测量仪器制造厂在制造某种仪器时，按有关技术规范预先设计规定了允许误差的极限 值，当最终检验时凡不超出此范围的仪器均为合格品可以出厂，并已绝对误差±△的形式写 进测量仪器的说明书中，在《国际通用计量学基本术语》中被命名为最大允许误差（极限）。 2.最大引用误差和准确度等级 引用误差是为了评价测量仪器准确度等级而引入的，因为绝对误差和相对误差均不能客 观正确地反映测量仪器的准确度高低。引用误差定义为绝对误差与测量仪器量程之比，用百 分数表示，即 D Yn= ×100% (2-4) 式中：yn一引用误差： Am一一测量仪器的量程 在仪器的量程范围内，各示值的绝对误差会有差别。确定仪器准确度时，取该仪器量程 内出现的最大绝对误差D与仪器量程Am的比值，称为最大引用误差ymax,即 In.max= Ds×100% (2-5) 国家标准GB776-76《电测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量按准确度a分为： 0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0等7级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过： ±0.1%，±0.2%，±0.5%，±1.0%，±1.5%，±2.5%，±5.0% 【例2-1】某电压表a=1.5,试计算出它在0~100V量程中的最大绝对误差。 解：在0~100V量程内上限值Am=100V,由式(2-10)得到： Dam=%×Am=±1.5%×100=±1.5V 【例2-2】最大量程为30A,准确度为1.5级的安培表，在规定工作条件下测量某电 流为10A,求测量时可能出现的最大相对误差。 解： y=15%x30 ×100%=±4.5% 10 【例2-3】某1.0级电压表，量程为300V,当测量值分别为U1=300V,U2=200V,U=100V 时，试计算测量值的（最大）绝对误差和示值相对误差。 24
24 测量仪器制造厂在制造某种仪器时, 按有关技术规范预先设计规定了允许误差的极限 值, 当最终检验时凡不超出此范围的仪器均为合格品可以出厂, 并已绝对误差的形式写 进测量仪器的说明书中，在《国际通用计量学基本术语》中被命名为最大允许误差（极限）。 2. 最大引用误差和准确度等级 引用误差是为了评价测量仪器准确度等级而引入的，因为绝对误差和相对误差均不能客 观正确地反映测量仪器的准确度高低。引用误差定义为绝对误差与测量仪器量程之比，用百 分数表示，即 n 100% m D A （2-4） 式中： n ——引用误差； A m ——测量仪器的量程 在仪器的量程范围内，各示值的绝对误差会有差别。确定仪器准确度时，取该仪器量程 内出现的最大绝对误差 DMax 与仪器量程 A m 的比值，称为最大引用误差 n,max ，即 ,max n Max 100% m D A （2-5） 国家标准 GB776-76《电测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量按准确度 α 分为： 0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0 等 7 级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过： ±0.1%，±0.2%，±0.5%，±1.0%，±1.5%，±2.5%，±5.0%. 【例 2-1】 某电压表 α=1.5，试计算出它在 0～100V 量程中的最大绝对误差。 解：在 0～100V 量程内上限值 A m =100V，由式（2-10）得到： DMax =α%× A m =±1.5%×100=±1.5V 【例 2-2】 最大量程为 30A，准确度为 1.5 级的安培表，在规定工作条件下测量某电 流为 10A，求测量时可能出现的最大相对误差。 解： 1.5% 30 100% 4.5% 10 【例 2-3】某 1.0 级电压表，量程为 300V，当测量值分别为 U1=300V，U2=200V，U3=100V 时，试计算测量值的（最大）绝对误差和示值相对误差
解：根据式(2-10)可得绝对误差： D1=D2=D3=±300VX1.0%=±3V u=(D/U1)×100%=(±3/300)×100%=±1.0% Y,=(D2/U2)×100%=(±3/200)×100%=±1.5% u,=(D3/U3)x100%=(±3/100)×100%=±3.0% 由例2-3不难看出：测量仪器产生的示值测量误差不仅与所选仪器准确度等级有关，而 且与所选仪器的量程有关。同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。应当注意，测量 中所用仪器的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，两者才相等， 否则测得值的准确度数值将低于仪器的准确度等级。因此，在选择仪器量程时，测量值应可 能接近仪器满度值，一般不小于23这样，测量结果的相对误差将不会超过仪器准确度等级 指数百分数的1.5倍。 在实际测量时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程， 以尽可能减小相对误差。 【例2-4】测量一个约80V的电压，现有2块电压表：1块量程300V,0.5级：另外一 块量程100V,1.0级。试问选用哪块表为好？ 解：若选用300V,0.5级表，其示值相对误差为： 0.5%×300 Y= ×100%≈1.88% 80 若选用100V,1.0级表，其示值相对误差为： 1.0%×100. y= ×100%≈1.25% 80 可见由于仪器量程的原因，选用1.0级表测量的准确度可能比选用0.5级表为高，故选 用100V,1.0级为好。 2.3误差的性质及分类 根据测量误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 2.3.1系统误差 25
25 解：根据式（2-10）可得绝对误差： D1=D2=D3=±300V×1.0%=±3V 1 1 1 U ( / ) 100% ( 3/ 300) 100% 1.0% D U 2 2 2 U ( / ) 100% ( 3/ 200) 100% 1.5% D U 3 3 3 U ( / ) 100% ( 3/100) 100% 3.0% D U 由例 2-3 不难看出：测量仪器产生的示值测量误差不仅与所选仪器准确度等级有关，而 且与所选仪器的量程有关。同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。应当注意，测量 中所用仪器的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，两者才相等， 否则测得值的准确度数值将低于仪器的准确度等级。因此，在选择仪器量程时，测量值应可 能接近仪器满度值，一般不小于 2/3.这样，测量结果的相对误差将不会超过仪器准确度等级 指数百分数的 1.5 倍。 在实际测量时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程， 以尽可能减小相对误差。 【例 2-4】测量一个约 80V 的电压，现有 2 块电压表：1 块量程 300V，0.5 级；另外一 块量程 100V，1.0 级。试问选用哪块表为好？ 解：若选用 300V，0.5 级表，其示值相对误差为： 0.5% 300 100% 1.88% 80 若选用 100V，1.0 级表，其示值相对误差为： 1.0% 100 100% 1.25% 80 可见由于仪器量程的原因，选用 1.0 级表测量的准确度可能比选用 0.5 级表为高，故选 用 100V，1.0 级为好。 2.3 误差的性质及分类 根据测量误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 2.3.1 系统误差
系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设 法消除或减小：也可以在相同条件下对己知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法， 或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进 行修正。 按照对系统误差的掌握程度，系统误差可进一步划分为： 己定系统误差：误差绝对值和符号己经明确的系统误差。 未定系统误差：误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。 按误差出现规律，系统误差可分为： 不变系统误差：误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 变化系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按照变化规律的不同，变化系统误 差还可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 2.3.2随机误差 随机误差是指测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值 之差，又称为偶然误差。其主要特征：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和 符号以不可预定方式变化的误差。随机误差产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度 波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。随机误差的大小、方向 均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能 用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出 估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 2.3.3粗大误差 粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 这主要由于某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致： 1,测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、 记录或计算错误等) 2.测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。 26
26 系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设 法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法， 或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进 行修正。 按照对系统误差的掌握程度，系统误差可进一步划分为： 已定系统误差：误差绝对值和符号已经明确的系统误差。 未定系统误差：误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。 按误差出现规律，系统误差可分为： 不变系统误差：误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 变化系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按照变化规律的不同，变化系统误 差还可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 2.3.2 随机误差 随机误差是指测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值 之差，又称为偶然误差。其主要特征：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和 符号以不可预定方式变化的误差。随机误差产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度 波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。随机误差的大小、方向 均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能 用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出 估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 2.3.3 粗大误差 粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 这主要由于某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致： 1．测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、 记录或计算错误等） 2．测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）
国内外学者在粗差的认识上还未有完全统一的看法，目前的观点主要有几类：一类是将 粗差看成与随机误差具有相同的方差，但期望值不同：另一类是将粗差看作与随机误差具有 相同的期望值，但其方差十分巨大：还有一类是认为随机误差与粗差具有相同的统计性质， 但有正态与病态的不同。以上的理论均是建立在把随机误差和粗差均为属于连续型随机变量 的范畴。也有一些学者认为粗差属于离散型随机变量。 当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与随机误差相比系统误差处于次 要地位后，占主导地位的随机误差就成了我们研究的主要对象。从单个随机误差来看，其出 现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的随机误差进行统计分析，就能发现其规律性， 误差个数愈多，规律性愈明显。 2.3.4三类误差的关系及其对测得值的影响 测量结果都包含估计值（一般是平均值或均方根值）和不确定度。 由于粗大误差很大，明显歪曲了测量结果，故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大 误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除，所以在粗差对测量结果没有影响。 随机误差在测量结果中一般是用统计学的标准差来代表标准不确定度。 按是否可修正，系统误差可分为已定系统误差和未定系统误差两种。已定系统误差可进 行修正，而未定系统误差不可修正，未定系统误差需用不确定度来定量描述。有关不确定度 的评定参见有关章节。 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分 的主观性和具体条件的不同，使得它们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也 就是说一个具体误差究竞属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验 后确定。如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电 表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不 准，用它来测量某电源的电压时必然会带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由 于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。 27
27 国内外学者在粗差的认识上还未有完全统一的看法，目前的观点主要有几类：一类是将 粗差看成与随机误差具有相同的方差，但期望值不同；另一类是将粗差看作与随机误差具有 相同的期望值，但其方差十分巨大；还有一类是认为随机误差与粗差具有相同的统计性质， 但有正态与病态的不同。以上的理论均是建立在把随机误差和粗差均为属于连续型随机变量 的范畴。也有一些学者认为粗差属于离散型随机变量。 当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与随机误差相比系统误差处于次 要地位后，占主导地位的随机误差就成了我们研究的主要对象。从单个随机误差来看，其出 现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的随机误差进行统计分析，就能发现其规律性， 误差个数愈多，规律性愈明显。 2.3.4 三类误差的关系及其对测得值的影响 测量结果都包含估计值（一般是平均值或均方根值）和不确定度。 由于粗大误差很大，明显歪曲了测量结果,故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大 误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除，所以在粗差对测量结果没有影响。 随机误差在测量结果中一般是用统计学的标准差来代表标准不确定度。 按是否可修正，系统误差可分为已定系统误差和未定系统误差两种。已定系统误差可进 行修正，而未定系统误差不可修正，未定系统误差需用不确定度来定量描述。有关不确定度 的评定参见有关章节。 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分 的主观性和具体条件的不同，使得它们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也 就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验 后确定。如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电 表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不 准，用它来测量某电源的电压时必然会带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由 于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性
2.4有效数字 通过测量取得的数据通常需要进行整理、分析、计算才能得到测量结果。为了合理表达 测量结果，必须正确地运用数字表达量值及合理处理运算中的数字。 1.有效数字 含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方 起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所 有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。 测量结果保留位数的原则1： 最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。 测量结果保留位数的原则2： 在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。 2.数字的舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整： 1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。 2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。 3.若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶 数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。 【例2-5】将下列7个数据修约为4为有效数字：5.14269,6.378501,2.71729,7.691499， 4.510500,3.21650,8.3435 解：5.14269→5.143,6.378501→6.379,2.71729→2.717， 7.691499→7.691,4.510500→4.510,3.21550→3.216,8.3435→8.344 3.数字的运算规则 (1).在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字， 在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。 (2).在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数 28
28 2.4 有效数字 通过测量取得的数据通常需要进行整理、分析、计算才能得到测量结果。为了合理表达 测量结果，必须正确地运用数字表达量值及合理处理运算中的数字。 1．有效数字 含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方 起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所 有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。 测量结果保留位数的原则 1： 最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。 测量结果保留位数的原则 2： 在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。 2．数字的舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整： 1. 若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加 1。 2. 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。 3. 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶 数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加 1。 【例 2-5】将下列 7 个数据修约为 4 为有效数字：5.14269，6.378501，2.71729，7.691499， 4.510500，3.21650，8.3435 解：5.14269→5.143，6.378501→6.379，2.71729→2.717， 7.691499→7.691，4.510500→4.510，3.21550→3.216，8.3435→8.344 3．数字的运算规则 （1）. 在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字， 在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。 （2）. 在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数