因为式子的左边为零，我們必须須有中()=0. 为完成对（α）的証明，我們必须驗証各个c是沒有相同的.假 定c不全是不相同的，例如c,出現m次，m>1,那么中()的形 式为 中(5)=(E一c,)m0(E), ()是E的有理整函数.方程(17)現在給出 (g-c)mθ()引A〉=0， .(20) 对任意的|A)都成立.因为c,是E的本征值，它一定是实数，所 以（一c,)是实钱性算符.方程(20）現在与方程(8)是同一形式， 而是用(E一c,)代替(8)中的，用()引A〉代楷|P).利用与 (8)式相联系的定理，我們就有 (E一c)()1A〉=0、 因为右关{A〉是任意的， (5-c)(E)=0, 这又与(17)是所满足的最簡单方程这一假定相矛盾了.因之， 各个c沒有相同的.而(a)就被証明了. 合X(c,)为在代数表达式X()中用c,代楷E而得的数值. 由于c是完全互不相同的，x(c,)不能为雾.現在考虑下列表式 空-1 (21) 如果这里用c,代替6，除了？一s的一項以外，求和中每一项都 为零，因为当r≠s时X,()包含着因子（一c)；而x=5的 一項是1，因此整个式子等于署。这样，当合等于数c1,c2,··, c中的任一个时，(21)式都等于零.而且由于它只是的n一1 灰代数式，所以它将恆等于零.如果我們现在用钱性算符(21)作 用于一任意的右矢P〉，而使其结果为器，我們得 )-ziex(e)1), (22) 这里右边求和中的每一项，按照(19)式，是ξ的本征右矢（如果它 不为器).方程(22)表示，任意的右矢|P〉成为的本征右失之 ·32·
和.因之就証明了(B). 作为一莆单例子，我們可以考虑一个实钱性算符。，它满足方 程 g2=1, (23) 那么，6有两个本征值十1与一1.任意的右矢|P〉能破表示为 IP)=1+)P)+是1-o1P. 容易驗証，右边的两項都是。的本征右矢，分别属于本征值+1与 一1，只要它們不为零. 510.可观察量 关于态与力学变量怎样以数学形式表現在理論中，我們已作 了一些假定。这些假定本身还不是自然规律.但是，当我們作出 某些进一步假定以提供理論的物理解释时，这些假定就变成了自 然規律了.这类进一步假定必須朵取把观察的結果同数学表达中 的方程联系起来的形式. 当我們作一次观察时，我們就是御量某个力学变量。从物理 上看来，这样的测量結果显然总必須是实数，所以我們应当期望， 我們能测量的任意力学变量必須是实数的力学变量.有人也可能 款为，他能够測量一个复数的力学变量，其办法是分别地测量它的 实部与虚部。但这一来就会引起了两次測量，或者两次观察，这在 怒典力学中是沒有間题的，而在量子力学中却是不行的，在量子力 学中，一般地說，两次观察要互相千涉一款为两次观察能严格地 同时作出一般是不允許的，而如果它們是很快地相键作出的，第一 次观察，通常要干扰系就的态，并引进不确定性，这种不确定性就 要影响第二次观察.因此，我們必須把我們能测量的力学变量限 制为实的，在量子力学中，力学变量为实的条件就是58所給出的， 然而不是每一个实的力学变量都能測量的.还需要进一步的限 制，这一点我們在后面会看出来. 現在，我們对理論的物理解释作某些假定.如果力学系統是 ·33
处于实力学变量的本征态，属于本征值，那么，对的侧量就 。定給出結果为数，反过来，如果系铳处于这样的态，在其中对 实力学变量：的测量肯定給出一特定秸果（而不是象一般情况那 样按照几率規則給出几个可能結果中的这一个或那一个)，那么， 这个态就是的本征态，而测量的特果就是的本征值，这个本征 奋是属于此本征值的.由于实算符的本征值总是实数，这些假定 是合理的， 下面将写出这些假定的某些直接推論。如果实力学变量E有 两个或更多个本征态属于同一本征值'，那么，由这些本征态所迭 加而成的任何态，也都是ξ的本征态，并且也属于本征值'.我們 能推断，如果我們有两个或更多个态，对于它侧测量：都肯定地給 出結果'，那么，对于由它們迭加而成的任何态，测量将仍然肯 定地給出桔果'。这一点使我們对态的迭加的物理意义有了某些 了解.再者，的两个属于不同本征值的本征态是正交的.我們 可以推断，两个态若对它們测量：时肯定袷出两个不同的秸果，它 們就是正交的.这一点使我們对正交态的物理意义有某些了解。 当我們測量一个实的力学变量时，包含在測量动作中的干 扰就会引起力学系統的态的突然变化.从物理的速纘性看来，如 果我們在第一次測量￡之后，立郎进行同一个力学变量的测量 那么第二次测量的精果必然与第一灰的果一样因此，在第一次 测量作过以后，在第二灰测量的桔果里就沒有不确定性了.这邮 是說，在第一次调量作过以后，系統处于力学变量的本征态，它 所属的本征值等于第一次测量的结果。如果第二次测量实际上并 未进行，这个結論也仍然有效.按这样的方法，我們看到，测量总 是使系統突变到所测量的力学变量的本征态，这个本征态所属的 本征值等于测量的待果 我們能推断，对于处于任意态的力学系統，测量，实的力学变 量的任何钻果，都是其本征值之，反过来，每一本征值是对系篍 的某，态量此力学变量的可能黏果，因为如果此态是属于这个 本征值的一个本征态，則测量結果肯定地就是此本征值.上述这 34
些給出了本征值的物理意义.实力学变量的本征值的集合，就恰 恰是御量此力学变量的各种可能結果。因此之故，計算本征值是 一个重要間題. 我們要作的与理論的物理解释有关的另一个假設是，如果对 处于，特定态的系統测量了某，实力学变量，則脑系梵因为测 量而可能突变到的那些态是这样的，即原来的态与它們是相关的. 由于系統所可能突变到的这些态都是€的本征态，因而原来的态 是与的本征态相关的.但是，原来的态可以是任意的态，所以， 我們得出秸論：任意的态是与的本征态相关的.如果我們定义 态的完牵集是这样的一个集合，使得任意的态与它們是相关的，那 么，我們的精渝就能表达为的本征态粗成一完全集. 不是每个实力学变量都有足够多的本征态以粗成完全集的」 邪些其本征态不組成完全集的力学变量就不是可以测量的量.按 此方式，我們又得到一条件，郎一个力学变量为了与测量相容，除 了它必須是实的条件外，还必須满足这个条件.如果一个实变量 的本征态粗成完全集，则我們称之为可观察量.于是，任何可以测 量的量都是可观察量， 現在这样的間題出来了：是不是每个可观察量都能够调量？ 理論上耕，回答是能的.实际上，要設計出能測量某一特定可观察 量的仪器，可能是很为困难的事，有时甚至是超出实驗工作者的才 能的；但理論总是允許我們去設想这种测量能够进行. 赴我們从数学上来考察使实力学变量：为可观察量的条件. 它的本征值可能由分立的数集（有限个，或无穷多个）所粗成，或者 不是这样，它們是包括在某一范围内的所有的数，例如在4与b之 間的所有的数.在前一情况下，任意态与的本征态相关的条件 是，任意右矢能表示为的本征右矢之和。在后一情况下，这个条 件需要加以修改，因为我們可以用一积分代替求和，即右矢|P〉可 以表示为的本征右矢的积分， 1P〉=15〉dξ， (24) 35
|〉是的本征右矢，属于本征值'，积分的范围郎是本征值的范 围，因为这样的右矢是与的本征右失相关的，然而，不是每一个 与的本征右矢相关的右矢，都能表示为(24)式右边的形式，因为 本征右矢之-一本身就不能这样表示，而且更一般地，任意个本征右 矢之和也不能这样表示.因此，的本征右矢粗成完全集的条件应 为：任意右矢|P〉能表示为的本征右失的一个积分加一个和， 卸 IP〉=Ic)g+∑Ia, (25) 其中|'c〉，|d)全是E的本征右矢，标記c与d插进去是为了 当本征值”与相等时区分这两个不同的本征右矢；其中积分 要包括本征值的整个范围，求和是对它們作任意的选择而进行的 当的本征值是由一个范围内的数所粗成的情况下，如果这一条 件（卸(25）式)满足了，那么就是可观察量. 有时还有更一般的情况会出現，即是，的本征值可能包括一 范围内連續的数，还加上在此区域外的分立的数集。在这种情况 下，是可观察量的条件仍然是，任意的右矢将表示为(25)式右边 的形式，但对”的求和現在应当是对本征值的分立的数集求和，加 上对連續的本征值中任意选出的一些求和， 要从数学上来决定一特定的实数的力学变量是否满足成为可 观察量的条件，往往是很困难的；因为找出全部本征值与本征矢量 的間題一般地是很困难的.但是，我們从实驗基础上有足够的理 由相信，某力学变量是可以测量的，并且我們可以合理地假定它是 可观察量，虽然沒有数学証明。在理輪的发展过程中，这种事是我 們常常要做的，例如，我們将假定任意力学系统的能量总是可覌察 量，虽然要証明这一点，除了簡单的情况而外，是超出当前数学分 析的力量的. 在实数的力学变量为一个数的特殊情况下，每个态都是本征 态，这个力学变量显然是可观察量.对它的任何测量总是得出同 样精果，所以它恰恰就是一个物理常数，如象电子的电荷.这样， ·36