④熟练掌握单调性的判定方法,会利用单调性 来证明不等式 ⑤正确理解函数取得极值的条件,掌握极值判定 条件及求法 ⑥掌握函数凹凸性的判定方法,会求曲线的拐点 ⑦会用中值定理证明不等式 先讲中值定理,以提供必要的理论基础
④熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式 ⑤正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法 ⑥掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点 ⑦会用中值定理证明不等式 先讲中值定理，以提供必要的理论基础
罗尔(Rol定理 定理(Rol若函数f(x)满足 (1)在闭区间[a,1上连续 (2)在开区间(an,b)内可导 (3)在区间端点处的函数值相等fa)=b) 则在(a,b至少存在一点,E∈(a,b使得函数 f(x)在该点的导数为零,即f()=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 在-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=∫(3)=0, ∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(∈(-1,3)∫'(2)=0
一、罗尔(Rolle)定理 定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b) ( ) ( ) 0 ( , ) , ( , ) = f x f a b a b 在该点的导数为零，即 则在 内至少存在一点 使得函数 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释 C aa. 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等, 且除去两个端点外处 s2 bx 处有不垂直于横轴的 切线,在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的 切线是水平的 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零
几何解释: x y o y = f (x) a b C 1 2 若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等， 且除去两个端点外处 处有不垂直于横轴的 切线， . , 切线是水平的 在曲线弧AB上至少有一点C 在该点处的 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零
证∵∫(x)在[,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则∫(x)=M 由此得∫(x)=0.V8∈(a,b),都有∫(2)=0 (2)若M≠m.∵f(a)=∫(b), ∵最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a) 则在(a,b)内至少存在一点ξ使∫()=M ∫(ξ+Δx)≤∫(3),∴∫(ξ2+△x)-∫(2)≤0
证 f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M = m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若Ax>0,则有f(+△)-()≤0 △y 若Ax<0,则有(5+A3)f(5≥0 △ ∫()=im(+△x)-f(8z0 △→)-0 △x f"(ξ2)=im f∫(号+△x)-∫() ≤0;∵∫′(ξ)存在, △→)+0 △x ∫()=f().∴只有∫(ξ)=0
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0