R R 24"(2 则有J=1MR2-y=29MB2 3B3一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端,绳另一端绕在一轮轴的轴上, 如图所示.轴水平且垂直于轮轴面,其半径为r,整个装置架在光滑的固定轴 承之上.当物体从静止释放后,在时间t内下降了一段距离S.试求整个轮轴 的转动惯量(用m、r、t和S表示) 解:设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T,则根据牛顿运动定律和转动定 律得 ① 由运动学关系有 由①、②、③式解得: m(g-a)r2/a④ 又根据已知条件=0 将⑤式代入④式得:J=m( 3B4有一半径为R的圆形平板放在水平桌面上,平板与水平桌面的摩擦系数为,若平板 绕通过中心且垂直板面的固定轴以角速度O0开始旋转,它将在旋转几圈后停止? 解:在r处的宽度为dr的环带面积上摩擦力矩为 dM=u πr·rdr 2 总摩擦力矩 M=l dM=fumg h 故平板角加速度 设停止前转数为n,则转角6=2m 由 2=2B0=4πMn/J 可得 Ja% 4πM =3Ro/16/g 3B-5.一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固 定轴转动.抬起另一端使棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将
6 2 2 1 1 1 3 2 ' 2 4 2 4 4 64 R R J M M MR 则有 1 29 2 2 ' 2 64 J MR J MR 3B-3 一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上， 如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为 r，整个装置架在光滑的固定轴 承之上．当物体从静止释放后，在时间 t 内下降了一段距离 S．试求整个轮轴 的转动惯量(用 m、r、t 和 S 表示)． 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为 T，则根据牛顿运动定律和转动定 律得： mgT＝ma ① T r＝J ② 由运动学关系有： a = r ③ 由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r 2 / a ④ 又根据已知条件 v0＝0 ∴ S＝ 2 2 1 at ， a＝2S / t 2 ⑤ 将⑤式代入④式得：J＝mr 2 ( S gt 2 2 －1) 3B-4 有一半径为 R 的圆形平板放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ ，若平板 绕通过中心且垂直板面的固定轴以角速度 0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？ 解：在 r 处的宽度为 dr 的环带面积上摩擦力矩为 r r r R mg dM 2 d 2 总摩擦力矩 M M mgR R 3 2 d 0 故平板角加速度 =M /J 设停止前转数为 n，则转角 = 2n 由 2 4Mn / J 2 0 可得 R g M J n 3 /16π 4 2 0 2 0 3B-5.一长为 1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固 定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成 60°，然后无初转速地将 T r T a mg m O r l O 60° mg
棒释放.已知棒对轴的转动惯量为-m12,其中m和l分别为棒的质量和长度.求 (1)放手时棒的角加速度 (2)棒转到水平位置时的角加速度 解:设棒的质量为m,当棒与水平面成60°角并开始下落时,根据转动定律 其中 M= mohsin30°=mgl/4 于是 38=735radi J 47 当棒转动到水平位置时,M=-mgl 那么 =14.grad 3B-6如图所示,一圆盘形工件K套装在一根可转动的 固定轴A上,它们的中心线互相重合,圆盘的内外直 径分别为D和D,该工件在外力矩作用下获得角速度 Oo,这时撤掉外力矩,工件在轴所受的阻力矩作用下 最后停止转动,其间经过了时间1.试求轴所受的平均 阻力.这里圆盘工件绕其中心轴转动的转动惯量为 mD2+D2)/8,m为圆盘的质量.轴的转动惯量忽略不计 解:如果平均阻力为∫,根据转动定律得 f斤=JB 其中 =D/2,J=m(D2+D2)/8 JB/D=-m(d +DB/(4D) 又从已知条件 则角加速度 B=(a1-00)/t=-oo/t 将③式代入②式,得∫的量值为 D+D 作业4B4B角动量守恒定律,转动动能 4B1光滑圆盘面上有一质量为m的物体A,拴在一根穿过圆盘中心O 处光滑小孔的细绳上,如图所示.开始时,该物体距圆盘中心O的距离 7
7 棒释放．已知棒对轴的转动惯量为 2 3 1 ml ，其中 m 和 l 分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度． 解：设棒的质量为 m，当棒与水平面成 60°角并开始下落时，根据转动定律 M = J 其中 sin 30 / 4 2 1 M mgl mgl 于是 2 7.35 rad/s 4 3 l g J M 当棒转动到水平位置时， M = 2 1 mgl 那么 2 14.7 rad/s 2 3 l g J M 3B-6 如图所示，一圆盘形工件 K 套装在一根可转动的 固定轴 A 上，它们的中心线互相重合，圆盘的内外直 径分别为 D 和 D1．该工件在外力矩作用下获得角速度 ，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下 最后停止转动，其间经过了时间 t．试求轴所受的平均 阻力．这里圆盘工件绕其中心轴转动的转动惯量为 m(D 2＋ 2 D1 ) / 8，m 为圆盘的质量．轴的转动惯量忽略不计． 解：如果平均阻力为 f ，根据转动定律得 fr J ① 其中 r D/ 2， ( )/8 2 1 2 J m D D ∴ 2 / ( ) /(4 ) 2 f J D m D D1 D ② 又从已知条件 t = 0 则角加速度 = (t－) / t =－0 t ③ 将③式代入②式，得 f 的量值为 f = m0(D 2＋ 2 D1 ) / (4Dt) 作业 4B 4B 角动量守恒定律，转动动能 4B-1 光滑圆盘面上有一质量为 m 的物体 A，拴在一根穿过圆盘中心 O 处光滑小孔的细绳上，如图所示．开始时，该物体距圆盘中心 O 的距离 . D D1 A K r A 0 O v 0
为r,并以角速度ω绕盘心O作圆周运动.现向下拉绳,当质点A的径向距离由n减少到 r时,向下拉的速度为,求下拉过程中拉力所作的功 解:角动量守恒 nOr= mU U-2时小球的横向速度 Z为小球对地的总速度,而v=v2+b3 拉力作功 W=-mUB 当r=时 W=(3m2o2/2)+m 4B2质量为m4的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用,B保持在原点不动.起初,当 A离B很远(r=∞)时,A具有速度U0,方向沿图中所 示直线Aa,B与这直线的垂直距离为D.粒子A由于A→x2-- 粒子B的作用而偏离原来的路线,沿着图中所示的轨 道运动.已知这轨道与B之间的最短距离为d,求B 的质量mB. 解:A对B所在点的角动量守恒.设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为U. Uo=m, ud, U=Dvo /d A、B系统机械能守恒在很远处时,引力势能为零 m, u-gr 解得 Uo=2Gmald m=(D2-d2)u2/(2d) 4B-3.如图所示,A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上,设两轮的转动惯量分别为J=10 kg·m2和J=20kg·m2.开始时,A轮转速为600 rev/min,B轮静止.C为摩擦啮合器, 其转动惯量可忽略不计.A、B分别与C的左、右两个组件 相连,当C的左右组件啮合时,B轮得到加速而A轮减速 直到两轮的转速相等为止.设轴光滑,求: - (1)两轮啮合后的转速n (2)两轮各自所受的冲量矩 解:(1)选择A、B两轮为系统,啮合过程中只有内力矩作用,故系统角动量守恒 JAoa+JB@B=(J+JB)o 又aB=0得 Ox JO/JA+JB)=20.9 rad/s
8 为 r0，并以角速度0 绕盘心 O 作圆周运动．现向下拉绳，当质点 A 的径向距离由 r0 减少到 0 2 1 r 时，向下拉的速度为 v，求下拉过程中拉力所作的功． 解：角动量守恒 mv r mv r 0 0 ① v ＇为 0 2 1 r r 时小球的横向速度． 拉力作功 2 0 2 2 1 2 1 W mv B mv ② vB 为小球对地的总速度， 而 2 2 2 v B v v 当 0 2 1 r r 时 2 2 0 2 0 2 1 W (3mr / 2) mv 4B-2 质量为 mA 的粒子 A 受到另一重粒子 B 的万有引力作用，B 保持在原点不动．起初，当 A 离 B 很远( r = ∞)时，A 具有速度 v 0 ，方向沿图中所 示直线 Aa，B 与这直线的垂直距离为 D．粒子 A 由于 粒子 B 的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨 道运动．已知这轨道与 B 之间的最短距离为 d，求 B 的质量 mB． 解：A 对 B 所在点的角动量守恒．设粒子 A 到达距 B 最短距离为 d 时的速度为 v． DmAv0 mAvd ， v Dv0 / d A、B 系统机械能守恒(A 在很远处时， 引力势能为零) mA mA GmAmB / d 2 1 2 1 2 2 v0 v 解得 2GmB / d 2 0 2 v v ∴ ( ) /(2 ) 2 0 2 2 mB D d v Gd 4B-3. 如图所示，A 和 B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J＝10 kg·m 2 和 J＝20 kg·m 2．开始时，A 轮转速为 600 rev/min，B 轮静止．C 为摩擦啮合器， 其转动惯量可忽略不计．A、B 分别与 C 的左、右两个组件 相连，当 C 的左右组件啮合时，B 轮得到加速而 A 轮减速， 直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速 n； (2) 两轮各自所受的冲量矩． 解：(1) 选择 A、B 两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒 JAA＋JBB = (JA＋JB)， 又B＝0 得 JAA / (JA＋JB) = 20.9 rad / s A B a d D v v0 A B C A
转速 n≈200rev/mm (2)A轮受的冲量矩 ∫Mdrz=J(4+l=-419×102N·m·s 负号表示与4方向相反 B轮受的冲量矩 MBdt=Ja(O-0)=4.19×10N·m·s 方向与o,相同 4B4在半径为R具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上,有一个人静止站立在距转轴为 R处,人的质量是圆盘质量的1/10,开始时盘载人相对地以角速度ω匀速转动,如果此 人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动,如图所示。 已知圆盘对中心轴的转动惯量为-MR2,求 (1)圆盘对地的角速度; (2)欲使圆盘对地静止,人沿着-R圆周对圆盘的速度v的大小及方 向 解:(1)设当人以速率U沿相对圆盘转动相反的方向走动时,圆盘对地的绕轴角速度为O, 则人对与地固联的转轴的角速度为 R R 人与盘视为系统,所受对转轴合外力矩为零,系统的角动量守恒. 设盘的质量为M,则人的质量为M/10,有: 4+(号1-=号+(号 将①式代入②式得:O 21R (2)欲使盘对地静止,则式③必为零.即 0b+2U/(21R)=0 得 U=-21Rcb/2 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反,即与 盘的初始转动方向一致 4B5如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m
9 转速 n 200 rev/min (2) A 轮受的冲量矩 M t A d = JA(JA＋JB) = 4.19×10 2 N·m·s 负号表示与 A 方向相反． B 轮受的冲量矩 M t B d = JB( - 0) = 4.19×102 N·m·s 方向与 A 相同． 4B-4 在半径为 R 具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一个人静止站立在距转轴为 R 2 1 处，人的质量是圆盘质量的 1/10，开始时盘载人相对地以角速度 o 匀速转动，如果此 人垂直圆盘半径相对于盘以速率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示。 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 2 2 1 MR ，求： （1）圆盘对地的角速度； （2）欲使圆盘对地静止，人沿着 R 2 1 圆周对圆盘的速度 v 的大小及方 向？ 解：(1) 设当人以速率 v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为， 则人对与地固联的转轴的角速度为 R R v 2v 2 1 ① 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为 M，则人的质量为 M / 10，有： 2 2 0 2 2 2 1 2 10 1 2 1 2 10 1 MR M R MR M R ② 将①式代入②式得： 21R 2 0 v ③ (2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即 0 +2v / (21R)＝0 得： v＝－21R0 / 2 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与 盘的初始转动方向一致． 4B-5 如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为 m 和 2m R v R/2 l 3 1 ⅓l 2m m m O v0 ⅓l l 3 2 ⅓l 2 0 1 v
的小球,杆可绕水平光滑轴在竖直面内转动,转轴O距两端分别为_和2l3,原来静止在 竖直位置,今有一质量为m的小球,以水平速度v。与杆下端小球m作对心碰撞, 速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解:将杆与两小球视为一刚体,水平飞来小球与刚体视为一系统.由角动量守恒得 m21-m3Jo(逆时针为正向) Do 2 又 n(2)2+2m(-)2 将②代入①得 4B6一块宽L=060m、质量M=1kg的均匀薄木板,可绕水平固定轴OO无摩擦地自由 转动.当木板静止在平衡位置时,有一质量为m=10×103kg的子弹垂直击中木板A点,A 离转轴OO距离l=0.36m,子弹击中木板前的速度为500m·s1,穿出木板后的速度为200 m·s 求 (1)子弹给予木板的冲量 (2)木板获得的角速度 (已知:木板绕OO轴的转动惯量J=M2) 解:(1)子弹受到的冲量为=「Fdr=m(U-) 子弹对木块的冲量为=∫Fd=-Fdt=m-)=3Ns 方向与U0相同 (2)由角动量守恒定律m=如+m grads MI2 4B-7一根放在水平光滑桌面上的匀质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动.棒的 质量为m=1.5kg,长度为l=1.0m,对轴的转动惯量为J=m}2.初始时棒静止.今有 水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,如图所示.子弹的质量为m=0.020kg 速率为U=400m·s1.试问: (1)棒开始和子弹一起转动时角速度o有多大? (2)若棒转动时受到大小为M=40N·m的恒定阻力
10 的小球，杆可绕水平光滑轴在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 3 1 l 和 2l/3，原来静止在 竖直位置，今有一质量为 m 的小球，以水平速度 o v 与杆下端小球 m 作对心碰撞，碰后以 o v 2 1 速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：将杆与两小球视为一刚体，水平飞来小球与刚体视为一系统．由角动量守恒得 J l m l m 3 2 3 2 2 0 0 v v （逆时针为正向） ① 又 2 2 ) 3 ) 2 ( 3 2 ( l m l J m ② 将②代入①得 2l 3v0 4B-6 一块宽 L＝0.60 m、质量 M＝1 kg 的均匀薄木板，可绕水平固定轴 OO 无摩擦地自由 转动．当木板静止在平衡位置时，有一质量为 m＝10×10-3 kg 的子弹垂直击中木板 A 点，A 离转轴 OO 距离 l＝0.36 m，子弹击中木板前的速度为 500 m·s -1，穿出木板后的速度为 200 m·s -1．求 (1) 子弹给予木板的冲量； (2) 木板获得的角速度． (已知：木板绕 OO 轴的转动惯量 2 3 J 1 ML ) 解：(1) 子弹受到的冲量为 d m v v0 I F t 子弹对木块的冲量为 d d 3 N s 0 I F t F t m v v 方向与 v 0 相同． (2) 由角动量守恒定律 0 lmv J mv 1 2 0 9 rads 3 v v ML lm 4B-7 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴 O 转动．棒的 质量为 m= 1.5 kg，长度为 l = 1.0 m，对轴的转动惯量为 J= 2 3 1 ml ．初始时棒静止．今有一 水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为 m= 0.020 kg， 速率为 v = 400 m·s -1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为 Mr = 4.0 N·m 的恒定阻力 v0 O L l A O m, l O m v