等于原来两个钱性算符分别作用于这个右矢量而得的两个右矢量 之和.郎a+B由下式定义： {a+B}l4〉=aA〉+B|A〉， (2) 对于任意的|A).方程(2)及(1)中的第一式指出，楼性算符对右 矢量的乘积满足乘法的分配律。 钱性算符也能乘在一起，两个钱性算符的乘积定义为符合下 述条件的一个辍性算符：它作用于任意的右矢上产生的秸果与把 原来的两个算符相继地作用在这个右矢量上所产生的結果相同. 这样，乘积：B定义为这样一个钱性算符，它作用于任意的右矢 |A〉上，把|A〉变成另一右矢，如果我們先把B作用|4〉，然后再 用：作用于所得的結果，我們将会得到相同的結果。用符号表示， {aB|A)}=a{B{A)}. 这一定义表現为对于a,B与|A〉的三重积的結合律，因而我們 可以把这三重积写为aB引A〉而不用括弧.但是，这个三重积一般 地說不同于先用α作用于|A〉再以B作用所得的結果，也即是， 一般地說，aB|A〉不同于Ba4),因之，一般地，aB必須不同于 Ba.乘法的交换律对于镂性算符是不成立的.作为特例，有时可 能出現两个镂性算符与刀，使得)与是相等的.在这种情 况下，我們說，E可以同刀对易，或者税，：与刀是可对易的. 反复地运用上述对于後性算符的加法与乘法的手續，我們就 能从而形成两个以上算符的乘积与和，并能开始建立它們的代数. 在这种代数中，乘法的交换律不成立，并且两个筱性算符的乘积可 能为零，而其中任一因子都不为零。但是一般代数中的所有其他 公理，包括乘法的結合律与分配律，都是成立的，这一点是容易証 明的. 如果我們取一数，并用它去乘右矢量，它就表現为一後性算 符作用在右矢量上，条件(1)中用代替α仍能得到滿足.于是一 个数就是耧性算符的一个特例。它有这样的性質，即它同所有的 餐性算符是可对易的，这个性度使之区别于一般钱性算符. 22
至此，我們只考虑了钱性算符作用于右矢量的情况.我們也 能給出後性算符作用于左矢量的意义，其方法如下：取任意左矢 〈B|与右矢aA〉的标量积，这个标量积是一个数，它与|A〉钱性 相关，因之，从左矢量的定义，它可以被款为是|A〉与某左矢的标 量积，而这个左夫是与〈B|餐性相关的.因此，我們可以親之为 某一镂性算符作用于〈B|的結果。这个後性算符是由原来的後性 算符“唯一地决定的，并可以合理地称之为作用于左矢上的同一 算符.就这样，我們的钱性算符也可以作用在左矢量上了. 当α作用于左矢〈B|上，用来表示所得的左矢量的适当符号 是〈B|a,因为，在这样符号下，給(B|a下定义的方程是 {(Ba}iA=〈B|{aA)}, (3) 对任意的【A).这个式子簡单地表示乘法的秸合律适用于〈B|, α及|A〉的三重积.我們因而作出了一般規則，即在左矢与镂性 算符的乘积中，左矢必须总是放在左边.我們现在能把〈B|,α及 |A〉的三重积，簡单地写成〈B|aA)而不必用括弧.很容易証 明，乘法的分配律对左矢与钱性算符的乘积是适用的，就如同钱性 算符与右矢的乘积一样. ·还有一种乘积的形式，它在我們的方案里也有意义，那即是右 矢量与左矢量的乘积，其中右矢量是放在左边的，例如|A)(B|. 为考察这个乘积，訨我們用它乘以任意的右矢|P〉，把此右矢放 在右边，而假定乘法的桔合律可用.这一乘积就是|A)B|P〉， 它是一另外的右矢，卸|A〉乘以数〈B|P〉，这个右矢是与右矢 |P〉耧性相关的.因此，|A)人B表現为一镂性算符，它能作用于 右矢上.它也可能作用于左矢，它对左矢〈9的乘积(？|放在 左边)是〈Q|4〉(B|,这就成为用一数〈？|A)去乘左矢〈B|.乘 积|A〉(B|是要与同样因子具有相反次序的乘积(B丨A)清楚地 分别开的，后一乘积当然是一个数. 我們現在有一全套代数方案，涉及三种量：左矢量、右矢量以 及钱性算符.它們能按上述各种方式乘在一起，而且乘法的精合 律与分配律总是成立的，但乘法的交换律不成立.在这个总方案 ◆23◆
中我們仍然有上节的符号規則，即任一〈在左边、)在右边的完全 括弧式表示一个数，而任何只包括〈或〉的不完全括弧式表示一 个矢量 至于这个方案的物理意义，我們已經假定了左矢量与右矢量， 或者宁可說是这些矢量的方向，相应于力学系統在某一特定时刻 的态。我們现在作出进一步的假定，镂性算符相应于在那个时刻 的力学变量.力学变量意指那些量，例如粒子的坐标，粒子的速 度，动量与角动量的各个分量以及这些量的函数一一事实上，就是 經典力学借以建立起来的那些变量.这个新假定要求，这些量将 也出现在量子力学中，但是带有显著的不同，郎它們現在服从，种 代数，其中乘法的交换律不能成立， 对于力学变量的这种不同的代数，是量子力学不同于經典力 学的最重要的方式之一，我們在后面将看到，虽有这样的基本不 同点，量子力学中的力学变量仍然有許多性质是与它們在經典力 学中的对应量所共有的.紧密地与經典理論类比而建立有关它們 的理論，从而形成經典理論的一种优美的推广，这是可能的事情。 用同样的字母来代表力学变量与其所相应的餐性算符，是方 便的。事实上，我們可以款为力学变量与其相应的钱性算符两者 是一回事，而不致引起混淆。 58.共軛关系 我們的钱性算符是复量，因为我們可以乘之以复数而得到另 一同样性貢的量.因而它們一般地必須相应于复数的力学变量， 邮坐标、速度··等的复函数.我們需要对理論作某些进一步的发 展，才能看到哪一类镂性算符相应于实数的力学变量. 考虑一个右矢，它是〈P|“的共軛虚量.这个右矢与P【反 钱性相关，因而与}P)镘性相关.它因而可能被看成是某个镂性 算符作用于|P〉的結果.这个後性算符就称为α的共靓算符.我 們将用a来代表它.用这种符号，〈Pa的共軛虚量就是aP〉 在第一章的(7)式中，用〈Pa作为〈A,用它的共軛虚量 :24
a|P〉作为|)，緒果得 〈B|aP〉=PaB). (4) 这是一个普逼公式，它对于任意的右矢量|B),|P〉与任意的镂性 算符α都是成立的。它表示出最常用的共軛性质之一 在(4)式中，用a代a,我們得到 〈Bla|P〉=〈Pla|B〉=〈B|aP〉， 后一步是再次利用(4)式把|P〉与|B〉互换，而得的.此式对任 意的|P〉成立，所以我們从第一章的(4)式能得 〈B=〈Bla. 父因为这式对任意的〈B|成立，我們推出 a=a. 这样，一个镂性算符的共軛算符的共轭算符是原来的稜性算符.共 軛算符的这种性质使它相似于一个数的共軛复数.容易驗証，在 特殊情况下，即当後性算符是一个数时，其共軛镂性算符就是这个 数的共軛复数.因而假定钱性算符的共軛算符相应于力，学变量的 共軛复量，是合理的。镂性算符的共軛算符有了这种物理意义，我 們于是也可以把钱性算符的共軛算符称为它的共軛复量.这一点 与我們的符号a相一致. 钱性算符可以等于它的共轭算符，而称这种钱性算符为“自共 軛的”，它相应于实数的力学变量，所以它也可称为实镂性算符。 任意的钱性算符可以分开为实部与钝虛部，因此，“共軛复量”一嗣 可以用于後性算符，而不用“共軛虛量”一嗣。 两个後性算符之和的共軛复量，显然卸是它們的共軛复量之 和，要得到两个後性算符α与B之积的共轭复量，我們应用第 章的(7)式，而合 (A=〈Pa,〈B|=〈9lB, 則有 |A〉=aP〉，IB)=B|2〉， 釉果是 〈Q|BaP〉=〈P|aB|2〉=〈2|aBlP〉， 后一步是由(4)式得到的.由于此式对任意的|P〉与1Q〉》成立， ·25·
我們得 Ba=aB. (5) 因此，两个钱性算符的乘积的共轭复量等于两个因子的共鞭复量 按相反次序的乘积. 作为这一秸果的葡单例証，应骸注意到，如果：与刀是实算 符，在一般情死下，不是实的.这是同經典力学的一个重大区 别.但是，初十是实算符，(7一)也是实的.只有当日 与刀对易时，)本身才也是实的.还有，如：是实的，則2也是 实的，并且，更一般地，也是实的，其中”为任意正整数. 我們連續运用关于两个後性算符乘积的共軛复量的規則，即 (5)式，就能得到三个镂性算符的乘积的共軛复量.我們有 aBy=a(By）=Bya=YBa, (6) 所以，三个钱性算符的乘积的共軛复量，等于各因子的共軛复景按 相反次序的乘积。这規則可以容易地推广到任意数目的钱性算符 的乘积. 在上一节里，我們會看到，乘积|A〉〈B|是一棧性算符.我們 可以得到它的共軛复量，办法是直接地引用共軛算符的定义，用 |A)(B!乘一般的左矢〈P|,我們得〈PA)(B|,它的共軛虚量 是右关 (P|A〉川B〉=〈A|P川B〉=|B)(AP〉， 因之 TAB=|B〉(A|. (7) 我們現在有了关于各种乘积的共軛复量与共軛虚量的儿条規 則，即是：第一章的(7)式，本章的(4)，(5)，(6)，(7)各式，以及 〈P|a的共軛虚量是a|P〉的規則.所有这些規则能够总結成为 单一的全面的規則，邮左矢量、右矢量与棱性算符的任意乘积的共 蓖虛量或共轭复量，是取每，因子的共軛虛量或共軛复量并反博 所有这些因子的灰序相乘而得的.容易驗証，这个规則在很一般 的情况下都是成立的，对于那些上面未會明显給出的各种情况，也 都成立. ·26·