例3:(x)=Ax(2>0) 考虑:对称、无节点、集中于x=0附近,取v(x,a)=exp(-ax2/ h2 d2 ax2/2 dx/ -ax dx ha 31 E(a=e( +1x)e +2 2m dx 4m 40 36h4 得 mnu/3. E(a 误差:增加变分变量、逼近 估计方法如6=H=E1Mva/E2 变分法原则上可估计低激发态能量。若基态已知,则选与基态垂直的 尝试波函数,经变分可求出优化的E1。若只知近似基态(如通过变分 求得,则用变分求激发态的能量要慎重,因误差无确定符号,是线性的 第一激发态(对称性等考虑):W(x,B)=xexp(-Bx2/2) 高一些的束缚激发态(能化为一维的问题):WKB方法
◼ 例3： ◼ 考虑：对称、无节点、集中于x=0附近，取 ◼ 得 ◼ 误差：增加变分变量、逼近 ◼ 估计方法如 ◼ 变分法原则上可估计低激发态能量。若基态已知，则选与基态垂直的 尝试波函数，经变分可求出优化的E1。若只知近似基态(如通过变分 求得),则用变分求激发态的能量要慎重,因误差无确定符号,是线性的. ◼ 第一激发态(对称性等考虑)： ◼ 高一些的束缚激发态（能化为一维的问题）：WKB方法 4 V x x ( ) ( 0) = 2 ( , ) exp( / 2) x x = − 2 2 2 2 2 2 /2 4 /2 2 2 3 ( ) ( ) / 2 4 4 x x x d E e x e dx e dx m dx m − − − = − + = + 4 1/3 1/3 0 0 2 2 6 3 6 ( ) ; ( ) ( ) 8 m E m = = 2 2 2 = − [( ) ] / / H E dx dx E 2 ( , ) exp( / 2) x x x = −
三、WKB解 (x) ■波函数在E>V(×)区振荡, cons tan t exp{±ax'√2m(V-E 在E<∨(x)区指数衰减。匹配条件: 1与区: exp d'√2m(V-E) cos TE-v()y4 ∫d√2m(E-(x) l!区: kzh“v2m(x)-E}→ d√2m[E-V( 2 d√2m[E-(x) LE-v() E-VLx 由波函数的唯一性,有自洽性(量子化条件:∫mE n+-丌 除部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同。 2
三、WKB解 ◼ 波函数在E>V(x)区振荡， ◼ 在E<V(x)区指数衰减。匹配条件： ◼ I与II区： ◼ II与III区： ◼ 由波函数的唯一性，有自洽性(量子化)条件： ◼ 除 部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同。 ( ) 1 ( ) 4 tan 1 exp 2 = − − cons t x x dx m V E V E ( ) ( ) 1 1 4 1 1 exp 2 x x dx m V E V x E − − − ( ) ( ( )) 1 1 4 2 1 cos 2 4 x x dx m E V x E V x → − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 4 4 2 1 2 1 cos 2 cos 2 4 4 − − = − − + − − x x x x dx m E V x dx m E V x E V x E V x ( ) 2 1 4 1 1 exp 2 x x dx m V x E V E − − → − 2 1 1 2 2 x x dx m E V n − = + 1 2