第四章连续系统的复频域分析 上式称为f)的单边拉普拉斯变换。所以有 0 (1<0) f()2=11 O+10 s )e as (D>0) 此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样,t0时f(t)的取 值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限 从0开始,本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过, 为了书写简便常常写为0 《信号与系统》
《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 6 上式称为f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有 = + − j j s t F s s f t ( )e d 2 j 1 0 ( ) (t<0) (t>0) 此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样，t<0时f(t)的取 值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限 从0-开始，本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过， 为了书写简便常常写为0
第四章连续系统的复频域分析 、拉氏变换的收敛域 在引入拉氏变换时我们说过,当(0)乘以衰减因子e后, 就有可能找到合适的a值使()e绝对可积,从而f)e的傅氏 变换存在,继而得到(o)的拉氏变换。那么,合适的σ值如何确 定呢?或者说,如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话,那么如何确定该收敛域?下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明。 《信号与系统》
《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 7 二、拉氏变换的收敛域 在引入拉氏变换时我们说过，当f(t)乘以衰减因子e -σt后， 就有可能找到合适的σ值使f(t)e-σt绝对可积，从而f(t)e-σt的傅氏 变换存在，继而得到f(t)的拉氏变换。那么，合适的σ值如何确 定呢？或者说，如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话，那么如何确定该收敛域？下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明
第四章连续系统的复频域分析 【例】求指数函数 f(t=e&(t) (a>0, aER 的象函数F(s)。 【解】根据定义 (s-a)t F(s)=hee-sdt=e(s-a)dt e s-C [1-lim e -(s-a)7] s-d 《信号与系统》
《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 8 【例】求指数函数 ( ) e ( ) α f t t t = (α>0, α∈R) 的象函数F(s)。 【解】根据定义 [1 lim e ] 1 ( ) e (s) e e d e d ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 s t t s t t s t s t s s F t t − − → − − − − − − − = − − = = =
第四章连续系统的复频域分析 由于s=0+j,因此上式中括号内第二项可写为 im e (s-at lm e o-a) -jot e 只要选择σ>a,随着时间t增大,e(-a)将会衰减。故有 lim e(s-a)t=0 从而便()的象函数为 F(s) s-d 若σ<α,ea将随着时间i的增大而增大。当tν∞时,结果 将趋于无穷大,从而使积分不收敛,ft的象函数不存在 《信号与系统》 9
《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 9 由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为 t t t s t t -( -) -( -) -j lim e lim e e → → = 只要选择σ>α，随着时间t的增大，e -(σ-α)t将会衰减。故有 lim e 0 -( - ) = → s t t 从而使f(t)的象函数为 − = s F s 1 ( ) 若σ<α，e -(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在
第四章连续系统的复频域分析 从上述讨论中可以看到,f1)乘以衰减因子e后是香 定满足绝对可积条件,还要看f)的性质和a的相对关系 而定。 把使(O)e满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏 变换的收敛域。在收敛域内,函数的拉氏变换存在,在收 敛域外,函数的拉氏变换不存在。 般而言,若极限lmf()em在o>o时取值为零 t→)0 则收敛条件为o>0 《信号与系统》
《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 10 从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e -σt后是否 一定满足绝对可积条件，还要看f(t)的性质和σ的相对关系 而定。 把使f(t) e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏 变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉氏变换存在，在收 敛域外，函数的拉氏变换不存在。 一般而言，若极限 在σ>σ0时取值为零 ，则收敛条件为σ>σ0 。 t t f t − → lim ( )e