已知态利用迭加可以得到的态数是两重无穷大. 这个結果为52与53討論的例子所証实.在S2的例子里，对 一个光子只有两种不相关的隔振态，它們可以取为两个平面偏振 态，其偏振方向分别平行与垂直于某固定方向，而从这两个态迭加 所能得到的偏振态数目就是两重无穷大，即是所得到的是椭圆偏 振态，而一般的椭圓隔振态是要用两个参量来描述的。再者，在 §3的例子里，把光子的两个給定平移态迭加，可能得到的平移态 数目是两重无穷大，其中一般的是要用两个参量来描述的，这两个 参量可以取为两个粗分波函数的振幅之比与它們的位相差.这个 証明表明了在方程(1)中允許复系数的必要性.如果这些系数仅 限于实数，那么，由于当|A〉与|B〉为已知时，为了决定合成右 矢量|R〉的方向，只有两个系数之比是有作用的，所以就会使从 迭加可得到的态数只是一重无穷大 §6.左矢量与右矢量 在任何数学理論中，每当我們有一种矢量集，我們总能建立第 二种矢量集，数学家称它們为对偶矢量.下面我們討論当原来矢 量是我們的右矢量的情况下建立对偶矢量的过程. 假定我們有一个数中，它是右矢量|A)的函数，就是說，对每 一右矢量|A)有一数中与之相应，并且进一步假定，此函数是钱性 函数，其意义是，相应于|A)十|A)的数是相应于|A)的数与相 应与引A)的数之和，相应于c|A)的数是相应于|A)的数的c倍， 其中c是任意的数字因子.这样，相应于任何引A〉的数中，就可以 看成是|A〉与某种新矢量的标量积，对右矢量|A)的每一镂性函数 就有一个这样的新矢量.能这样看待中的根据是，几个新的矢量 可以加在一起，也可以用数去乘，而得到另外的同类型的矢量，这 一点将在后面看到（見方程(5）与(6)).当然，这种新矢量只确定 到这种程度，即它們与原来的右矢量的标量积是已知数；然而，这 也就足够赴我們建立有关它們的数学理論了. 我們将把这种新矢量称为“左矢量”或簡称“左矢”，并用符号 。17
〈|表示一般的左矢量，这个符号是右矢量的符号的镜象。如果我 們想要用一个标記例如B来指出其中特定的一个，我例就把这个 字插在当中，写成〈B.一个左矢量〈B|与一个右矢量A)的标量 积将写成(B|A〉，也就是写成左矢量与右矢量符号的并列，左矢量 在左边，而为了簡单，把两条竖直钱縮写成一条. 我們也可把符号〈与〉看成是特种的括弧.标量积〈B|A〉这时 就表現为一完整的括弧式，而左矢量〈B|或右矢量|A)就表现为不 完整的括弧式，我們就有下迹規则：任，完整的括弧式代表，个 数，而任。不完整的括孤式代表。个矢量，是车矢量还是有矢量， 要看这不完整的括弧式是括孤的左牛还是有半而定。 〈B与|A)〉的标量积是」A〉的棧性函数，这一条件可用符号 表示为： 〈B|{|A〉+IA}=〈B}A)+〈B|A), (2) 〈B|{clA〉}=c〈B|A): (3) 其中c为任意数 当一左矢量与每个右矢量的标量积都是已知时，我們就款为 它是完全肯定的了.所以，如果一左矢量与每个右矢量的标量积 都为零，則这个左矢量本身一定应就为是雾，用符号写出即为： 如果 〈P|A)=0,对所有的|A), (4) 則 〈P|=0. 两个左矢量〈B|与(B|的和是按下述条件定义的，郎它与任 一右矢量|A)的标量积是(B|与引A)的标量积及(B|与引A〉的标量 积之和： {KB|+〈BI}川A〉=〈B|A)+〈B|A), (5) 左矢量〈B|与数c的乘积是由下述条件定义的，卸它与任一右矢 量|A)的标量积是〈B|与引A)的标量积的c倍： {c(B|}IA〉=c(B|A). (6) 方程(2)与(5)表明，左矢量与右矢量乘积满足乘法的分配公理，方 程(3)与(6)表明，用数字因子乘矢量，满足一般的代数公理. 象我們已經在此引入的左矢量，是与右矢量完全不同的另一 18·
类矢量.而且直到現在，除了在左矢量与右矢量之間存在着标量 积而外，两者之間还沒有任何联系。我們现在作一个假定：在左 矢量与右矢量之閱有，，对应关系，使得相应于14)+|4)的左 矢是相应于|A〉的左矢与相应于|A)的左矢之和，而相应于c|A) 的左矢則是相应于|A)的左矢乘以c,c是c的共軛复数.我們 将用同样的标配来指明一个右矢与其相应的左矢，这样，相应与 |A)的左矢将写成〈A|. 右矢量与其相应的左矢量之間的对应关系，使我們能合理地 把它們称为互为共軛虚量，我們的左矢量与右矢量是复量，因为 它們能乘以复数，而所得的量仍具有与前相同的性质，但是它們是 一种特殊的复量，不能分成实部与虚部。通常用来得到一个复量 的实部的办法是取复量本身与其复共軛之和的一牛，这种办法不 能应用于上述特殊的复量，因为左矢量与右矢量是不同性质的，不 能加在一起。为了引起对这个区别的注意，說到数及其他能分为 实部与虚部的各种复量时，我們将用“共軛复量”一詞，而說到不能 分为实部与虚部的左矢与右矢时，則用“共轭虚量”一司.对于前 一类量，我們将在它們上面划一短横，来表示其共軛复量. 由于左矢量与右矢量之間是一一对应的，在特定的时刻，我們 力学系裁的任何态也可以用，左矢量的方向来确定，就象用、有 矢量的方向来确定一样.事实上，整个理論在本质上在左矢与右 矢之間是对称的. 已知任意两个右矢量|A〉与|B〉，我們能从它們得出一个数 (B|A〉，取|A〉与引B〉的共軛虚量作标量乘积，这个数与引A)镂 性相关，与|B)反镘性相关，反钱性相关的意义是：由|B〉+|B〉 所形成的数，是B〉所形成的数与B)所形成的数之和，而由 cB)所形成的数是|B〉所形成的数的c倍.还有得到一个数的 第二种办法，这个数也是与|A〉线性相关，与引B〉反镂性相关的， 那就是，先用引B〉与引A)的共軛虚量作标量积，再取这个标量积的 共轭复数.我們假定，这两个数总是相等的，卸是 〈B|A=AB). (7) ·19
如果在其中合|B〉=|)，我們就发現数〈A|A〉应該是实数.我 們作进一步的假定，除！A〉=0时外， 〈A|A〉>0 (8) 在普通的空間中，我們能从任意两个矢量得出一个数—它 們的标量积一它是个实数，在两个矢量之間是对称的.在左矢 量的空間中，或者在右矢量的空間中，我們从任意两个矢量也能得 到一个数一它們中的一个与另一个的共軛虚量的标量积一一但 是这个数是个复数，并且当两个矢量对换时，这个数要变成它的共 軛复数。于是在这种空間里也有一种正交性，它是普通空間中的 正交性的推广，如果一个左矢量与一个右关量的标量积为零，我 們就称它們为互相正交的，如果一个右矢量（或左矢量）与另一右 矢量（或左矢量）的共軛虚量的标量积为零，則我們就称这两个右 矢量（或两个左矢量）是正交的.进一步，如果相应于力学系統的 两个态的两个矢量（左矢量或右矢量）是正交的，我們就說这两个 态是正交的. 左矢量〈A,或其共轭虚右矢量|A)的长度定义为〈A川4)这个 正数的平方根.当我們有一态，而希望建立一个左矢或右矢与之 相应时，这时只是这个矢量的方向是已知的，这个矢量本身则还 差一个数字因子未决定.选择这个数字因子使矢量的长度为1常 常是方便的.这个程序就称为归一化，而如此选择的矢量称为已归 一化的.即合如此，这矢量还未完全决定，因为我們还能用模量为1 的任何复数乘它而不会改变其长度，也卸能用形式的任意数去 乘它而不会改变其长度，其中Y是实数。我們称这个数为相因子， 上远諾假定給出了力学系统在特定时刻的各态之間的关系的 完全方案.这些关系表現为数学形式，但它們包含着物理条件，当 理論进一步发展时，这些物理条件将引出許多結果，可用观察而得 的知藏表示出来.举例說，如果两个态是正交的，目前它只是簡单 地意味着在我們的公式里的某一方程，但这个方程包含着两个态 之間存在有某种肯定的物理关系，理論的进一步发展将使我們能 用許多观察秸果来解释这种物理关系（参看§10）. 。20
第二章力学变量与可观察量 §7.钱性算符 在前节我們考虑过一个数，它是右矢量的楼性函数，这就引 出了左矢量的概念.現在，我們将考虑一右矢量，它是右矢量的钱 性函数，这就将引出钱性算符的槪念. 假定我們有一右矢|F〉，它是右矢|A〉的函数，卸是說，对每 一右矢|A〉，有一相应的右矢|F〉；并且进一步假定这个函数是 钱性函数，其意义是，相应于|A〉+|A〉的|F〉是相应于|A〉》 的|F〉与相应于|A〉的|F〉之和，相应于c|A〉的|F〉是相应 于|A)的|F〉乘以c,c是任意的数值因子.在这些条件下，我 們可能把从IA)到|F〉的过程，看成是对IA)运用了。个镂性 算符.引入後性算符的符号a,我偶就可以写成 {F〉=aA), 其中a作用于|A〉的結果写成象a与|A)的乘积一样.我們規 定下列規則：在这种乘积里，右矢量必須总是放在镂性算符的有 边.上迹的钱性条件，現在可以用方程表示为 a{lA〉+|)}=a|A）+alA),l (1) a{clA〉}=cal). 当一个钱性算符作用于每一个右矢量的結果为已知时，則这 钱性算符就被凯为是已完全定义了.这样，如果一个镂性算符作 用于每个右矢量的結果都为雾，則它就被凯为是零；当两个钱性算 符作用到每个右矢量上，如果总是产生相同的秸果，則这两个钱性 算符就被款为是相等. 钱性算符能被加在一起，两个綾性算符之和定义为符合下述 条件的一个籁性算符：它作用在任意的右矢量上，产生的右矢量 ·21·