(3)闭环系统的特征方程为 s3+4s2+6s+10=0 解:由单位阶跃引起的误差为: E(s) R(s) G(S)1+G(s) 由题意知稳态误差为 lim 所以 limG(s)=∞ 则G(s)分母的常数项应为零。 k s(as+bs+c 则闭环传递函数为 G(S) s) I+G(s)as+bs2 +cs+ 特征方程为 as3+bs2+cs+k=s3+42+6s+10=0 比较系数得 a=1.b=4.c=6.k=10 (s)= 例3-9设控制系统结构如图3-8所示.其中k=2k=1,T2=0.25(s),kk=1.求:(1)当输 入r(1)=1+1+12时,系统的稳态误差;(2)系统的单位阶跃响应表达式。 K3s E(s) R(s) y(s) s(Is+D) 图3-8控制系统结构图
·52· (3) 闭环系统的特征方程为： s 3+4s 2+6s+10=0. 解: 由单位阶跃引起的误差为： 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) G s s G s R s E s 由题意知稳态误差为 0 1 ( ) 1 lim 0 G s s e s s ss 所以 lim ( ) 0 G s s 则 G(s)分母的常数项应为零。 设 ( ) ( ) 2 s as bs c k G s 则闭环传递函数为 as bs cs k k G s G s s 3 2 1 ( ) ( ) ( ) 特征方程为 as bs cs k 3 2 = 4 6 10 0 3 2 s s s 比较系数得 a=1, b=4, c=6, k=10 即 ( 4 6) 10 ( ) 2 s s s G s 例 3-9 设控制系统结构如图 3-8 所示.其中 k1=2k2=1,T2=0.25(s),k2k3=1.求:(1)当输 入 2 2 1 r(t) 1 t t 时,系统的稳态误差；(2)系统的单位阶跃响应表达式。 E(s) + R(s) Y(s) - 图 3-8 控制系统结构图 K1 K3s ( 1) 2 2 s Ts k
解法一:设 则 E(SFR(s)-Y(s) (GIR(S)+G2E(s)G3=Y(s) 解上两式得 E(s)=l-G G R(s)= 0.25s2+s+0.5 又 R(s) 所以稳态误差 0252111 ess= lim sE(s)=lims )=0.5 s→00.25s2+s+0.5ss2s 解法二:系统的闭环传函为 D(s(s+05) s2+4s+2 等效单位反馈开环传递函数 G(s)=(s)_2(2s+1 1-d 可见,该系统为Ⅱ型系统,且开环增益k=2,当r()=1+1+r2时,查表知稳 态误差ex=0+0+-=0.5 (2)当R()=1时,Y(s)=()4s+05)=1+0208-1207,则单位阶跃 ss2+4s+2 s+0.586s+3.414 响应表达式为(对上式取拉氏变换) y()=1+0.208-056-1207e-34 例3-10控制系统如图3-9所示,误差定义在输入端,扰动信号n(1)=2×1(l)。(1)试 求k=40时,系统在绕动作用下的稳态误差和稳态输出。(2)若k=20,其结果如何?(3)在扰 动作用点之前的前向通道中引入一个积分环节一,对结果有何影响?在扰动作用之后的前
·53· 解法一: 设 G1=k3s, G2=k1, G3= ( 1) 2 2 s T s k 则 E(s)=R(s)－Y(s) (G1R(s)+G2E(s))G3=Y(s) 解上两式得 ( ) 0.25 0.5 0.25 ( ) 1 1 ( ) 2 2 2 3 1 3 R s s s s R s G G G G E s 又 2 3 1 1 1 ( ) s s s R s 所以稳态误差 ) 0.5 1 1 1 ( 0.25 0.5 0.25 lim ( ) lim 2 2 3 2 0 0 s s s s s s e sE s s s s ss 解法二: 系统的闭环传函为 4 2 4( 0.5) ( ) 2 s s s s 等效单位反馈开环传递函数 2 2(2 1) 1 ( ) ( ) ( ) s s s s G s 可见,该系统为Ⅱ型系统,且开环增益 k=2,当 2 2 1 r(t) 1 t t 时,查表知稳 态误差 ess=0+0+ k 1 =0.5。 (2) 当 s R s 1 ( ) 时, 3.414 1.207 0.586 1 0.208 4 2 4( 0.5) ) 1 ( ) ( 2 s s s s s s s Y s ,则单位阶跃 响应表达式为(对上式取拉氏变换) t t y t e e 0.586 3.414 ( ) 1 0.208 1.207 例 3-10 控制系统如图 3-9 所示,误差定义在输入端,扰动信号 n(t)=2×1(t)。(1)试 求 k=40 时,系统在绕动作用下的稳态误差和稳态输出。(2)若 k=20,其结果如何?(3)在扰 动作用点之前的前向通道中引入一个积分环节 s 1 ,对结果有何影响?在扰动作用之后的前
向通道中引入一个积分环节一,结果又如何? +|N(s) R(s) Y(s) 图3-9控制系统结构图 H=2.5 计算由扰动作用引起的稳态误差和稳态输出时,可令输入信号R(s)=0 (1)绕动作用下的输出表达式为 Yn(s) N(s) +G,GH 误差表达式为 E (s)=R(s)-HY,(s)=0-HY(s) 1+G1G2() 当绕动输入为 n(n)=2×1(1) 即N(s)=二时,有稳态误差 ess,= limE,(s=-lims( G2H 5→01+G1G2Hss+2.5k 稳态输出 y(x)=1ims(s)=1ms(.2)x2)=-2 1+G1G 当k=40时,有esm≈-0.048,yn(∞)=0.019 (2)当k=20时,eam=-0.09,yn(∞)=0.036 可见,减小开环增益将导致绕动作用下系统稳态误差的绝对值增大,稳态输出也增加. (3)若积分环节一加在扰动作用点之前,则
·54· 向通道中引入一个积分环节 s 1 ,结果又如何? + N(s) R(s) Y(s) - 图 3-9 控制系统结构图 解: 令 G1= 0.05s 1 k , G2= 1 1 s , H=2.5 计算由扰动作用引起的稳态误差和稳态输出时,可令输入信号 R(s)=0 (1) 绕动作用下的输出表达式为 ( ) 1 ( ) 1 2 2 N s G G H G Y s n 误差表达式为 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 2 2 N s G G H G H E s R s HY s HY s n n n 当绕动输入为 n(t)=2×1(t) 即 s N s 2 ( ) 时,有稳态误差 G G H s s k G H e sE s s s n s ssn 2.5 5 ) 2 )( 1 lim ( ) lim ( 1 2 2 0 0 稳态输出 G G H s k G y sY s s s n s n 5 2.5 2 ) 2 )( 1 ( ) lim ( ) lim ( 1 2 2 0 0 当 k=40 时,有 essn≈-0.048,yn(∞)=0.019。 (2) 当 k=20 时, essn=-0.09, yn(∞)=0.036 可见,减小开环增益将导致绕动作用下系统稳态误差的绝对值增大,稳态输出也增加. (3) 若积分环节 s 1 加在扰动作用点之前,则 0.05s 1 k 1 1 s 2.5
s(0.05s+1) s+5H=2.5 同(2)可算出exm=0yn(∞)=0 若积分环节加在扰动作用点之后,则 05s+1 5_-00当k=40) 同(2)求出 25k-0.1(当k=20) 2j002(当k=40) 可见,在扰动作用点之前加入积分环节,可以消除由阶跃扰动作用产生的稳态误差和 稳态输出。而在扰动作用点之后加入积分环节,则对阶跃扰动产生的稳态误差和稳态输出 影响不大 例3-11马达控制系统如图3-10所示。系统参数为7=0.1,J=0.01,k=10。(1)设干 扰力矩Tφ=0,输入0r()=,试问k和k之值对稳态误差有何影响。(2)设输入Or()=0,试 问当干扰力矩T为单位阶跃函数时,k和k之值对稳态误差有何影响? T(s)干扰力矩 0r(s) k k 0c(s) 1+ts s 放大器 马达对象 kS转速计 图3-10马达控制系统结构图 解:(1)T4(s)=0,且0,(s)=,所以由输入引起的误差传递函数为 E(s) Js(1+Ts)+kk,s 8(s) Js- (1+Ts)+k, k,s+kk op,(S) 稳态误差为
·55· G1= s(0.05s 1) k , G2= 5 1 s , H=2.5 同(2)可算出 essn=0 yn(∞)=0 若积分环节加在扰动作用点之后,则 G1= 0.05s 1 k , G2= ( 5) 1 s s , H=2.5 同(2)求出 0.04( k 20) 0.02( k 40) 2.5 2 y ( ) 0.1( k 20) 0.05( k 40) 2.5 5 n 当 当 当 当 k k essn 可见,在扰动作用点之前加入积分环节,可以消除由阶跃扰动作用产生的稳态误差和 稳态输出。而在扰动作用点之后加入积分环节,则对阶跃扰动产生的稳态误差和稳态输出 影响不大。 例 3-11 马达控制系统如图 3-10 所示。系统参数为 T=0.1,J=0.01, ki=10。(1)设干 扰力矩 Td=0,输入θr(t)=t,试问 k 和 kt 之值对稳态误差有何影响。(2)设输入θr(t)=0,试 问当干扰力矩 Td为单位阶跃函数时, k 和 kt之值对稳态误差有何影响? Td(s)干扰力矩 + θr(s) θc(s) 放大器 － 马达对象 转速计 图 3-10 马达控制系统结构图 解:(1)Td(s)=0,且θr(s)= 2 1 s ,所以由输入引起的误差传递函数为 ( ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) 2 2 s Js Ts k k s kk Js Ts k k s s E s n i t i i t r 稳态误差为 k Ts ki 1 2 1 Js k st