电子科技大学：《光学原理 Principles of Optics》课程教学资源（课件讲稿）第四章 标量衍射理论基础

一、菲涅耳半波带作图法 以点光源发出的球面波通过小园孔为例 显然，波面S对法线 OP具有旋转对称性。 B3 在S上取环状带， B2 R B1 且使： Bo ro BP-BoP=B2P-BP =B3P-B2P=… 对称轴， -B,P-B-P-2 S的法线 极点 :由：B,P=6有：BP=6+2 B,P=6+2. 2 相邻波面到观察点距 离均相差λ/2的环形 B,P=5+3 P=+号 带波面称为半波带

2 : 1 3 2 1 0 2 1           B P B  P B P B P B P B P B P B P k k  且使 2 2 3 2 2 2 : : 3 0 0 0 0 1 0 2 0                  B P r B P r k B P r B P r B P r  k 由 有 一、菲涅耳半波带作图法 以点光源发出的球面波通过小园孔为例 显然，波面S对法线 OP具有旋转对称性。 在S上取环状带， B3 B2 B1 C C‘ O B0 r0 P 极点 对称轴， S的法线 R S  相邻波面到观察点距 离均相差λ/2的环形 带波面称为半波带

二、半波带性质 1、任意相邻两个半波带的对应点同时到达观察点P时，光程差为W2, 振动方向相反，位相差为△p= 2r6=π 2、各环形带的面积近似相等。 证明：如右图示 S 设：CC对P点刚好露 出k个半波带且第k个 R =+k. 2 半波带的半径为Pk R Co hBo ro 则：露出部分波面的表面积 (球冠)为 Sk=2πRh 又：n=-R=6+h - 2R+) 远场点 ro>>λ， 面店G-+-8+ 略去入的平 ≈k52 方项

二、半波带性质 1、任意相邻两个半波带的对应点同时到达观察点P时，光程差为λ/2， 振动方向相反，位相差为        2 2、各环形带的面积近似相等。 证明：如右图示 O P R S  R r B0 0 C’ C c0 h k  k 2 0  r  r  k  k 设：CC‘对P点刚好露 出k个半波带且第k个 半波带的半径为ρk ( ) Sk 2Rh : 球冠 为  则 露出部分波面的表面积       0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 : R r r r R R h r r h h k k k   又              0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 :r r r k r k r k k r k                 而     远场点 r0＞＞λ， 略去λ的平 方项

第k个半波带面积S=Sk-S-1= Rro元 与无关 R+ro 将h/(r-2)代入有：Sk=2πR. k6入 2πRrk入 2(R+) R+To 2 ∵在r>>入的条件下，各半波带的面积与带的序数k无关，即各半波带 面积近似相等。 三、振幅的计算 设：各半波带所发次波在P点产生的振幅分别为a41,a2,a3,·,ak, P点合振幅为Ak 则由惠-菲原理有：a,xK0,): 而dS=const且K()是随0，缓慢 减小的函数所以k个→个→0个→K(0)缓慢↓→a单调↓ ∴.a1,a2,43,…,a形成单调减小数列，故有如下关系存在： ak ak-Ll+ 22 a4= 2 2 2 2

  2 2 2 /( ) : 2 0 0 0 2 0 0 2            R r Rr k R r k r 将h rk r 代入有 Sk R 第 个半波带面积 与k无关 R r Rr k Sk Sk Sk   0 0 1        ∴在r0＞＞λ的条件下，各半波带的面积与带的序数k无关，即各半波带 面积近似相等。 三、振幅的计算 设：各半波带所发次波在P点产生的振幅分别为 , , , , , a1 a2 a3  ak P点合振幅为Ak。                    减小的函数 所以 缓慢 单调 则由惠 菲原理有 而 且 是随 缓慢 k k k k k k k k k k k k r K a dS const K r dS a K      , , : 2 2 2 2 2 2 , , , , , : 3 5 1 1 4 1 3 2 1 2 3          k k k k a a a a a a a a a a a a a   形成单调减小数列 故有如下关系存在

P点合振幅：A=a41-a2+a3-a4+…±ak 为商数时-受经a受是a…生a+受号 号+号点相长完 当k为偶数时： 4=号+经%台a++告 kL一ak a ar-ax 22 当k足够大时，aa1a-a4≈- 2 2 .Ax= a ak (P点相消，暗点) 22 (k为奇数时取+，偶数时取-) 2 2

( , ) 2 2 2 2 , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : 1 1 1 1 1 1 1 2 5 3 4 3 3 2 1 1 点相消 暗点 当 足够大时 当 为偶数时 P a a A a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a A k k k k k k k k k k k k k k k k                                                    1 2 3 4 1 1 3 3 5 2 2 4 1 1 : : 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 2 k k k k k k k k P A a a a a a a a a a a a a a k A a a a a a P                                         点合振幅 当 为奇数时 点相长 亮点 ( , ) 2 2 : 1 故   k为奇数时取 偶数时取 a a A k k

尽管惠更斯一菲涅耳原理的数学表达式可以用 来讨论衍射问题，但需要指出的是，菲涅耳对 子波波源所作的假设是虚构的，它并不是一个 实际的点光源，作这一假设的目的是用它来形 象地描述光波的传播行为，并没有真实的物理 意义 ●】 菲涅耳对倾斜因子的假设缺乏理论根据，从光 辐射的机理或概念上也难以理解和解释 1882年德国人基尔霍夫用标量场理论严格地推 导出了基尔霍夫衍射公式，他给予倾斜因子以 明确的数学表达式，从而成功地证明了菲涅耳 所假定的次级波源的振幅和相位的取值其实是 光的波动性的合乎逻辑的结论 基尔霍夫的工作将惠更斯一菲涅耳原理放在了 个坚实的数学基础之上

• 尽管惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式可以用 来讨论衍射问题，但需要指出的是，菲涅耳对 子波波源所作的假设是虚构的，它并不是一个 实际的点光源，作这一假设的目的是用它来形 象地描述光波的传播行为，并没有真实的物理 意义。 • 菲涅耳对倾斜因子的假设缺乏理论根据，从光 辐射的机理或概念上也难以理解和解释。 • 1882年德国人基尔霍夫用标量场理论严格地推 导出了基尔霍夫衍射公式，他给予倾斜因子以 明确的数学表达式，从而成功地证明了菲涅耳 所假定的次级波源的振幅和相位的取值其实是 光的波动性的合乎逻辑的结论。 • 基尔霍夫的工作将惠更斯—菲涅耳原理放在了 一个坚实的数学基础之上