1.σ2已知，求4的置信区间 这就是例4.2.1讨论过的问题.4的置信系数为1-a的置信区间为 [-/e+小 (2.1) 区间的长度为ln=2oua/2/√元.由此可以看出 (1)样本容量越大，该区间越短，精确度就越高 (2)σ越大，则越大，精确度越低.这是因为方差越大，随机影响也就越大，精确度就会低 下来 (3)置信系数1-a越大，则α越小，从而ua2就越大，ln越长，精确度就越低 由此可见在o和α固定的情形下，要提高精确度，只有增加样本容量.例如，置信系数1-a 固定，要使上述置信区间的长度，≤lo,l0为给定的常数，则n≥[(2au2/lo)],其中[国表示实 数x的整数部分. 例2设某车间生产零件的长度X~N(4,0.09),若得到一组样本观察值为 12.6,13.4,12.8,13.2 求零件平均长度μ的95%的置信区间. 解由样本观察值算得=13，n=4,0=0.3,查表求得0.025=1.96，ua/2/V冗= 0.3×1.96/2=0.294,由公式(2.1)可知μ的95%的置信区间 2-元2，+元a2=2.71,13.29 2.σ2未知，求4的置信区间 在这种情况下，4的良好的点估计仍为灭，基于灭构造枢轴变量 T=r-四 S 由推论2.4.2可知T~tn-1.可见T的表达式与μ有关，而其分布与μ无关.故T为枢轴变量.由 于t分布关于原点对称，令 P.IT≤c)=P -csvn-se) 1-a 则c=tn-1(a/2).将括号中的不等式经过等价变形得4的置信系数为1一a的置信区间为 [--am,+-a例 2.2) 此处tn-1(a/2)是自由度n-1的t分布的上侧a/2分位数. 例3为测得某种溶液中的甲醛浓度，取样得4个独立测定值的平均值X=8.34%,样本标 准差S=0.03%,并设被测总体近似服从正态分布，求总体均值4的95%的置信区间. 6
1. σ 2 Æ, ¶µ ò&´m ˘“¥~4.2.1?ÿLØK. µ ò&XÍè1 − αò&´mè h X¯ − σ √ n uα/2, X¯ + σ √ n uα/2 i . (2.1) ´m›èln = 2σuα/2 / √ n. ddå±w— (1) N˛n å,T´m·,°(›“p. (2) σ å, Kln å, °(›$. ˘¥œèê å, ëÅKèè“å, °(›“¨$ e5. (3)ò&XÍ1 − α å, Kα ,l uα/2 “å,ln ,°(›“$. ddåÑ3σ ⁄α ½ú/e, áJp°(›, êkO\ N˛. ~X, ò&XÍ1 − α ½, ᶲ„ò&´m›ln ≤ l0, l0 èâ½~Í, Kn ≥ 2σuα/2/l0 2 , Ÿ•[x] L´¢ Íx Í‹©. ~2 ,êm)"á›X ∼ N(µ, 0.09), eò| * äè 12.6, 13.4, 12.8, 13.2 ¶"á²˛›µ 95%ò&´m. ) d * äéX¯ = 13, n = 4, σ = 0.3 , L¶u0.025 = 1.96, σuα/2 / √ n = 0.3 × 1.96/2 = 0.294, d˙™(2.1)åµ 95%ò&´m h x¯ − σ √ n uα/2, x¯ + σ √ n uα/2 i = [12.71, 13.29]. 2. σ 2 ô, ¶µ ò&´m 3˘´ú¹e, µ ˚–:OEèX, ¯ ƒuX¯ EÕ¶C˛ T = √ n(X¯ − µ) S . dÌÿ2.4.2åT ∼ tn−1. åÑT Là™Üµ k', Ÿ©ŸÜµ Ã'. T èÕ¶C˛. d ut ©Ÿ'u:È°, - Pµ(|T| ≤ c) = P − c ≤ √ n(X¯ − µ) S ≤ c = 1 − α, Kc = tn−1(α/2). Ú)“•ÿ ™²L dC/µ ò&XÍè1 − α ò&´mè X¯ − S √ n tn−1(α/2), X¯ + S √ n tn−1(α/2) , (2.2) d?tn−1(α/2) ¥gd›n − 1 t ©Ÿ˛˝α/2 ©†Í. ~3 èˇ,´Mó•`fl›, 4á’·ˇ½ä²˛äX¯ = 8.34%, I O S = 0.03% , øˇoNCq—l©Ÿ, ¶oN˛äµ 95%ò&´m. 6
解因为1-a=0.95,n=4,查表得tn-1(a/2)=t3(0.025)=3.182,故有Stn-1(a/2)/V元= 0.03×3.182/2=0.0477,X=8.34,由公式(2.2)可知μ得置信系数为95%的置信区间为 [-号-a+-o [8.292%,8.388% 3.μ4已知，求σ2的置信区间 当μ已知时，σ2的一个良好的无偏估计为S号=是∑1(X:-)2,且nS2/o2~X品.则 取T=nS/a2为枢轴变量，其表达式与o2有关，但其分布与o2无关，找c1和c2使得 P-(c1≤ns号/o2≤2=1-a. 满足上式要求的c1和c2有无穷多对，其中有一对c1和c2,使区间的长度最短，但这样一对c1和c2 不易求得，且表达式复杂，应用不方便.一般令c1和c2满足下列要求 P-(ns/o2<ca）=a/2,P-(n5/a2>c2）=a/2. 由X2分布的上侧分位数表可知c1=X品(1-a/2),c2=X品(a/2),即有 P-(x21-a/2)≤ns号/a2≤x2(a/2)=1-a. 最后利用不等式的等价变形，得到σ2的置信系数为1-α的置信区间为 nST nS2 「∑1(X-42(X:-21 x2(a/2'x2(1-a/②]= X2(a/2) X2(1-a/2)]1 (2.3) 此处X品(a/2)和X品(1-a/2)分别是自由度为n的x2分布的上侧a/2和1-a/2分位数。 例4为了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长30mm的标准金属棒进行了6次测量， 结果（单位：mm)是 30.1,29.9,29.8,30.3,30.2,29.6 假如测量值服从正态分布N(30,σ2)，要求σ2的置信水平为0.95的置信区间. 解此处n=6,4=30,易得出∑=1(X:-)2=0.35,a=0.05,查表得x(0.025)= 14.4494X(0.975)=1.2375,由公式(2.3)可算得 2=∑(X:-m2/X2(a/2)=0.35/14.494=0.0242, 2=∑(X:-42/X21-a/2)=0.35/1.2375=0.2828. 因此σ2的置信水平为95%的置信区间为[2,2]=[0.0242,0.2828] 4.4未知，求σ2得置信区间 记9=（山，o2).此时S2=品∑=1（化：-）2是σ2的良好估计，它是无偏的.且由定 理2.23可知(n-1)S2/o2~X2-1·取T=(n-1)S2/a2为枢轴变量，其表达式与2有关，而其 分布与σ2无关.找d1和d2,使得 P(d≤(n-1)S2/o2≤d)=1-a 7
) œè1−α = 0.95, n = 4,Ltn−1(α/2) = t3(0.025) = 3.182, kStn−1(α/2)/ √ n = 0.03 × 3.182/2 = 0.0477, X¯ = 8.34, d˙™(2.2)åµ ò&XÍè95%ò&´mè X¯ − S √ n tn−1(α/2), X¯ + S √ n tn−1(α/2) = [8.292%, 8.388%]. 3. µ Æ, ¶σ 2 ò&´m µ Æû, σ 2 òá˚–ÆOèS 2 n = 1 n Pn i=1(Xi − µ) 2 , ÖnS2/σ2 ∼ χ 2 n . K T = nS2 n/σ2 èÕ¶C˛, ŸLà™Üσ 2 k', Ÿ©ŸÜσ 2 Ã', Èc1 ⁄c2 ¶ Pσ2 c1 ≤ nS2 n σ 2 ≤ c2 = 1 − α. ˜v˛™á¶c1 ⁄c2 kðıÈ, Ÿ•kòÈc1⁄c2 , ¶´m›Å·, ˘òÈc1 ⁄c2 ÿ¥¶, ÖLà™E,, A^ÿêB. òÑ-c1 ⁄c2 ˜veᶠPσ2 nS2 n σ 2 < c1 = α/2, Pσ2 nS2 n σ 2 > c2 = α/2. dχ 2©Ÿ˛˝©†ÍLåc1 = χ 2 n (1 − α/2), c2 = χ 2 n (α/2), =k Pσ2 χ 2 n (1 − α/2) ≤ nS2 n σ 2 ≤ χ 2 n (α/2) = 1 − α. Å|^ÿ ™ dC/, σ 2 ò&XÍè1 − α ò&´mè nS2 n χ2 n α/2 , nS2 n χ2 n 1 − α/2 = Pn i=1(Xi − µ) 2 χ2 n (α/2) , Pn i=1(Xi − µ) 2 χ2 n (1 − α/2) , (2.3) d?χ 2 n (α/2) ⁄χ 2 n (1 − α/2) ©O¥gd›èn χ 2©Ÿ˛˝α/2 ⁄1 − α/2 ©†Í. ~4 è )òˇ˛›§Ï°›, Èòä30 mm IO7·ï?1 6gˇ˛, (J(¸†:mm)¥ 30.1, 29.9, 29.8, 30.3, 30.2, 29.6 bXˇ˛ä—l©ŸN(30, σ2 ), á¶σ 2 ò&Y²è0.95ò&´m. ) d?n = 6, µ = 30,¥— P6 i=1(Xi − µ) 2 = 0.35, α = 0.05, Lχ 2 6 (0.025) = 14.4494, χ2 6 (0.975) = 1.2375, d˙™(2.3)åé σb 2 L = Xn i=1 (Xi − µ) 2 . χ 2 n (α/2) = 0.35/14.4494 = 0.0242, σb 2 U = Xn i=1 (Xi − µ) 2 . χ 2 n (1 − α/2) = 0.35/1.2375 = 0.2828. œdσ 2 ò&Y²è95%ò&´mè σb 2 L , σb 2 U = [0.0242, 0.2828]. 4. µ ô, ¶σ 2 ò&´m Pθ = (µ, σ2 ). dûS 2 = 1 n−1 Pn i=1(Xi − X¯) 2 ¥σ 2 ˚–O, ߥÆ. Öd½ n2.2.3å(n − 1)S 2/σ2 ∼ χ 2 n−1 . T = (n − 1)S 2/σ2 èÕ¶C˛, ŸLà™Üσ 2 k', Ÿ ©ŸÜσ 2 Ã'. Èd1 ⁄d2, ¶ Pθ d1 ≤ (n − 1)S 2 σ 2 ≤ d2 = 1 − α. 7