例3-4有一位置随动系统,结构如图3-3所示.k=40,T=0.1。(1)求系统的开环和闭 环极点;(2)当输入量r(1)为单位阶跃函数时,求系统的自然振荡角频率ω,阻尼比ξ和系 统的动态性能指标l,,σ% R s) C(s) s(rs +D) 图3-3位置随动系统结构图 解:系统的开环和闭环传递函数分别为 G(s)= 和Φ(s) s(0.ls+1) +105+400 (1)开环极点为P=0, s2+10s+400=0 解得闭环极点为 P12=-5士j19.365 (2)将闭环传递函数写成标准形式 C(s) 有 2=400 解得 Gn=20, 系统的动态指标为
·47· (c) (d) 图 3－2 例 3-4 有一位置随动系统,结构如图 3-3 所示.k=40,τ=0.1。(1)求系统的开环和闭 环极点;(2)当输入量 r(t)为单位阶跃函数时,求系统的自然振荡角频率ωn,阻尼比ζ和系 统的动态性能指标 tr,ts,σ%. R(s) C(s) - 图 3-3 位置随动系统结构图 解: 系统的开环和闭环传递函数分别为 10 400 400 ( ) (0.1 1) 40 ( ) 2 s s s s s G s 和 (1) 开环极点为 P1＝0， P2＝-10 令 s 2+10s+400=0 解得闭环极点为 P1,2=-5±j19.365 (2) 将闭环传递函数写成标准形式 2 2 2 2 ( ) n n n s s s 有 ωn 2=400, 2ωnζ=10 解得 ωn=20, ζ=0.25 系统的动态指标为 s( s 1) k
TI-B -arccos< 3. 14-arccos 0.25 0.094 0.25 3 4 sso025x20=06(当△=5) 0.25×20 0.8(当△=2) 0%=e×100%=45% 例3-5图3-4(a)为系统结构图,图3-4(b)为某典型单位阶跃响应.试确定k,k2,a 的值 R(s)- (s) s(s +a) (a)系统结构图 (t) 2.18 (b)阶跃响应曲线 解:因为 Y(s) k,k2 R s +as+ k2 kk Y(s)= R(S) k2 所以 y(∞)=limy()=lims k,=2
·48· 0.8( 2) 0.25 20 4 4 0.6( 5) 0.25 20 3 3 0.094 20 1 0.25 3.14 arccos 0.25 1 arccos n 2 2 当 当 n n d rts t σ%= 2 1 e 100%=45% 例 3-5 图 3-4（a）为系统结构图，图 3-4（b）为某典型单位阶跃响应.试确定 k1,k2,a 的值. R(s) Y(s) - (a) 系统结构图 y(t) 2.18 2.0 t (b) 阶跃响应曲线 图 3-4 解: 因为 s as k s k k R s s as k k k Y s s as k k k R s Y s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 所以 2 1 ( ) lim ( ) lim 1 2 2 1 2 0 k s as k s k k y y t s t s ( ) 2 s s a k 1 k
又因为 s(S+a s(S+2cU 所以 0.=a 根据题意知 2.18-2 100%=9 解得 =0.608 n=4.946(rad/s) 故 a=25n=2×0608×4946≈6014 例3-6已知系统的结构图如图3-5所示若r(1)=2×1(0)时试求(1片产1时,系统的超调 量σ%和调节时间(2)当k不等于零时若要使%=20%试求k应为多大?并求出此时的 调整时间自的值(3)比较上述两种情况说明内反馈ks的作用是什么 图3-5系统结构图 解:(1)当k=0时,由结构图知闭环传递函数为 Φ(s)=(s) R(s) S2 则有 25on=2 所以 7.07(rad/s),5=0.14 这是一个欠阻尼状态的响应,故
·49· 又因为 ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 n n s s a s s k G s 所以 a k n n 2 2 2 根据题意知 2 1 100% 9% 2 2.18 2 % e 解得 ζ=0.608 tp=0.8= 2 1 n ωn=4.946(rad/s) 故 k2=ω2=24.463 a=2ζωn=2×0.608×4.946≈6.014 例3-6 已知系统的结构图如图3-5所示,若r(t)=2×1(t)时,试求:(1)kf=1时,系统的超调 量σ%和调节时间 ts;(2)当 kf不等于零时,若要使σ%=20%,试求 kf应为多大?并求出此时的 调整时间 t3的值,(3)比较上述两种情况,说明内反馈 kfs 的作用是什么. R(s) Y(s) － － 图 3-5 系统结构图 解:(1) 当 kf=0 时,由结构图知闭环传递函数为 2 50 50 ( ) ( ) ( ) 2 R s s s Y s s 则有 ωn 2=50, 2ζωn=2 所以 ωn=7.07(rad/s), ζ=0.14 这是一个欠阻尼状态的响应,故 100 kfs ( 2) 0.5 s s
×100%=64% 3(s(当△=5) 4(S)(当△=2) (2)当k≠0时,可得闭环传函为 Y(s) R(S)s (2+0.5k,)s+50 可见 n=7.07(rad/s) 由题中条件 0%=e 100%=20% 得 则 k=9 922(s)(当△=5) 调整时间为 2On7.07×0.46 4 1.230(s)(当△=2) On707×046 (3)比较上述两种情况可看出,内反馈k的作用为增加阻尼比,减小超调量,减小调整 时间 例3-7系统的结构如图3-6所示,试判别系统的稳定性.若系统不稳定,求在s右半 平面的极点数 R(s) 2 y(s) 图3-6系统结构图
·50· σ%= 2 1 e 100%=64% 4( )( 2) 4 3( )( 5) 3 当 当 s s t n n s (2) 当 kf≠0 时,可得闭环传函为 2 2 2 2 (2 0.5 ) 50 2 50 ( ) ( ) ( ) n n n f s s s k s R s Y s s 可见 ωn=7.07(rad/s) ζ= 2 50 2 0.5 f k 由题中条件 σ%= 2 1 e 100%=20% 得 ζ=0.46 则 kf=9 调整时间为 1.230(s)( 2) 7.07 0.46 4 4 0.922 s ( 5) 7.07 0.46 3 3 当 （ ）当 n n s t (3) 比较上述两种情况可看出,内反馈kf的作用为增加阻尼比,减小超调量,减小调整 时间.例 3-7 系统的结构如图 3-6 所示,试判别系统的稳定性.若系统不稳定,求在 s 右半 平面的极点数. R(s) Y(s) 图 3-6 系统结构图 s 1 s s 2 1 s s 2 1 s-1 s -2
解:系统的传递函数为 系统的特征方程为 s3+2s4-s-2=0 可看出特征方程的系数不全为正,所以系统是不稳定。为了求出s右半平面的极点数 列劳斯阵列如下 0 120 s0(-2) 16 0 E 第三行元素全为零,对辅助方程 2s-2=0 求导得 用8,0替换0,0;第四行第一列元素为零,用小正数ε替代0,继续排列劳斯阵列 劳斯阵列第一列元素变号一次,说明特征方程有一个正根。劳斯阵列有一行元素全为 零,说明可能有大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,或对称于虚根的两对共轭复 根.解辅助方程得 2=2(s+1)(s-1)(s+〕sj)=0 这样特征方程可以写为 可见,系统在s右半平面有一个根s=1,在虚轴上有两个根s=j,=-j,在s左半平面有两个 根,s=-1,s=-2. 例3-8闭环控制系统的结构如图3-7。试求满足下面条件的三阶开环传递函数G(s) 应满足的条件 R(s (s) (1)G(s)=k (s),k为开环放大系数 (2)由单位阶跃函数输入引起的稳态误 差为零; 图3-7
·51· 解: 系统的传递函数为 2 2 2 ( ) 5 4 s s s s 系统的特征方程为 2 2 5 4 s s s =0 可看出特征方程的系数不全为正,所以系统是不稳定。为了求出 s 右半平面的极点数, 列劳斯阵列如下: 2 0 16 ( ) 0 ( 2) (8) (0) 0 0 2 0 2 1 0 1 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 第三行元素全为零,对辅助方程 2s 4-2 = 0 求导得 8s 3=0 用 8,0 替换 0,0;第四行第一列元素为零,用小正数ε替代 0,继续排列劳斯阵列. 劳斯阵列第一列元素变号一次,说明特征方程有一个正根。劳斯阵列有一行元素全为 零,说明可能有大小相等、符号相反的实根或一对共轭虚根,或对称于虚根的两对共轭复 根.解辅助方程得 2s 4-2=2(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0 这样特征方程可以写为 (s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)=0 可见,系统在 s 右半平面有一个根 s=1,在虚轴上有两个根 s=j,s=-j,在 s 左半平面有两个 根,s=-1,s=-2. 例 3-8 闭环控制系统的结构如图 3-7。试求满足下面条件的三阶开环传递函数 G(s), 应满足的条件: R(s) E(s) Y(s) (1) ( ) ( ) A s k G s ， k 为开环放大系数; (2) 由单位阶跃函数输入引起的稳态误 差为零; 图 3-7 G(s)