的意义上来图象地殿明一个系統部分地处于两个态中每一个，而 同时又要这一情况等同于这个系莸完整地处于某一其他的态.这 里包合有完全新的观念，对这种新的观念我們必須习慣，我們必須 开始用它来建立严格的数学理論，而不要任何群知的經典图象. 当一个态是由两个其他的态迭加粗成时，这个态将具有一些 性质，按某种不精确的說法，这些性质介于两个原来态的性质之 間，井且它們与其中某一态的性盾更多或更少接近，这要按照在迭 加过程中与这个态相应的相对“权重”是大些还是小些而定.若原 来两个态在迭加过程中的相对权重为已知，再加上一定的位相差， 新态就完全由两个原来的态决定了；在一般的情况下，权重与位相 的确切含意是由数学理論提供的。在一个光子偏振的情况下，它 們的含意就是經典光学所提供的含义，因而举例說，当两个互相垂 直的平面偏振态用相等的权重迭加时，根据位相差的不同，新态可 能是左旋或右旋的圓偏振，也可能是与原来的偏振方向成子π角 的後偏振，还可能是椭圓偏振的， 迭加过程的非經典性质，可用下面的例子耕清楚.我們研究 A与B两个态的迭加，对这两个态的要求是，存在着一种观察，它 作用于处在A态的系統时一定得到一个特定秸果，例如說是4，而 当它作用于处在B态的系統时，一定得到某一不同的秸果，例如說 是五.当我們把这种覌察作用于处在迭加态的系統时，观察的待 果将会是什么呢？回答是其結果将有时为a,有时为b,按照由迭 加过程中A与B的相对权重所决定的儿牵規律而定.除了α与b 外，永不会有其他秸果。这样，由迭加形成的态所具有的中間性 霞是，通过由观察得出特定秸果的儿率处于原来两个态的相应儿 李的中間而表現出来”，而不是观察秸果本身处于原来两个态的相 应結果的中間。 ）松情，当原的各个态得到某一特定结果的几率不全是雾或1时，在 得到这 特定结果的几率，并不总 是处于原来各态的相应几率 的中间；所以，对选加而成的态的“中间性质”一语，是有若干限制的。 ·12
这样，我們注意到，象“各态之間有迭加关系”这样突出背离一 般概念的假定之所以可能，仅仅是因为承趴了件随观察的千扰的 重要性以及由之而来的观察結果的不肯定性.当一种观察作用于 处于給定态的任意原子系流时，一般地說，結果将是不肯定的，也 就是說，如果实驗重复多东，在相同的条件下可能得出几个不同的 結果。然而，自然界的規律是，如果实驗重复很多次，得到每一特 定秸果的次数与实驗总次数之間有一确定的比例，因之就有了得 到每一特定結果的确定几率.这种儿率就正是理論所要去計算 的.只有在特殊情况下，即当某一桔果的几率为1时，实驗桔果才 是肯定的. 各态之間迭加关系的假定引出一种数学理論，其中决定态的 方程对未知函数是後性的.由于这一点，人們會武图建立与某些 經典力学的系統的类比，这些系統例如振动的弦与膜等，是由綾性 方程支配的，从而有一个迭加原理对它們成立.这样的类比已引 出了“波动力学”这个名嗣，有时它成为量子力学的另一名称。虽 然如此，重要的是要配住，在量子力学中出现的迭加，与任何在經 典理箭中出现的迭加，有根本不相同的性质，这一点可由下逃事实 表明，即为了要能有可以理解的物理解释，量子力学的迭加原理要 求观察秸果具有不确定性。因此，这种类比是容易引起誤解的 §5.迭加原理的数学表达 在本世紀内，物理学者对于他們研究的对象的数学基础所持 的看法，发生了深刻的变化.以前他們假定牛頓力学的原理会提 供描逃整个物理現象的基础，井款为理論物理学家所必要去做的 事不过是适当地发展与应用这些原理.随着就識到，沒有合乎避 輯的理由来說明，为什么牛顛的原理与其它的原理应当适用于它 們會被实驗証明的頜域以外；这样，人們秘于理解到，背离这些原 理实在是必要的.通过把新的数学形式、新的一套公理与运算規 則引进到理論物理的方法中，这种背离得到了它們的表达方式. 量子力学提供了新概念的好例子.它要求力学系統的态与力 。13
学变量，用一种相当奇怪的方式互相联系起来，这种方式从經典观 点看来是不可理解的.态与力学变量必須用一些数学上的量来表 示，而这些量具有与物理学中常用的量不相同的性质.当所有支 配这些数学量的定理与运算規則都規定了，并且除此而外，还規定 了某些把物理事实与数学公式联系起来的規則，从而由任何給定 的物理条件，就可能得出这些数学量之間的方程，同时从方程也可 能得出物理条件，这样新的方案就成为精确的物理理論了.在应 用理輪时，我們要知道某些物理知藏，进而用这些数学量的方程去 表示这些物理知藏。然后，我們借助于定理与运算規律，推导出新 的方程，并把这些新的方程解释为物理条件而得出結論.这整个 方案的合理性，除了内部的协調而外，还要取决于这样推出的最后 钻果是否与实驗相符合 我們将开始建立这种新方案，办法是研究力学系統在某一时 刻的各态之間的数学关系，这些关系是来自迭加原理的数学表达 的.迭加过程是一种相加的过程，它意味着几个态能以某种方式 被加在一起而成为新的态.因此，态必須与这样一种数学量相联 系，这种数学量应当能加在一起而得出同类的另外的量.这样的 量中最明显的是矢量，通常的矢量，邮有限雜空間中的矢量，对于 量子力学中的大部分力学系統說来，是不够普逼的。我們必须作 一个推广，使用无限雉空間中的矢量，而由于收斂性間題数学处理 就变得复杂了.但是在目前，我們仅只研究矢量的某些一般性质， 这些性质能在一簡单的定理方案的基础上推导出来。我們暂时不 深入到收敛性間題及有关的論题上去，直到有需要时再来討論， 为描远那些与量子力学中系統的态相联系的矢量，我侧希望 有一特殊的名称，不管它們是在有限雒空間，还是在无限椎空間 中.我們将把它們称为“右矢量”或者筒称“右矢”，并用一特殊的 符号〉来表示一个一般的右矢.如果我們要用一个字母，例如 A,来指明它們中特定的一个，我們把这个字插在中間，写成引A〉. 当这方案发展以后，将会清楚地看出这种符号的适当性 右矢量可以用复数来乘，也可以加在一起得出另外的右矢量， 14
即从两个右矢量|A〉与|B〉我們能例如得到， c1lA〉+clB〉=|R〉， (1) 其中c1及c2是任意两个复数.我們也可用它們进行更一般的楼 性运算，例如把它們的无限系列加起来，如果我們有由参量x 标記的右矢量引x〉，它随x而变，而x可以在某一范围内取所有的 值，我們就可以把这个右矢量对x进行积分，从而得到另一右矢 量，如 [1x)dx=19). 一个右矢量如能後性地用某些其他矢量来表示，就說这个右矢量 对它們是钱性相关的.右矢量的一个集合，如果它們之中任何一 个都不能钱性地用此集合中的其他的右矢量来表示，則称为“镂性 无关的”. 现在我們假定，在，特定时刻力学系就的每。个态相应于： 右矢量，其相应关系是这样的：如果，态是由某些其他态的迭加 而得，则它的相应的右矢量能表示为与这些其他态相应的諸右矢 量的钱性粗合，并且，反过来也对.因此，当相应的右矢量有(1)式 的关系时，則态R是由态A与态B迭加的結果。 上面的假定引出迭加过程的某些性质，这些性质事实上是使 “迭加”这个詞成为适当而必需的.当两个或更多的态迭加起来， 它們在迭加过程出現的次序是不重要的，所以，迭加过程在两个被 迭加的态之間是对称的.同时，我們从方程(1)看出（除了当系数 c1或c2是馨的情况以外)，如果态R能由态A与态B迭加而成，那 么，态A就能由态B与态R迭加而成，而态B也能由态A与态R迭 加而成.迭加关系在所有这三个态A,B与R之間是对称的. 一个态由某些其他态的迭加而成，則这个态就称为对这些态 相关.更一般地耕，一个态称为对任何許多态的集合相关，集合中 态的数目可以是有限的，也可以是无限的，只要与这个态相应的右 矢量是对这一集合中各态相应的右矢量是相关的.一个态的集合 如果其中任何一个态都对其余的态不相关，就舰这个集合是不相 ·15·
关的. 为了把迭加原理的数学表达进行下去，我們必須引入进一步 的假定，即假定我們用一个态与其本身迭加不能形成任何新的态， 而只能仍得到原来的态.如果原来的态相应于右矢量|A〉，当它 与其本身迭加时，結果所得的态将相应于 61lA〉+c2|A〉=(c1+c2)|A〉， 其中c1,c2是数.現在，我們可能使G1+c2=0,在这种情况下， 迭加过程的精果会是什么也沒有了，即两个粗分已由干涉效应而 互相抵消了.我們的新假定要求，除了这种特例以外，結果所得 的态必须与原来的态相同，因而(c1+c2)川4〉必须与|A〉相应于 同一个态。現在(c1十c2)是任意的复数，从而我們得出結論：如 果相应于。个态的右矢量乘以任何不为零的复数，則得到的有矢 量相应于同，态。这样，一个态是由一个右矢量的方向所确定的， 人們规定右矢量为任何长度是不关紧要的.力学系統的所有的态 与右矢量的一切可能方向，是一一对应的，而在右矢量|A)与右关 量一|A〉的方向之間也沒有任何区别. 刚才做出的假定很清楚地表明了，量子理論的迭加与任何种 类的經典迭加之間的根本区别.在迭加原理成立的經典系統的情 况下，例如振动的薄膜，当我們把一个态与其本身迭加，結果是得 到一个不同的态，具有不同的振幅。在量子态中，沒有任何物理特 性相应于經典振动的振幅，振幅与振动的膏质是有区别的，因为振 动的音质是用膜上不同各点的振幅之比来描远的.再者，虽然存 在振幅到处都为零的經典态，即靜止态，但对量子系統来說，却不 存在任何与之相应的态，等于零的右矢量相应于完全沒有任何态 有了两个态相应于右矢量|A〉与B〉，由它們迭加而成的一 般态相应于一个右矢量|R),它由两个复数即方程(1)中的系数 c1与c2决定.如果这两个系数同时被乘以相同的因子（因子本身 也是复数)，則右矢量【R〉将被此因子所乘，而所相应的态将不 变.这样，在决定态R时仅仅这两系数之比是有作用的.因而 这个态R是由一个复数或两个实数参量所决定的，这样，从两个 ，16