第3章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念集合是不能精确定义的基本的数学概念，一般认为一个集合指的是一些可确定的可分辨的事物构成的整体。对于给定的集合和事物，应该可以判定这个特定的事物是否属于这个集合。如果属于，就称它为这个集合的元素。集合通常用大写的英文字母来标记。例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。给出一个集合的方法有两种，一种是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。另一种是用谓词概括该集合中元素的属性。一般说来，集合的元素可以是任何类型的事物，一个集合也可以作为另一个集合的元素。在集合论中，我们还规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关系的。定义3.1设A、B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B。记A2B。如果B不被A包含，则记作BA。包含的符号化表示为BCAVx(xBxA)定义3.2设A、B为集合，如果ACB且BCA，则称A与B相等，记作A=B。定义3.3设A、B为集合，如果ACB且B≠A，则称B是A的真子集。定义3.4不含任何元素的集合叫做空集，记作。定理3.1空集是一切集合的子集。推论空集是唯一的。例3.1确定下列命题是否为真。含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m个（m<=n）元素的子集称为它的m元子集。例3.2A={a,b,c)，求A的全部子集。定义3.5设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫作A的幂集，记作P（A）例3.3计算以下幕集定义3.6在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E(或U).全集是个有相对性的概念。由于所研究的问题不同，所取得全集也不同。3.2集合的基本运算给定集合A和B，可以通过集合的并、交、相对补、绝对补和对称差等运算产生新的集合。定义3.7设A、B为集合，A与B的并集AUB、交集AOB、B对A的相对补集AB分别定义如下：AU B=(x|xAnB=A-B=当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。定义3.8设E为全集，AE，则称A对E的相对补集为A的绝对补集，记作～A定义3.9设A、B为集合，则A与B的对称差是AB=(A-B) U (B-A)A与B的对称差还有一个等价的定义，即
第 3 章 集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念 集合是不能精确定义的基本的数学概念，一般认为一个集合指的是一些可确定的可分辨 的事物构成的整体。对于给定的集合和事物，应该可以判定这个特定的事物是否属于这个集 合。如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来标记。例如，N 代表自然数集合（包括 0），Z 代表整数集 合，Q 代表有理数集合，R 代表实数集合，C 代表复数集合。 给出一个集合的方法有两种，一种是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把 它们用花括号括起来。另一种是用谓词概括该集合中元素的属性。 一般说来，集合的元素可以是任何类型的事物，一个集合也可以作为另一个集合的元素。 在集合论中，我们还规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关系的。 定义 3.1 设 A、B 为集合，如果 B 中的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 为 A 的子集 合，简称子集。这时也称 B 被 A 包含，或 A 包含 B。记 A B。如果 B 不被 A 包含，则记作 B A。包含的符号化表示为 B A x(xBxA) 定义 3.2 设 A、B 为集合，如果 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记作 A=B。 定义 3.3 设 A、B 为集合，如果 A B 且 B≠A，则称 B 是 A 的真子集。 定义 3.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。 定理 3.1 空集是一切集合的子集。 推论 空集是唯一的。 例 3.1 确定下列命题是否为真。 含有 n 个元素的集合简称 n 元集，它的含有 m 个（m<=n）元素的子集称为它的 m 元子 集。 例 3.2 A={a,b,c}，求 A 的全部子集。 定义 3.5 设 A 为集合，把 A 的全体子集构成的集合叫作 A 的幂集，记作 P(A). 例 3.3 计算以下幂集 定义 3.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合 为全集，记作 E(或 U). 全集是个有相对性的概念。由于所研究的问题不同，所取得全集也不同。 3.2 集合的基本运算 给定集合 A 和 B，可以通过集合的并、交、相对补、绝对补和对称差等运算产生新的集 合。 定义 3.7 设 A、B 为集合，A 与 B 的并集 A B、交集 A B、B 对 A 的相对补集 A-B 分 别定义如下： A B={x|x A B= A-B= 当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。 定义 3.8 设 E 为全集，A E，则称 A 对 E 的相对补集为 A 的绝对补集，记作～A 定义 3.9 设 A、B 为集合，则 A 与 B 的对称差是 A⊕B=(A-B) (B-A) A 与 B 的对称差还有一个等价的定义，即
A④B=（AUB)-（AOB)集合之间的相互关系和有关运算可以用文氏图给予形象的描述。下面列出的是集合运算的主要算律，其中的A、B、C表示任意的集合。幂等律结合律交换律分配律同一律零律排中律矛盾律吸收率德。摩根律双重否定率例3.4证明例3.5证明例3.6化简例3.7例3.83.3集合中元素的计数集合A=(1,2，，n)，它含有n个元素，可以说这个集合的基数是n，记作card A=n.所谓基数，是表示集合中所含元素多少的量，如果A的基数是n，也可以记作A=n，显然空集的基数是0.定义3.10设A为集合，若存在自然数n(O也是自然数)，使得|A=cardA=n，则称A是永穷集，否则称A为无穷集。例3.9例3.10求在1和1000之间不能被5或6，也不能被8整除的数的个数。定理3.2S中不具有性质P1,P2，,Pm的元素数是推论在S中至少具有一条性质的元素数是
A⊕B=（A B）-（A B） 集合之间的相互关系和有关运算可以用文氏图给予形象的描述。 下面列出的是集合运算的主要算律，其中的 A、B、C 表示任意的集合。 幂等律 结合律 交换律 分配律 同一律 零律 排中律 矛盾律 吸收率 德。摩根律 双重否定率 例 3.4 证明 例 3.5 证明 例 3.6 化简 例 3.7 例 3.8 3.3 集合中元素的计数 集合 A={1,2,.,n}，它含有 n 个元素，可以说这个集合的基数是 n，记作 card A=n. 所谓基数，是表示集合中所含元素多少的量，如果 A 的基数是 n,也可以记作|A|=n，显然空 集的基数是 0. 定义 3.10 设 A 为集合，若存在自然数 n(0 也是自然数)，使得|A|= card A=n，则称 A 是永穷集，否则称 A 为无穷集。 例 3.9 例 3.10 求在 1 和 1000 之间不能被 5 或 6，也不能被 8 整除的数的个数。 定理 3.2 S 中不具有性质 P1,P2,.,Pm 的元素数是 推论 在 S 中至少具有一条性质的元素数是