课程名称：《重力选矿》第2次讲摘要第二章颗粒在介质中的沉降运动授课题目（章、节）第一节球形颗粒在介质中的自由沉降本讲目的要求及重点难点：【自的要求】通过本讲课程的学习，掌握介质阻力，以及球形颗粒及矿物颗粒在介质中的自由沉降规律。【主要内容】1、球形颗粒在介质中的自由沉降速度规律2、矿物颗粒在介质中的自由沉降[重点】球形颗粒在介质中的自由沉降速度公式推导【难点】球形颗粒在介质中的自由沉降未速的求解内容【本讲课程的引入】矿粒在流体中的沉降是重力分选过程中矿粒最基本的运动形式。矿粒因自身的密度、粒度和形状不同，在一定介质中就会有不同的沉降速度。这种差异，主要是由于介质的浮力和颗粒在介质中所受到的阻力不同引起的。颗粒沉降有两种形式：1.自由沉降2.干涉沉降自由沉降：单个颗粒在广阔的介质空间中独立沉降。此时，颗粒只受重力、介质浮力和阻力作用外，不受其它因素的影响。通常所谓的自由沉降是指介质中固体物料的含量很少，在总容积量中颗粒占有的及3%时，颗粒间的干涉沉降变得很小，此时可视为是自由沉降。干涉沉降：矿粒成群地在有限的介质空间里沉降。干涉沉降，其沉降速度除受自由沉降因素支配外，还受容器器壁及周围颗粒所引起的附加因素影响，最终导致颗粒的沉降速度要低于自由沉降的沉降速度。【本讲课程的内容】第二章球形颗粒在介质中的自由沉降第一节球形颗粒在介质中的自由沉降一、球形颗粒在介质中的自由沉降末速（通式求解）1.球形颗粒在介质中所受的重力
课程名称：《重力选矿》 第 2 次讲 摘要 授课题目（章、节） 第二章 颗粒在介质中的沉降运动 第一节 球形颗粒在介质中的自由沉降 本讲目的要求及重点难点： 第二节 矿物颗粒在介质中的自由沉降 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握介质阻力，以及球形颗粒及矿物颗粒在介质中的自由沉降规律。 【主要内容】1、球形颗粒在介质中的自由沉降速度规律 2、矿物颗粒在介质中的自由沉降 【重 点】球形颗粒在介质中的自由沉降速度公式推导 【难 点】球形颗粒在介质中的自由沉降末速的求解 内容 【本讲课程的引入】 矿粒在流体中的沉降是重力分选过程中矿粒最基本的运动形式。矿粒因自身的密度、粒 度和形状不同，在一定介质中就会有不同的沉降速度。这种差异，主要是由于介质的浮力和 颗粒在介质中所受到的阻力不同引起的。 颗粒沉降有两种形式：1.自由沉降 2.干涉沉降 自由沉降：单个颗粒在广阔的介质空间中独立沉降。此时，颗粒只受重力、介质浮力和 阻力作用外，不受其它因素的影响。 通常所谓的自由沉降是指介质中固体物料的含量很少，在总容积量中颗粒占有的及 3％ 时，颗粒间的干涉沉降变得很小，此时可视为是自由沉降。 干涉沉降：矿粒成群地在有限的介质空间里沉降。干涉沉降，其沉降速度除受自由沉降 因素支配外，还受容器器壁及周围颗粒所引起的附加因素影响，最终导致颗粒的沉降速度要 低于自由沉降的沉降速度。 【本讲课程的内容】 第二章 球形颗粒在介质中的自由沉降 第一节 球形颗粒在介质中的自由沉降 一、球形颗粒在介质中的自由沉降末速（通式求解） 1.球形颗粒在介质中所受的重力
颗粒在介质中的剩余重力称为有效重力，对于球形颗粒来说G。= oVg -pVg而V-"d36因此G=d'(8-p)g6可见，有效重力与矿粒的尺寸、密度及介质的密度有关。G是矿粒在介质中所受的重力，从上式中可以看出，它等于矿粒的质量m与加速度（8-p）/8的乘积。后者为矿粒在介质中的重力加速度，以符号“go”表示8-P)go =(--)g8go是颗粒在介质中开始自由沉降时所具有的最大加速度，称为初加速度。且G.=mgo2.球形颗粒在介质中的自由沉降末速首先建立球形颗粒在静止介质中沉降运动的方程式。矿粒在介质中沉降时，矿粒对介质的相对速度即矿粒的运动速度。沉降初期，矿粒运动速度很小，介质阻力也很小，矿粒主要在重力（G）作用下，作加速沉降运动。随着矿粒沉降速度的增加，矿粒运动加速度逐渐减小，直至为0。此时，矿粒沉降速度达到最大值，作用在矿粒上的有效重力（G）和阻力（R）平衡，矿粒以等速度沉降，我们称这个速度为矿粒的自由沉降末速，用表示。矿粒在介质中沉降时，受力与运动加速度将有如下关系：dyG。-Rm-=dt即ddy_md3(8-p)g-dpvy06°dt6dv_s-p6pvy-gdt8nds从式可知，球形颗粒在静止介质中沉降时，其运动加速度是下列两种加速度之差。球形颗粒在介质中的重力加速度go8-pg0=-g8颗粒运动时介质阻力产生的阻力加速度a
颗粒在介质中的剩余重力称为有效重力，对于球形颗粒来说， G0 = Vg − Vg 而 3 6 V d = 因此 G d ( )g 6 3 0 = − 可见，有效重力与矿粒的尺寸、密度及介质的密度有关。 G0 是矿粒在介质中所受的重力，从上式中可以看出，它等于矿粒的质量 m 与加速度（δ- ρ）/δ 的乘积。后者为矿粒在介质中的重力加速度，以符号“g0”表示 g0 ( )g − = g0 是颗粒在介质中开始自由沉降时所具有的最大加速度，称为初加速度。 且 G0 = mg0 2.球形颗粒在介质中的自由沉降末速 首先建立球形颗粒在静止介质中沉降运动的方程式。 矿粒在介质中沉降时，矿粒对介质的相对速度即矿粒的运动速度。沉降初期，矿粒运动 速度很小，介质阻力也很小，矿粒主要在重力（G0）作用下，作加速沉降运动。随着矿粒沉 降速度的增加，矿粒运动加速度逐渐减小，直至为 0。此时，矿粒沉降速度达到最大值，作 用在矿粒上的有效重力（G0）和 阻力（R）平衡，矿粒以等速度沉降，我们称这个速度为矿 粒的自由沉降末速，用 0 v 表示。 矿粒在介质中沉降时，受力与运动加速度将有如下关系： G R dt dv m = 0 − 即 2 2 3 3 ( ) 6 6 g d v d dt d dv = − − d v g dt dv 2 6 − − = 从式可知，球形颗粒在静止介质中沉降时，其运动加速度是下列两种加速度之差。 球形颗粒在介质中的重力加速度 g0 g g − 0 = 颗粒运动时介质阻力产生的阻力加速度 a
6pvy=nds即dydi=go-a颗粒在介质中的重力加速度，是一种静力性质的加速度，它只与颗粒及介质的密度有关。而介质阻力所产生的阻力加速度a，则是动力性质的加速度，它不仅与颗粒及介质的密度有关，而且还和颗粒的粒度及其沉降速度有关。颗粒在静止介质中达到沉降末度v.的条件R= G或dv=go-a=0dt即6wpv8-p.-sgods故得md(8-p)gVo=16py上式是计算球形颗粒在静止介质中自由沉降时的沉降未速V。的通式。从公式中可看出，当介质密度一定时，密度大的颗粒、或粒度大的颗粒，它们的沉降末速vo大；若颗粒的密度、粒度一定时，介质密度大者，一般其粘度也高，颗粒在其中的沉降末速，相对而言要变小。由上述各公式可知，不论是已知d求vo，还是已知vo求d，都要知道阻力系，而又与Re有关。从雷诺数Re公式可看出，要想求出Re.，又必须预先知道vo和d，因此，求vo或d，直接使用该公式计算是不可能的。解决这个问题的方法主要有两种：1.先求解阻力系数再根据通式计算刘农（R·Ltinnon）提出，为了确定与已知d（或已知vo）相对应的或Re，必须找出个中间参数。这个参数是已知d，或已知vo的函数。如果从中间参数中消去V。（或消去d），那未所寻求的中或Re将是该中间参数的函数。因求vo或d，故R=Go。Re?= d"p'v.?ui?
d v a 2 6 = 即 g a dt dv = 0 − 颗粒在介质中的重力加速度 g0，是一种静力性质的加速度，它只与颗粒及介质的密度有 关。而介质阻力所产生的阻力加速度 a，则是动力性质的加速度，它不仅与颗粒及介质的密 度有关，而且还和颗粒的粒度及其沉降速度有关。 颗粒在静止介质中达到沉降末度 v0 的条件 R = G0 或 = g0 − a = 0 dt dv 即 d v g 2 6 0 = − 故得 6 ( ) 0 d g v − = 上式是计算球形颗粒在静止介质中自由沉降时的沉降未速 v0 的通式。从公式中可看出， 当介质密度一定时，密度大的颗粒、或粒度大的颗粒，它们的沉降末速 v0 大；若颗粒的密度、 粒度一定时，介质密度大者，一般其粘度也高，颗粒在其中的沉降末速，相对而言要变小。 由上述各公式可知，不论是已知 d 求 v0，还是已知 v0 求 d，都要知道阻力系ψ，而ψ又 与 Re 有关。从雷诺数 Re 公式可看出，要想求出 Re。，又必须预先知道 v0 和 d，因此，求 v0 或 d，直接使用该公式计算是不可能的。 解决这个问题的方法主要有两种： 1．先求解阻力系数ψ再根据通式计算 刘农（R·Ltinnon）提出，为了确定与已知 d（或已知 v0）相对应的ψ或 Re，必须找出 个中间参数。这个参数是已知 d，或已知 v0 的函数。如果从中间参数中消去 v0（或消去 d）， 那末所寻求的ψ或 Re 将是该中间参数的函数。 因求 v0 或 d，故 R=G0。 2 2 2 2 2 Re d v o =
C= 4d(8-p)g3pvπC_ nd(S-p)gV=86pv。将Re的平方再分别与C及相乘得4dp(8-p)gRe?C_-6pv?简写为8G.PRe"C-$元/?以及Re'w=Gapu2同理，将阻力系数C或y被Re除之则得C4u(8-p)gRe3pv.业_元8-p)gRe6p°v.从上述各式中可以看出。Rec或Re?都是不包含V。的无量纲中间参数：C/Re或/Re都是不包含d的无量纲中间参数。这样就可以利用李莱曲线，事先按c与Re或与Re对应值，计算出Rec或ReΦ，以及c/Re或Φ/Re，选用相应公式，结合给定流体和给定物料（即p、μ和d、8），可直接算出所需利用的中间参数值，再根据Rec或Re（求d时，根据c/Re或Φ/Re)。2.里亚申柯中间参数曲线法里亚申柯是利用刘农提出的两个无量纲的中间参数Re及/Re。在李莱1g=f（1gRe）曲线的基础上，同样使用对数坐标，分别绘制了另外两条中间参数曲线，即1gReΦ=f（1gRe)曲线和1gΦ/Re=f(1gRe）曲线。见下图2-5和2-6
2 3 4 ( ) o v d g C − = 2 6 ( ) 8 o v C d g − = = 将 Re 的平方再分别与 C 及 相乘得 2 2 2 6 4 ( ) Re o v d g C − = 简写为 2 2 8 Re Go C = 以及 2 2 Re Go = 同理，将阻力系数 C 或 被 Re 除之则得 2 3 4 ( ) Re o v C g − = 2 2 6 ( ) Re o v g − = 从上述各式中可以看出。Re2 c 或 Re2ψ都是不包含 v0 的无量纲中间参数；c／Re 或ψ/Re 都是不包含 d 的无量纲中间参数。这样就可以利用李莱曲线，事先按 c 与 Re 或ψ与 Re 对应 值，计算出 Re2 c 或 Re2ψ，以及 c／Re 或ψ/Re，选用相应公式，结合给定流体和给定物料（即 ρ、μ和 d、δ），可直接算出所需利用的中间参数值，再根据 Re2 c 或 Re2ψ（求 d 时，根据 c／Re 或ψ/Re）。 2．里亚申柯中间参数曲线法 里亚申柯是利用刘农提出的两个无量纲的中间参数 Re2ψ及ψ/Re。在李莱 lgψ=f（lgRe） 曲线的基础上，同样使用对数坐标，分别绘制了另外两条中间参数曲线，即 lgRe2ψ = f(lgRe) 曲线和 lgψ/Re=f(lgRe)曲线。见下图 2-5 和 2-6
J100.10-10~110031010*10*图2-5球形颗粒的Re2b一Re关系曲线图2-6球形颗粒的Φ/Re一Re关系曲线若已知球形物体的粒度d、密度8以及流体介质的密度p和粘度μ时，求v。的方法是先计算出Re中，然后在图2-5曲线上找出相应的Re值，代入公式直接计算v。。再有就是在图2-5找出Re值后，利用李莱曲线得到阻力系数中，然后代入公式也可以。如果已知球形物体的vo、8和流体介质的p、μ，求沉降颗粒的粒度d。其方法相仿，先计算出/Re，并在图2-6找到相应的Re值，代入式即可。当然也可在已知Re后从李某曲线上查得值，再代入公式，同样可求出d值。除上述两种方法之外，在工程流体力学中，为了简化计算，采用诺漠图法。在具备所有已知条件后，可由已绘制的诺漠图上直接查读。二、利用个别公式求解球形颗粒的自由沉降末速公式不同绕流流态下的沉降末速计算公式：对于球形颗粒来说，颗粒沉降速度不同时，相应的雷诺数Re也是不同的，同样阻力系数也相应是变化的。颗粒的沉降末速计算通常采用分段计算方法。1、层流沉降末速：以粘性阻力计算公式代入Go=R的式中，即："d(8-p)g3元/d。=6d?故 -(8-p)gm/sVo=18μ若采用CGS制，则Vo= 54.5d(-P)cm/sA或UVo= 54.5d2(PL
图 2-5 球形颗粒的 Re2ψ—Re 关系曲线 图 2-6 球形颗粒的ψ/Re—Re 关系曲线 若已知球形物体的粒度 d、密度δ以及流体介质的密度ρ和粘度μ时，求ν0 的方法是先 计算出 Re2ψ，然后在图 2-5 曲线上找出相应的 Re 值，代入公式直接计算ν0。再有就是在图 2-5 找出 Re 值后，利用李莱曲线得到阻力系数ψ，然后代入公式也可以。 如果已知球形物体的ν0、δ和流体介质的ρ、μ，求沉降颗粒的粒度 d。其方法相仿， 先计算出ψ/Re，并在图 2-6 找到相应的 Re 值，代入式即可。当然也可在已知 Re 后从李某 曲线上查得ψ值，再代入公式，同样可求出 d 值。 除上述两种方法之外，在工程流体力学中，为了简化计算，采用诺漠图法。在具备所有 已知条件后，可由已绘制的诺漠图上直接查读。 二、利用个别公式求解球形颗粒的自由沉降末速公式 不同绕流流态下的沉降末速计算公式： 对于球形颗粒来说，颗粒沉降速度不同时，相应的雷诺数 Re 也是不同的，同样阻力系 数Ψ也相应是变化的。颗粒的沉降末速计算通常采用分段计算方法。 1、层流沉降末速： 以粘性阻力计算公式代入 G0=R 的式中，即： dv d ( )g 6 3 3 0 = − 故 g d v ( ) 18 2 0 = − m/s 若采用 CGS 制，则 54.5 ( ) 2 0 − v = d cm/s 或 2 1.0 1.0 0 54.5 ( ) ( ) − v = d