三维空间的正交变换 ■∑系的直角坐标为(x1,X2,X3),∑系的直角坐标为(x12,x2 )。三维坐标线性变换一般具有形式 ∑ i=1,2,3 ■在一般情形中,当公式中出现重复下标时(如上式右边的j),往 往都要对该指标求和。以后为了书写方便起见,我们省去求和符 号。除特别申明外,凡有重复下标时都意味着要对它求和。这是 现代物理中通用的约定,称为爱因斯坦求和约定。 山东大学物理学院宗福建 16
山东大学物理学院 宗福建 16 三维空间的正交变换 ◼ Σ系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），Σ‘系的直角坐标为（x1 ’ , x2 ‘ , x3 ’）。三维坐标线性变换一般具有形式 ◼ 在一般情形中，当公式中出现重复下标时（如上式右边的j），往 往都要对该指标求和。以后为了书写方便起见，我们省去求和符 号。除特别申明外，凡有重复下标时都意味着要对它求和。这是 现代物理中通用的约定，称为爱因斯坦求和约定。 3 1 1, 2,3 i ij j j x a x i = = =
三维空间的正交变换 ■由此,变换式可简写为X;=a1x ■正交条件是xx=x=不变量 ■引入符号6,定义为6 ∫1若i=六 10若i≠ ik k x.x=oxX jk k i ik 山东大学物理学院宗福建 17
山东大学物理学院 宗福建 17 三维空间的正交变换 ◼ 由此，变换式可简写为 ◼ 正交条件是 ◼ 引入符号δij，定义为 ◼ 则， i ij j x a x = i i i i x x x x = =不变量 1 , 0 . ij i j i j = = 若 若 ' ' i i ij j ik k i i jk j k ij ik jk x x a x a x x x x x a a = = = =
物理量按空间变换性质的分类 ■我们知道物理量可以分为标量、矢量、张量等类别,这种 分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的 标量有些物理量在空间中没有取向关系,当坐标系转动时, 这些物理量保持不变。这类物理量称为标量。如质量、电 荷等都是标量。 ■设在坐标系Σ中某标量用d表示,在转动后的坐标系Σ’中 用u'表示。由标量不变性有 山东大学物理学院宗福建 18
山东大学物理学院 宗福建 18 物理量按空间变换性质的分类 ◼ 我们知道物理量可以分为标量、矢量、张量等类别，这种 分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的。 ◼ 标量 有些物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时， 这些物理量保持不变。这类物理量称为标量。如质量、电 荷等都是标量。 ◼ 设在坐标系Σ中某标量用u表示，在转动后的坐标系Σ’ 中 用u’表示。由标量不变性有 u’ = u
物理量按空间变换性质的分类 ■矢量有些物理量在空间中有一定的取向性,这种物理量用 三个分量表示,当空间坐标按公式作转动变换时,该物理 量的三个分量按同一方式变换。这类物理量称为矢量。 例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。 ■有些微分算符以具有矢量的性质。例如V算符,它在Σ系中 的分量为∂aX,在Σ“系中的分量为aax。根据微分公式有 ax: ax" ax 山东大学物理学院宗福建 19
山东大学物理学院 宗福建 19 物理量按空间变换性质的分类 ◼ 矢量 有些物理量在空间中有一定的取向性，这种物理量用 三个分量表示，当空间坐标按公式作转动变换时，该物理 量的三个分量按同一方式变换。这类物理量称为矢量。 ◼ 例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。 ◼ 有些微分算符以具有矢量的性质。例如▽算符，它在Σ系中 的分量为∂/∂xi，在Σ ‘系中的分量为∂/∂x’ i。根据微分公式有 . j ij i i j j x a x x x x = =