，微分方程：&V.E=P在电场E作用下，导体内引起传导电流J.由欧姆定律，j=oE式中为电导率，联立得v.j-gp6上式表示当导体内某处有电荷密度β出现时，就有电流从该处向外流出．从物理上看这是很明显的．因为假如某区域内有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的电流：由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小p的变化率由电荷守恒定律确定--v.j---aPat8解此方程得：0p(0)=P,e式中po为=O时的电荷密度．由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间t（p值减小到po/e的时间）为
摘 要 授课题目（章、节） 第二章 电磁波的传播 3 有导体存在时电磁波的传播 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，理解并掌握导体内电磁波传播规律和趋肤效应。 【重 点】导体内电磁波传播规律和趋肤效应 【难 点】导体内电磁波传播规律和趋肤效应 内 容 【本讲课程的引入】真空和绝缘介质中电磁波-在真空和理想绝缘介质内部，没有能量 损耗，电磁波可以无衰减地传播． 导体中的电磁波-导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流， 由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗．因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波．在 传播过程中，电磁能量转化为热量． 导体内电磁波的传播过程是交变电磁场与自由电子运动互相制约的过程，这种相互作用决 定导体内电磁波的存在形式．先研究导体内自由电荷分布的特点，然后在有传导电流分布 的情形下解麦克斯韦方程组，分析导体内的电磁波以及在导体表面上电磁波的反射和折射 问题． 【本讲课程的内容】 第 3 节 有导体存在时电磁波的传播 1 导体内的自由电荷分布 在静电情形我们知道导体内部不带电，自由电荷只能分布于导体表面上．在迅变场中是否 仍然保持这特性呢？ 设导体内部某区域内有自由电荷分布，其密度为 ．这电荷分布激发电场 E，微分方程： 在电场 E 作用下，导体内引起传导电流 J．由欧姆定律， 式中 为电导率，联立得 上式表示当导体内某处有电荷密度 出现时，就有电流从该处向外流出．从物理上看这是 很明显的．因为假如某区域内有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的 电流．由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小． 的变化率由电荷守恒定律确定 解此方程得： 式中 0 为 t=0 时的电荷密度．由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间 （ 值减小到 0／e 的时间）为
3T=a因此，只要电磁波的频率满足0<<t-1=α/e，或a>>160就可以认为p(0)=0.上式可以看作良导体条件：对于一般金属导体，T的数量级为10-17s.只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导体。良导体内部没有净的自由电荷分布，电荷只能分布于导体表面上2导体内的电磁波导体内部产p=0，J=cE，麦氏方程组为VxE=-aBataDVxH-9+JatV.D=0V.B=0对一定频率の的电磁波，可令D=εE，B=μH，则有VxE-iouHVxH=-iOE+OEV.E=0V.H=0式中-iosE是由位移电流引起的，α是由传导电流引起的。如果形式上引入“复电容率”：e'=e+ig0则有：VxH=-i08'E复电容率的物理意义：右边两项分别代表位移电流和传导电流。传导电流与电场同相，它的耗散功率密度为1/2Re(J*.E).位移电流与电场有90°相位差，它不消耗功率，相应地，在复电容率中，实数部分ε代表位移电流的贡献，它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡献，它引起能量耗散在一定频率下，对应于绝缘介质内的亥姆霍兹方程，在导体内部有方程VE+KE=06'=$+i0k=のe0方程的解当满足条件V·E=O时代表导体中可能存在的电磁波，解出E后，磁场H可由麦氏方程求得.亥姆霍兹方程形式上也有平面波解：一KE()=E,e但k为复矢量，即它的分量一般为复数
因此，只要电磁波的频率满足 << -1 = / , 或 就可以认为 (t)＝0．上式可以看作良导体条件．对于一般金属导体， 的数量级为 10-17 s．只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导体．良导体内部没有净的自由电 荷分布，电荷只能分布于导体表面上． 2 导体内的电磁波 导体内部产 =0，J＝E，麦氏方程组为 对一定频率 的电磁波，可令 D＝E，B＝H，则有 式中 是由位移电流引起的， 是由传导电流引起的。如果形式上引入“复电容率”： 则有： 复电容率的物理意义：右边两项分别代表位移电流和传导电流. 传导电流与电场同相，它 的耗散功率密度为 12Re(J * E)．位移电流与电场有 90相位差，它不消耗功率．相应地， 在复电容率中，实数部分 代表位移电流的贡献，它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部 分是传导电流的贡献，它引起能量耗散． 在一定频率下，对应于绝缘介质内的亥姆霍兹方程，在导体内部有方程 ， 方程的解当满足条件 ·E=0 时代表导体中可能存在的电磁波．解出 E 后，磁场 H 可由麦 氏方程求得． 亥姆霍兹方程形式上也有平面波解： 但 k 为复矢量，即它的分量一般为复数：
k=β+id导体中电磁波的表示式为：E(3,t)=Ege-axe(ax-ar)波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述波幅的衰减，α称为衰减常数，β称为相位常数。矢量α和β应满足一定关系k=β?-α+2ia.β=0μlo+i0比较式中的实部和虚部得：β?-α=μ8aB-!-ouo2量α和β的方向不常一致。3趋肤效应和穿透深度由于有衰减因子，电磁波只能透入导体表面薄层内。因此，有导体存在时的电磁波传播问题一般是作为边值问题考虑的。电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播，在导体表面上，电磁波与导体中的自由电荷相互作用，引起导体表层上的电流，这电流的存在使电磁波向空间反射，一部分电磁能量透人导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最后通过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热.为简单起见，我们只考虑垂直入射情形。设导体表面为xy平面，轴指向导体内部。在这情形下，αx=βx=0，α和β都沿=轴方向，导体中电磁波的表示式为：i(B-z-ar)E=E解出：a/1+yito!α=0us-160对于良导体情形，这些公式还可以简化K的虚部与实部之比为/06，在良导体情形此值>>1，因而K的实部可以忽略k~iouokioμaβ+ia由此得：ouaαβ~V2波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度8：
导体中电磁波的表示式为： 波矢量 k 的实部 描述波的传播的相位关系，虚部 描述波幅的衰减， 称为衰减常数， 称为相位常数。 矢量 和 应满足一定关系 比较式中的实部和虚部得： 矢量 和 的方向不常一致。 3 趋肤效应和穿透深度 由于有衰减因子，电磁波只能透入导体表面薄层内．因此，有导体存在时的电磁波传播问 题一般是作为边值问题考虑的。 电磁波主要是在导体以外的空间或介质中传播，在导体表面上，电磁波与导体中的自由电 荷相互作用，引起导体表层上的电流．这电流的存在使电磁波向空间反射，一部分电磁能 量透人导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最后通过传导电流把这部分能量耗散为焦 耳热． 为简单起见，我们只考虑垂直入射情形．设导体表面为 xy 平面，z 轴指向导体内部．在这 情形下，x ＝ x ＝0， 和 都沿 z 轴方向，导体中电磁波的表示式为： 解出： 对于良导体情形，这些公式还可以简化．k 2 的虚部与实部之比为 ／，在良导体情形此 值>>1，因而 k 2 的实部可以忽略 由此得： 波幅降至原值 1/e 的传播距离称为穿透深度 ：
28=aauo穿透深度与电导率及频率的平方根成反比.例如对铜来说，6~5×107Sm，当频率为50Hz时，8~0.9cm：当频率为100MHz时，8~0.7×10-3cm.由此可见，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。求出磁场与电场的关系：A-1E--一(β+ia)exEouop在良导体情形，H~e4erxEVou由上式，磁场的相位比电场相位滞后45°，而且>>1VE0s在金属导体内，相对于真空或绝缘介质来说，磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要是磁场能量，4导体表面上的反射和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导体表面上电磁波的反射和折射问题.在-般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂：垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射的特点.因此这里只讨论垂直入射情形设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波．垂直入射情形，电磁场边值关系为E+E'-E",H-H-H"H-xE-(B+ia)ax-kB=VAE-uexEG在良导体中，将”oμop和代入上式，得到：K(1+i)E"E-E-V2080解出：20801+iE6E20801+i+a反射系数R定义为反射能流与入射能流之比，由上式得：E'02080R=EO2001+i+10由上式可见，电导率越高，则反射系数越接近于1，测量结果证实了上式的正确性。例如对于波长为1.2×10-m的红外线，测得铜在垂直入射时的反射系数为R=1-0.016.对于波长较长的微波或无线电波，反射系数更接近于1，只有很小部分的电磁能量透入导体内部而
穿透深度与电导率及频率的平方根成反比．例如对铜来说， ~5 107S · m-1，当频率为 50Hz 时， ~ 0.9cm；当频率为 100MHz 时， ~ 0.7 10-3 cm．由此可见，对于高频电磁 波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。 求出磁场与电场的关系： 在良导体情形， 由上式，磁场的相位比电场相位滞后 45，而且 在金属导体内，相对于真空或绝缘介质来说，磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主 要是磁场能量． 4 导体表面上的反射 和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导体表面上电磁波的反射和折射问题．在一 般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂．垂直入射情形计算较为简单，而 且已经可以显示出导体反射的特点．因此这里只讨论垂直入射情形． 设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波．垂直入射 情形，电磁场边值关系为 在良导体中，将 和 代入上式，得到： 解出： 反射系数 R 定义为反射能流与入射能流之比，由上式得： 由上式可见，电导率越高，则反射系数越接近于 1，测量结果证实了上式的正确性。例如 对于波长为 1.2 10-5m 的红外线，测得铜在垂直入射时的反射系数为 R=1-0.016.对于波长 较长的微波或无线电波，反射系数更接近于 1，只有很小部分的电磁能量透入导体内部而
被吸收，绝大部分能量被反射出去，因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把金属近似地看做理想导体，其反射系数接近于1。例证明在良导体内，非垂直入射情形有oua2，β<βα,~β~2解：设空间中入射波失为K)，由边值关系得αx=0,β,=k,(0)良导体内波数平方为k~ioμo=β-α+2ia.β因而β2-α~011a1kopα.β=α,β.=ouo=o0c>>22062α,β, >> β2略去2得ouaaaB,e，β<β2在任意入射角情形下，α垂直于表面，β亦接近法线方向．穿透深度8仍为128=aVouo【本讲课程的小结】今天我们主要讲解导体内电磁波传播规律和趋肤效应。【本讲课程的作业】思考题与习题7（第四章）第课程名称：《电动力学》周，第15讲次
被吸收，绝大部分能量被反射出去，因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把金属近 似地看做理想导体，其反射系数接近于 1。 例 证明在良导体内，非垂直入射情形有 解：设空间中入射波矢为 k (0)，由边值关系得： 良导体内波数平方为 因而 略去 x 2 得 在任意入射角情形下， 垂直于表面, 亦接近法线方向．穿透深度 仍为 【本讲课程的小结】今天我们主要讲解导体内电磁波传播规律和趋肤效应。 【本讲课程的作业】思考题与习题 7（第四章） 课程名称：《电动力学》 第 周，第 15 讲次