第4讲多元正态性质罗列中漏掉了如下性质（至目前还没用到过）正态随机向量的线性组合命题3.假设xi~Nui,Z),i=1,2独立，则X1 +X2~Np(u1 +μ2,Z1+22)证明1：因为x~Np(u,Z）矩母函数Eexp(tTx) = exp(tTμ + tTZt/2), Vt E RP,则Eexp(tT(x1 + x2)) = Eexp(tTx1)Eexp(tTx2)= exp(exp(tT(μ1 + μ2) + tT(21 +Z2)t/2)) .这说明x1+X2~N(1+μ2,Z+2)。证明2：由x1,X2的联合概率密度可知由多元正态性质4(第4讲），X1+X2=（lp，Ip）) ~Np(μ1 + μ2,Z1 +Z2)6
6 命题3. 假设𝐱𝑖~𝑁𝑝 𝝁𝑖 , Σ𝑖 , 𝑖 = 1,2独立，则 𝐱1 + 𝐱2~𝑁𝑝 𝝁1 + 𝝁2, Σ1 + Σ2 证明1：因为𝐱~𝑁𝑝 𝝁, Σ ⇔ 矩母函数 𝐸𝑒𝑥𝑝 𝐭 ⊤𝐱 = exp(𝐭 ⊤𝝁 + 𝐭 ⊤Σ𝐭/2), ∀𝐭 ∈ 𝑅 𝑝 , 则 𝐸𝑒𝑥𝑝 𝐭 ⊤(𝐱1 + 𝐱2) = 𝐸𝑒𝑥𝑝 𝐭 ⊤𝐱1 𝐸𝑒𝑥𝑝 𝐭 ⊤𝐱2 = exp(exp(𝐭 ⊤(𝝁1 + 𝝁2) + 𝐭 ⊤(Σ1 + Σ2)𝐭/2)) . 这说明𝐱1 + 𝐱2~𝑁𝑝 𝝁1 + 𝝁2, Σ1 + Σ2 。 第4讲多元正态性质罗列中漏掉了如下性质（至目前还没用到过） 证明2： 由𝐱1, 𝐱2的联合概率密度可知 𝐱1 𝐱2 ~𝑁2𝑝 𝝁1 𝝁2 ， Σ1 0 0 Σ2 ， 由多元正态性质4(第4讲)，𝐱1 + 𝐱2 = (𝐼𝑝, 𝐼𝑝) 𝐱1 𝐱2 ~𝑁𝑝 𝝁1 + 𝝁2, Σ1 + Σ2 . 正态随机 向量的线 性组合
样本均值命题4.假设x1,,Xniid~N(u,Z),则和方差的(1)x~Np (μu,=); (2) (n -1)S~Wp(n - 1,Z); (3) x Il S.分布证明：(1)由引理1，x~Np(u,Z/n)(2)参见第8讲定理3,记X = (X1, .., Xn)T, Z = (X1 - μ, .., Xn - μ)T = X - 1μT,其中x1-μ,,Xn-μid~Np(o,2)，则1111(n - 1)S = xTn由Cochran定理(n - 1)S~W,(n - 1,2)。xT1z1)1=0(3)因为xu,nn11 1Tz7第8讲引理2.ABT=0→AZBZ。n11→ 1TZZTZ = (n-1)S,n所以x Ⅱ S
7 样本均值 和方差的 分布 命题4. 假设𝐱1, ., 𝐱𝑛 𝑖𝑖𝑑 ~𝑁𝑝 𝝁, Σ , 则 1 𝐱ത~𝑁𝑝 𝝁, Σ 𝑛 ; 2 𝑛 − 1 𝑆~𝑊𝑝 𝑛 − 1, Σ ; 3 𝐱ത ⫫ 𝑆. 证明: (1) 由引理1，𝐱ത~𝑁𝑝 𝝁, Σ/𝑛 . (2) 参见第8讲定理3, 第8讲引理2. 𝐴𝐵 ⊤ = 0 ⇒ 𝐴𝑍⫫𝐵𝑍。 记𝑋 = (𝐱1, ., 𝐱𝑛) ⊤, 𝑍 = (𝐱1 − 𝝁, ., 𝐱𝑛 − 𝝁) ⊤ = 𝑋 − 𝟏𝝁 ⊤， 其中𝐱1 − 𝝁, ., 𝐱𝑛 − 𝝁 𝑖𝑖𝑑 ~𝑁𝑝 𝟎, Σ ，则 𝑛 − 1 𝑆 = 𝑋 ⊤ 𝐼𝑛 − 𝟏𝟏 ⊤ 𝒏 𝑋 = 𝑍 ⊤ 𝐼𝑛 − 𝟏𝟏 ⊤ 𝒏 𝑍 由Cochran定理 𝑛 − 1 𝑆~𝑊𝑝 𝑛 − 1, Σ 。 (3) 因为𝐱ത = 𝑋 ⊤𝟏 𝑛 = 𝑍 ⊤𝟏 𝑛 + 𝝁, 𝐼𝑛 − 𝟏𝟏 ⊤ 𝒏 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝟏 ⊤𝑍 ⫫ 𝐼𝑛 − 𝟏𝟏 ⊤ 𝒏 𝑍 ⇒ 𝟏 ⊤𝑍 ⫫ 𝑍 ⊤ 𝐼𝑛 − 𝟏𝟏 ⊤ 𝒏 𝑍 = 𝑛 − 1 𝑆， 所以𝐱ത ⫫ 𝑆