注 ① Rolle定理有三个条件:闭区间连续;开区间可导 区间端点处的函数值相等; 这三个条件只是充分条件,而非必要条件 如:y=x2在[-1,2上满足(12),不满足(3) 却在(-1,2)内有一点x=0使 x=0 2xx=0 但定理的条件又都是必须的,即为了保证结论成立 三个条件缺一不可 例如,y=x,x∈[-2,2;
注 ① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：y=x 2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 y x=0 = 2x x=0= 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, y = x , x[−2,2];
在[-2,2上除f'(0)不存在外,满足罗尔定理的 切条件,但在内找不到一点能使f'(x)=0 又例如,f(x)=1-x,x∈(0,1,f(0)=0; 在|0,1上除去x=0不连续外,满足罗尔定理的 切条件但在内找不到一点能使f(x)=0. 再例如f(x)=x,x∈|0,1 在|0,1上除去端点的函数值不相等外,满足罗尔 定理的一切条件但也找不到使f(x)=0的点 ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个;
, [ 2,2] (0) , 一切条件 在 − 上除f 不存在外 满足罗尔定理的 但在内找不到一点能使f (x) = 0. 又例如, f (x) = 1− x, x (0,1], f (0) = 0; 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 但在内找不到一点能使f (x) = 0. 再例如 f (x) = x, x [0,1]. 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使f (x) = 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点并未具体指出,即使对于给定 的具体函数,点ξ也不一定能指出是哪一点, 如f(x)=xln(x+2) 在[-1,0上满足罗尔定理的全部条件,而 f∫(x)=-+In(x+2) x+2 但却不易找到使f(x)=0点 但根据定理,这样的点是存在的。即便如此,我们 将会看到,这丝毫不影响这一重要定理的应用
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如 f (x) = xln( x + 2) 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而 ln( 2) 2 ( ) + + + = x x x f x 但却不易找到使 f (x) = 0的点 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证设∫(x)=x3-5x+1,则∫(x)在(0,连续, 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理 彐xo∈(0,,使f(x0)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使∫(x1)=0 f(x)在x,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在x,x1之间),使得 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1))矛盾,∴为唯一实根
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
例2证明ex-(ax2+bx+c)=0至多有三个实根 证记f(x)=e2-(ax2+bx+c) 直接证明有困难,采用反证法 设∫(x)=0有四个实根x<x2<x3<x4 记f(x)=e-(ax2+bx+c)连续、可导 对f(x)在x1,x2,x2,x3l,x3,x4用罗尔定理得 3x;1<1<x2<52<x<53<x4 使∫(51)=f"(2)=f()=0 f∫(x)=e-2ax-b连续、可导 对∫(x)在51,2l2,3l用罗尔定理得
例2 证明 ( ) 0 2 e − ax + bx + c = x 至多有三个实根 证 ( ) ( ) 2 f x e ax bx c x 记 = − + + 直接证明有困难，采用反证法 设 f (x) = 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4 ( ) ( ) 2 f x e ax bx c x 记 = − + + 连续、可导 对 f (x) [ , ],[ , ],[ , ] 在 x1 x2 x2 x3 x3 x4 用罗尔定理得 x1 1 x2 2 x3 3 x4 使 f ( 1 ) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0 f x e ax b x ( ) = − 2 − 连续、可导 对 f (x) [ , ],[ , ] 在 1 2 2 3 用罗尔定理得