定理如。是实餐性算符，而具对某，特定的右矢1P)有 m|P〉=0， (8) 式中m是正整数，則 |P〉=0. 为証明此定理，先取m=2的特例.方程(8)就給出 〈P2|P〉=0， 它指明，右矢量|P〉乘以其共軛虚量左矢〈P{E为界.由第一 章(8)式的假定，用|P〉作为|A),我們就看到|P〉必然为零. 这样，在m=2时，定理已經証明. 現在取m>2,并合 m-2|P〉=|2〉， 方程(8)就給出 12〉=0. 应用m=2时的定理，我們得 |2〉=0， m-1|P〉=0. (9) 重复由(8)式得到(9)式的过程，我們就能相继地得到 m-2|P〉=0， m-31P〉=0，·， |P〉=0， |P〉=0. 所以定理一般地得到了証明. §9.本征值与本征矢量 我們必須对後性算符的理論作进一步的发展，这个发展在于 研究方程 alP〉=alP), (10) 其中α是後性算符，而4是一个数.这个方程經常表現的形式是： a是已知後性算符，数“及右矢|P〉則是未知量，我們需要去試 图选择这些未知量，使它們满足(10)式，当然不考虑1P〉=0的 无意义解 方程(10)的意思是，後性算符x如作用于右矢|P〉上，恰恰 ◆27◆
是对这个右矢乘以数值因子而不改变它的方向，或者是用因子器 乘它，这样，它就不再有方向了.这个同样的算符“如作用到其 他右矢上，当然一般地要改变它們的长度，也要改变它們的方向. 应当注意到，在方程(10)中，重要的只是|P)〉的方向.如果我侧 用任意不为零的数乘|P〉，則将对(10)式是否满足的間题不产生 任何影响. 与(10)式一起，我們还应考虑共軛虚量形式的方程 〈2la=b(2l, (11) 其中b是一数.这里未知量是数b与不为零的左矢(Q引.方程 (10)与(11)在理論上具有根本性的重要意义，因而我們希望有某 种特殊的嗣句来描述有关各量之間的关系。如果(10)式得到满 足，我們称口为後性算符：（或其相应的力学变量）的一个本征 值”，我們称|P〉为镜性算符α（或其相应力学变量）的一个本征 右矢，还有，我們說本征右矢IP〉属于本征值a.同样地，如果 (11)式满足，我們就称b为a的一个本征值，称〈9|为属于本征值 b的一个本征左矢.这几个名嗣：本征值、本征右矢、本征左矢， 当然仅仅当联系到某一个钱性算符或力学变量时才有意义。 用这样的术語，我們就可以断言，如果：的一本征右矢乘以任 何不为零的数，得出的右矢也是一个本征右矢，井与原来的右矢属 于同一本征值。可能一个後性算符有两个或更多的互不相关的本 征右矢量属于同一本征值.例如方程(10)可能有几个解：1P1〉， |P2),|P3),··,它們全部都对同一的值a成立，而这些不同的 本征右矢|P1),|P2〉，{P3》·互不相关.在这种情况，显然，这 些本征右矢的任意辍性粗合，也是属于同一本征值的另一本征右 矢。例如， clP1〉+c2P2〉+cP3〉+·· 是方程(10)的另一解，其中c1,c2,c3,··是任意的数。 1)有时用“正规”(proper)一河来代替“本征”(cigen)),这样做法不安当，因为“正 与非正规”时常用在别的含义 ,在515与 5,我们就用了“非 正规函数”(improper function)与“原能是”(proper energy). ·28·
当方程(10)及(11)中的性算符a是一个数时，在这种特 殊情况下，显然任意的右矢|P〉及左矢〈Q)都满足这些方程，只 要·与b都等于及就行.这样，一个数被当作辍性算符来看，它只 有一个本征值，而任意的右矢都是它的本征右失，任意的左矢都是 它的本征左矢，都属于这个唯一的本征值。 一个钱性算符α如不是实算符，关于它的本征值与本征矢量 的理論，在量子力学中沒有很多用处。因此，在理論的进一步发展 中，我們仅限于那些实後性算符.。用实後性算符来代楼α，則方 程(10)与(11)成为 |P〉=a|P), (12) (ole=ol. (13) 現在可以很快推出三个重要精果. ()本征值全部是实数.为証明满足方程(12)的a是实数，我 們用左矢〈P|左乘(12)式，得到 〈P|IP〉=a(P|P). 此时从方程(4)，用〈P|代〈B引，用实後性算符代a,我們看到 (P|P〉这个数一定是实数；又从56的(8)式，看到〈P{P〉一定 是不为零的实数.因而4是实数.同样地，用|2〉右乘(13)式， 我們就能証明b是实数. 假定我們有(12)式的一个解，我們作出共靶虚最的方程，它将 〈P|ξ=aP|, 这是由于：与a都是实的.这个共軛虚量的方程現在提供出(13) 式的一个解，即〈Q|=〈P|及b=a.因此，我們得出 ()联系于本征右矢的本征值，都同时是联系于本征左矢的 本征值. ()任意本征右矢的共軛虚量，都是属于同，本征值的本征 左矢，反之亦然。最后这一秸果，使我們能够合理地把相应于任意 本征右矢或其共軛虚量左矢的态，称之为实的力学变量：的一个 本征态. ·29·
各种实的力学变量的本征值与本征矢量，在量子力学中用得 非常广泛，从而人們希望有某种系統的符号来表明它們.下述的 办法适用于大多数的目的。如果：是一实的力学变量，我們称它 的本征值为，”，"，等等。这样，我們赴一个字母本身表示 一实的力学变量或实枝性算符，而赴同一字母在右上角加上嫩或 者指数，来代表一个数，即这个字母本身所代表的实钱性算符的本 征值.一本征矢量現在就可能用它所属的本征值来标志出来.即 |)代表一个本征矢昼，它属于力学变量的本征值.如果在 一工作中，我們遇到不止一个本征右失属于力学变量的同一本征 值，我們可以用一附加的标記，或者还可能用不止一个附加标記去 区分它們.这样，如果我要处理两个本征右矢，它們是属于：的同 本征值的，則我們可以称它們为11〉与12〉). 定理.实力学变量的两个本征矢量，如属于不同的本征值， 則它們是正交的。 为証明此定理，証|〉与|)是实力学变量的两个本征 右矢，分刷属于本征值”与”，我們就有方程 〉=|)， (14) €i"〉="1“). (15) 取(14)的共軛虚量，我們得到 〈'ξ=(1. 用|〉右乘上式給出 (g11"〉=（€'1"）， 而用(|左乘(15)式給出 (1|"〉="(|"). 因之，二式相减，得 (-")Xξ1〉=0. (16) 上式指出，如果+”，則（传'"〉=0，p这两个本征矢量） 与"”正交.这个定理以后将称为做正交性定理 我們已經討論了一个实辍性算符的本征值与本征矢量的性 盾，但是我們倘未考虑的間題是：对已知的实後性算符，是否有本 ·30·
征值与本征矢量存在，以及如果存在，如何去找出它們，这些题 在一般情况下是很难回答的。然而，有一个有用的特殊情况，它是 十分容易处理的，那即是，当钱性算符例如满足代数方程 (5)=5m+a15m-1+425w-2+··+4n=0 (17) 时，系数“都是数.这个方程的意义当然是，钱性算符中()作用 于任意的右矢量或任意的左矢量上，其轴果都是器 設(17)式为所满足的最簡单的代数方程，那么就可以証明： (a)E的本征值的个数是n; (B):的本征右矢的数目足以把无論什么右矢都表示为这 些本征右矢之和 代数形式中()能分解为n个钱性因子，秸果是 φ(5)=(5-c)(5-c2)(5-c3)…(E-cn),(18) c都是数，并不假定它們完全不一样.这种因式分解法，对于是 一钱性算符，与是一普通代数变量的两种情况，做起来完全一 样，因为在(18)式中沒有任何量是与6不对易的.当()被 (一c,)除时，合其商式为X,(),即 ·φ()=(E-c,)X(),(r=1,2,3·n), 因而对于任意右矢|P〉， (ξ-c,)X,()川P〉=()川P〉=0. (19) 現在X()川P〉不能对所有的P〉都为雾，因为否則X(5)本身 会为零，我們就有满足一个”一1次的代数方程，这一点与我們 的假定，郎(17)式为：所满足的最簡单方程这一点相矛盾.如 果我們选出IP〉使得X,()川P〉不为零，那么方程(19)指出 X(5)P〉是E的本征右矢，属于本征值c.对于r从1到n的各 个值，这种推断都是成立的，因而每一个（是的一个本征值.沒 有其他的数能为：的本征值，因为如果'是任意本征值，右矢 〉属于它，則 |)='1〉， 我們能推出 中(5)川'〉=φ())， 。31