第12章数的开方 12.1平方根与立方根(1) 知识技能目标 1.从实际问题的需要出发,引进平方根概念,体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识 过程,培养学生辩证唯物主义观点 2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算,突出平方运算和开平方运算的互逆性 3.扣住定义去思考问题,重视解题技巧 4以旧引新,以新带旧,从旧知识引进新知识,讲新知识时尽可能复习一些旧知识 教学重点与难点 通过实际问题的研究,认识平方根;正确区分平方根与算术平方根的关系;会用计算器求任意 正数的算术平方根 教学过程 、创设情境 问题1要剪出一块面积为25cm的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2已知圆的面积是16xcm2,求圆的半径长 (学生探索,回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为xcm,依题意有:x2=25, 求出满足x2=25的x值,就可得正方形纸片的边长 因52=25,(-5)2=25,故满足x2=25的x的值可以是5,也可以是-5,但正方形边长只能取正值所 以x=5. 答正方形纸片的边长为5cm 这个问题实质上就是要找一个数,这个数的平方等于25 问题2解设圆的半径为Rcm,依题意有: P2=16x,即P2=16 求出满足P2=16的R的值即可求出圆的半径 因42=16,(-4)2=16,故满足R2=16的R的值为4或-4,但圆的半径只能取正值.所以数R=4 答圆的半径为4cm 这个问题实质上就是要找一个数,这个数的平方等于16 刚才具体的二个例子,从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题:已知某数的平方,要求这个 数.用式子来表示就是如果x2=a,求x的值 概括如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根( square root)(也叫a的二次方根) 三、实践应用
- 1 - 第 12 章 数的开方 12.1 平方根与立方根（1） 知识技能目标 1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识 过程，培养学生辩证唯物主义观点； 2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识． 教学重点与难点 通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意 正数的算术平方根。 教学过程 一、创设情境 问题 1 要剪出一块面积为 25 cm2 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题 2 已知圆的面积是 16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题 1 解 设正方形纸片的边长为 xcm，依题意有：x 2＝25， 求出满足 x 2＝25 的 x 值，就可得正方形纸片的边长． 因 5 2＝25，(-5)2＝25，故满足 x 2＝25 的 x 的值可以是 5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所 以 x＝5． 答 正方形纸片的边长为 5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于 25． 问题 2 解 设圆的半径为 R cm，依题意有： πR 2=16π，即 R 2=16， 求出满足 R 2＝16 的 R 的值即可求出圆的半径． 因 4 2＝16，(－4)2＝16，故满足 R 2＝16 的 R 的值为 4 或－4，但圆的半径只能取正值．所以数 R＝4． 答 圆的半径为 4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于 16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个 数．用式子来表示就是如果 x 2＝a，求 x 的值． 概括 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根(square root)（也叫 a 的二次方根）． 三、实践应用
例1求100的平方根 解因为102=100,(-10)2=100,除了10和-10以外,任何数的平方都不等于100,所以100 的平方根是10和一10,也可以说,100的平方根是±10 学生试一试 (1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么? (3)的平方根是什么?(4)-4有没有平方根?为什么 请学生也编三道求平方根的题目,并给出解答.与同学交流,你发现了什么? 1.平方根的性质: 问(1)正数的平方根是什么? 问(2)0的平方根是什么? 问(3)负数有平方根吗?为什么? 请同学概括数的平方根的性质 2.一个非负数a的平方根的表示法 3.开平方 求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方 例2将下列各数开平方:(1)49 (2)1.69 分析开方运算就是求平方根,我们可以通过平方运算来解决 例3下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,请说明理由. (1)-64;(2)0:(3)(-4) 四、作业P41 12.1平方根与立方根(2) 知识技能目标 引导学生建立清晰的概念系统,在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基 础上,专门讨论算术平方根的概念及其表示方法 2对于√a表示的算术平方根中的a的条件和√a的本身的意义作合理性的说明,例如:面积为 a(a>0)的正方形的边长为√a,从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性 3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题,让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌 握,促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中 教学重点与难点 1.理解算术平方根的概念,掌握它的求法及表示方法 2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别,进一步熟练地进行平方根与算术平方根 的运算 3.用计算器求一个非负数的算术平方根 教学过程 、创设情境
- 2 - 例 1 求 100 的平方根． 解 因为 102＝100，(-10) 2＝100，除了 10 和－10 以外，任何数的平方都不等于 100，所以 100 的平方根是 10 和－10，也可以说，100 的平方根是±10. 学生试一试： (1) 144 的平方根是什么？(2) 0 的平方根是什么？ (3) 25 4 的平方根是什么？(4)－4 有没有平方根？为什么？ 请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？ 1．平方根的性质： 问(1) 正数的平方根是什么？． 问(2) 0 的平方根是什么？ 问(3) 负数有平方根吗？为什么？ 请同学概括数的平方根的性质． 2.一个非负数 a 的平方根的表示法． 3.开平方． 求一个数 a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方． 例 2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69． 分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决． 例 3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由． (1)－64；(2)0；(3)(－4)2． 四、作业 P4 1 12.1 平方根与立方根（2） 知识技能目标 1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示方法基 础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法； 2.对于 a 表示的算术平方根中的 a 的条件和 a 的本身的意义作合理性的说明，例如：面积为 a(a＞0)的正方形的边长为 a ，从而直观形象地说明算术平方根约定的合理性； 3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌 握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中． 教学重点与难点 1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法； 2.体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进行平方根与算术平方根 的运算； 3.用计算器求一个非负数的算术平方根． 教学过程 一、创设情境
1.在(-5)2、-52、52中,哪个有平方根?平方根是多少?哪个没有平方根?为什么? 2.0.49的平方根记作 的正的平方根记作= 4.说出平方根的概念和性质 二、探究归纳 1.算术平方根: 9的平方根是9的正的平方根是_,V9=3表示的意义是什么? 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.记作√a,读作“a的算术平方根” 这里应强调两点: (1)这里的√G不仅表示开平方运算,而且表示正值的根 (2)这里√a中有两个“正”字,即被开方数必须为正,算术平方根也是正的 的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0.即√0=0.从以上可知,当a是正 数或是0时,√a表示a的算术平方根 例1求100的算术平方根 解因为102=100, 所以100的算术平方根是10.即√100=10. 例2求下列各数的平方根和算术平方根 (2)2.89:(3)1 (3)因为±1= 所以 93 例3求下列各式的值: (3)±4-2 (425-24、y3+4:(6)1201-1036-190 2.用计算器求一个非负数的算术平方根 例4用计算器求下列各数的算术平方根 (1)529; (2)1225 (3)44.81 三、实践应用 1.下列各式中哪些有意义?哪些无意义? 03;√-0.32;(0.32
- 3 - 1.在(-5)2、-5 2、5 2 中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？ 2.0.49 的平方根记作____＝____； 3. 的正的平方根记作 36 13 1 ＝ ； 4.说出平方根的概念和性质． 二、探究归纳 1.算术平方根： 9 的平方根是 ，9 的正的平方根是 ， 9 = 3 表示的意义是什么？ 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根．记作 a ，读作“a 的算术平方根”． 这里应强调两点： (1)这里的 a 不仅表示开平方运算，而且表示正值的根． (2)这里 a 中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的． 0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，因此 0 的算术平方根是 0．即 0 = 0 ．从以上可知，当 a 是正 数或是 0 时， a 表示 a 的算术平方根． 例 1 求 100 的算术平方根． 解 因为 102=100， 所以 100 的算术平方根是 10．即 100 = 10． 例 2 求下列各数的平方根和算术平方根： (1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 9 7 1 ． 3 4 9 7 1 3 4 9 16 9 7 (3)因为 1 = = ，所以 = ． 例 3 求下列各式的值： ； ． ； ； ； 900 5 1 0.36 3 1 4 1 (4) 25 24 3 4 (5) 20 36 23 (3) 4 2 25 21 (1) 625 (2) 4 2 2 2 2 − + − − − − 2.用计算器求一个非负数的算术平方根． 例 4 用计算器求下列各数的算术平方根： (1) 529； (2) 1225； (3) 44.81． 三、实践应用 1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各数的平方根和算术平方根 144 121;0.25;400;0.01 0 3.求下列各式的值,并说明它们各表示的意义 4.用计算器计算: (1)√676:(2)√27.8784:(3)√4225(精确到0.01 四、作业P43P74 12.1平方根与立方根(3) 知识技能目标 1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念,重点放在讨论立方的概念,立方根的个 数的唯一性及立方根的求法; 2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上,提出数的立方根与数 平方根的区别 3渗透特殊一—一般——特殊的思想方法.通过特例研究等式v-a=-√a(a>0),运用归纳 的思想方法,让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”,运用这一关系式 求一个负数的立方根 教学重点与难点 1.掌握立方根的概念,掌握由立方运算,求一个数的立方根的方法 2.明确立方根个数的性质,分清一个数的立方根与平方根的区别 3.会用计算器求数的立方根. 教学过程 创设情境 计算下列各题 23,(-2)3,03,0.43,(-04) 强调指出上述各题都是已知一个数,求这个数的立方,即a3=x.其中,已知数a叫底数,它可为 正数,也可为负数,也可是零;x叫做a的三次幂,同样可为正数,可为负数,也可是零.这种运 算是乘方运算,是已知底数、指数,求幂的运算 问题现有一只体积为216cm的正方体纸盒,它的每一条棱长是多少? 解设正方体纸盒的棱长为xm,则 x3=216, 因为62=216,所以x=6 答正方体的棱长应为6cm 、探究归纳 这个实际问题,在数学上提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?
- 4 - 2.求下列各数的平方根和算术平方根： ； ； ； ； ； ； 0． 169 144 256 1 121 0.25 400 0.01 3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义： 4.用计算器计算： (1) 676 ； (2) 27.8784 ； (3) 4.225 （精确到 0.01）． 四、作业 P4 3 P7 4 12.1 平方根与立方根（3） 知识技能目标 1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方的概念，立方根的个 数的唯一性及立方根的求法； 2.在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，提出数的立方根与数 平方根的区别； 3.渗透特殊──一般──特殊的思想方法．通过特例研究等式 ( 0) 3 3 − a = − a a ，运用归纳 的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式 求一个负数的立方根． 教学重点与难点 1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法； 2.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别； 3.会用计算器求数的立方根． 教学过程 一、创设情境 计算下列各题： 2 3 ， (−2) 3 ， 0 3 ，0.4 ３ ，(−0.4) 3 ． 强调指出 上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即 a 3＝x．其中，已知数 a 叫底数，它可为 正数，也可为负数，也可是零；x 叫做 a 的三次幂，同样可为正数，可为负数，也可是零．这种运 算是乘方运算，是已知底数、指数，求幂的运算． 问题 现有一只体积为 216 cm3 的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？ 解 设正方体纸盒的棱长为 xcm，则 216 3 x = ， 因为 6 3＝216，所以 x＝6． 答 正方体的棱长应为 6 cm． 二、探究归纳 问 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出一个什么数学概念？
答已知乘方指数和3次幂,求底数,也就是“已知某数的立方,求某数”.即x3=a,a是已知数, 求 1.立方根的概念 如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根) 试一试 (1)27的立方根是什么?(2)-27的立方根是什么? (3)0的立方根是什么? 请学生也编三道求立方根的题目,并给出解答 2.立方根的表示方法: 3.开立方: 求一个数的立方根的运算,叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算,因此求一个数的立方根 可以通过立方运算来求 三、实践应用 例1求下列各数的立方根 (1):(2)-125;(3)-0.008:(4)0 根据上述练习提问 (1)一个正数有几个立方根?是否任何负数都有立方根?如都有,一个负数有几个立方根?0的立方 根是什么? 启发学生得出立方根的性质,并通过下表与平方根的有关性质进行比较 E数 零 负数 平方相有两个互为相反数雪的平方根是零没有平方根 的平方根 立方根有一个正的立方根零的立方根零有一个负的立方根 (2)一个数的平方根和一个数的立方根,有什么相同点和不同点? 例2用计算器求下列各数的立方根: (1)1331:(2)-343 (3)9.263 分析用计算器求一个有理数的立方根,只需要直接按书写顺序按键.若被开方数为负数,“一”号 的输入可以按,也可以按 四、作业 P71.2.5 12.2实数与数轴(1) 知识技能目标 1.了解实数的意义,能对实数进行分类 2.了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点来表示无理数 3.会比较两个实数的大小 教学重点与难点 1.通过探索,使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数 和数轴上的点一一对应 2.通过计算器辅助,能比较两个无理数的大小
- 5 - 答 已知乘方指数和 3 次幂，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”．即 x 3＝a，a 是已知数， 求 x． 1.立方根的概念： 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）． 试一试 (1)27 的立方根是什么？(2)－27 的立方根是什么？ (3)0 的立方根是什么？ 请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答． 2.立方根的表示方法： 3.开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根 可以通过立方运算来求． 三、实践应用 例 1 求下列各数的立方根： (1) 27 8 ； (2)-125； (3)-0.008； (4)0． 根据上述练习提问： (1)一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数有几个立方根？0 的立方 根是什么？ 启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较． (2)一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？ 例 2 用计算器求下列各数的立方根： (1)1331； (2)－343； (3)9.263． 分析 用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键．若被开方数为负数，“－”号 的输入可以按 ，也可以按 ． 四、作业 P7 1.2.5 12.2 实数与数轴（1） 知识技能目标 1.了解实数的意义，能对实数进行分类； 2.了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数； 3.会比较两个实数的大小． 教学重点与难点 1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个对应点,从而认识到实数 和数轴上的点一一对应； 2.通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小．