一类非线性控制系统的干扰解耦

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2000.06.019 第22卷第6期 北京科技大学学报 Vol.22 No.6 2000年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.2000 类非线性控制系统的干扰解耦 王粉花孙一康 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要讨论了一类非线性控制系统的干扰解耦问题.通过对系统正则型的研究给出了使系 统可通过静态反馈达到干扰解耦控制的充分必要条件，并给予了严格的证明， 关键词非线性系统：干扰解耦；反馈控制 分类号TP13 文献标识码：A 对于如下的非线性控制系统： 由(2)式知，上式在点为零，即： [x=f(x)+g(x)u+pxω (1) C,L Lf'h(xo)=0. y=h(x) 因此有C,=0.此时(2)式化为： 其中：x∈R,u∈R,ω∈R(m<n),fx),g(x),p(x)及 hx)为在R”上解析.u为输入变量，w为干扰变 C.do(x)0 (3) 量，y为输出变量. 记U,8i-器)-8影则可以验正，对于 本文的目的是寻找一个静态状态反馈控 任意光滑函数(x),有： 制，使得非线性闭环控制系统(1)的输出y与干 Lit.g(x)=L:Lg A(x)-LgLA(x) (4) 扰ω完全无关，即通过静态反馈达到干扰解耦 于是有： 控制.为此，应先讨论非线性系统在无干扰时 L.(C,p.》=LCL,h》- (即o=0)的正则型. =1 -L(CL,4hx》=-C-Lh). 扣1 1系统的局部正则型 由(3)式知，上式在点为零，即： -C,-L Li'h(xo)=0. 引理1设映射Z=x)是定义在R的某个 因此有C-0,如此继续下去，最终可以得： 子集U上的光滑函数，如果Jacobi矩阵： C=C,=…C,=0,于是我们就可以得到如下的 [0… 0o1 dx dx. 引理2. 引理2如果系统(1)在x具有相对阶r,且 dx …xJ r≤n,那么可以找到另外n一T个函数中+(x),…, dx 中x),使得在点映射(x)=(中(x),…,中(x)) 在点x=和是非奇异的，那么在包含的某个适 具有非奇异的Jacobi矩阵， 当的开子集U°上，(x)为一个局部微分同胚. 在新坐标变换=(xi=1,2,…,n)下，系统 假设存在不全为零的”个常数C,i=1,2, (1)可如下表达： ,r,使得： [z=z1,i=1,2,…,-1 C,dΦ(x)=0 (2) z,=b(5,ta(5,n)u (5) 由相对阶的定义，我们有： 7=qξ，n+p(5,n)u L.[ZCpx)]=[ECidpAx)lg(x)= y=ZI 其中，5=(2，…2)，n=(2,…2)； 含CL,5M=CL,Lh闭. a(z）=LLhΦ-(z),b(z)=Lh(Φ-(z). 式(5)即为非线性闭环系统(1)（ω-0时）的 局部正则型 2000-04-18收稿王粉花女，29岁，讲师

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 均 ‘ 一类非线性控制系统的干扰解祸 王粉花 孙一康 北京科技大学信息工程学院 ， 北京 摘 要 讨论 了一类非线性控制系统 的干扰解祸 问题 通过对系统正 则 型 的研究给 出 了使系 统可通过静态反馈达到干扰解祸控制 的充分必 要 条件 ， 并给予 了严格 的证 明 关键 词 非线性系统 干扰解祸 反馈控制 分 类号 文献标识码 对 于 如 下 的非 线性控制 系统 ‘ 一 肋惬众 ‘ 沙 其 中 任 ， 任尸 ， 。 任俨 ， 厂以 ， 加 ， 及 为在 尸 上解 析 为输入变量 ， 。 为 干扰变 量 ， 为输 出变量 本 文 的 目的是 寻 找 一 个 静 态 状 态 反 馈 控 制 ， 使得非线性 闭环控制系统 的输 出 与干 扰 。 完全无关 ， 即通过静态 反 馈达到 干扰解祸 控制 为此 ， 应 先讨论 非 线性 系统在 无干扰 时 即 。 的正 则 型 由 式知 ， 上 式在 点为零 ， 即 声尸 因 此有 此 时 式化 为 丢 岭 一 ” 。 ， ， ， 、 刁 、 、 厂 ， 、 ， ， 、 ， ‘ 、 记 了 ， 」 一 箭卿才卜 洲卑 ， 则可 以验证 ， 对于 任 意光滑 函 数 又 ， 有 场 这 吞几又 一乌寿又 于 是 有 ， 炙艺 沪， 砚式艺 声尸 一 一琢菩 声 一 一 早 一 场 · 系统的局部正则型 引理 设 映射 创才 是 定义在 尸 的某个 子集 上 的光滑 函 数 ， 如 果 矩 阵 由 式知 ， 上 式在 点为零 ， 即 一 一 泌声鉴 一 因 此 有 一 如 此 继 续 下 去 ， 最 终 可 以得 二 … 于 是我们 就可 以得 到如下 的 引理 引理 如 果 系统 在 具有相 对 阶 ， 且 胜 ， 那 么 可 以找到另外 一 个 函 数 价 ，… ， 叭 劝 ， 使 得 在 点 映射 巾 价 ，… 劝 。 具 有 非 奇异 的 矩 阵 在 新坐标变换 办 ， ，… ， 下 ， 系统 可如 下 表达 曰屠嚼 鲁 下沁 一 在 点 是 非奇异 的 ， 那 么 在包含 的某个适 当 的开 子 集 上 ， 必 为一个局 部 微分 同胚 假 设 存 在 不 全 为 零 的 个 常 数 ， 卜 ， ， … ， ， 使 得 艺 师 由相 对 阶 的定义 ， 我们 有 丢印，〕 【艺 帅 〕沙 丢 几 汤 一 ‘ ‘ · 其 中 ， 咨 ，… 习 ， 叮 ，，… 劫 二 必尸 必 一 ’ ， 汤 必 一 ’ 式 即 为非 线性 闭环系 统 。 时 的 一 一 局 部 正 则 型 收稿 王粉花 女 ， 岁 ， 讲师 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2000．06．019

·560· 北京科技大学学报 2000年第6期 2干扰解耦问题 z=z41,i=1,2,…,-1 2,=V (6) 对于干扰解耦问题，辅以前面系统正则型 的分析研究，得到如下定理. =t飞-怎Gn+kn加 a(5,n) 定理如果系统(1)在x∈R”具有相对阶r, 可以看出，输出y,即状态变量与干扰ω是无 那么系统可以通过一个反馈控制u=(x计xy 关的.充分性得证， (x)为非奇异)来实现干扰解耦的充分必要条 （必要性)设反馈u=a(x十xy可使系统(I) 件是：对所有i=1,2,,”一1及所有附近的x, 的输出y与干扰⊙解耦.将其代入系统(1)，有 LLth(x)=0. 如下的闭环系统： [i=f(x)+g(x)a(x)+g(x)B(x)v+p(x)o 证明：（充分性)由假设知，对于所有x附近 (7) y=h(x) 的x,L,x)=0,我们有： 血-驰.止=.止= (不妨设()=0)，由计算可得： dr ox d证，axd证 y(t)=Lh(x(t))+L,h(x(t))o(t). Lh(x(t))+Lh(x(t))u(t)+Lh(x(t))o(t)= 由己知y)与w()无关，故有L,h(x()=0对 Lh(x(t))=z2. 于所有附近的x成立. 依次类推，有： y(t)=Ligh(x(t))+LLegh(x(t))a(t). 0=,=l2-l. 同理有：L,Lfh(x(t)=0; 因为L,L'hX)=0, 所以告-Lx0HL,'hx0. y(t)=Liwh(x(t))+LLih(x(t))o(t). 由此也得：L,Lh(x)=0. 可见，前面”个正则型方程无论系统有无干 再由相对阶的定义，可得到下述方程，即对 扰都是一致的，而剩下的方程将依赖于干扰ω. 任意i=1,2,…,P一1及所有和附近的x,总有： 于是可把系统写为： Ligch(x)=Lth(x); [2=zm1,i=1,2,…,y-1 L.Lih(x)=0. 2=b(c,n)ta(,n)u 必要性得证， 7=g(5,ntp5,n)+k(ξ，)w 参考文献 y=z 现取如下的状态反馈： 1 Dayawansa W P,Cheng D,Tarn T J,Boothby WM.Global aC (f,g)-invariance of Nonlinear Systems.SIAM J Contr Op- timiz,1988,26:1119 则系统变为： 2高为炳非线性控制系统导论.北京：科学出版社，1988 Disturbance Decoupling for A Class of Nonlinear Control Systems WANG Fenhua,SUN Yikang Information Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT The problem of the disturbance decoupling for a class of nonlinear control systems is discussed. The necessary and sufficient condition has been proved under which the nonlinear systems can keep decoup- ling with a feedback controller by researching the regular of the systems. KEY WORDS nonlinear systems;disturbance decoupling;feedback control

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 ‘ 期 干扰解祸问题 对于 干扰解祸 问题 ， 辅 以前面 系统 正 则型 的分析研 究 ， 得 到如下 定理 定理 如 果 系统 在 任尸 具有相对 阶 ， 那 么 系统可 以通过一 个 反馈控制 脚 仍伙 为非奇异 来 实现千扰解祸 的充分必 要条 件 是 对所有 ， ，… ， 一 及所 有 附近 的 ， 声奋 证 明 充分性 由假设 知 ， 对于 所有 附近 的 ， 幼 一 ， 我们 有 毒 ， ， ，… ， 一 二 一 、 一 黔蜘唱豁 什、 可 以看 出 ， 输 出 ， 即状态变量 ， 与干扰 。 是无 关 的 充分性得证 必 要性 设反馈 切 可使系统 的输 出 与干扰 。 解祸 将其代入系统 ， 有 如 下 的闭环 系统 仁 ， 饰 ， 山 旦五 鱼 『一刁牙 ’ 刁『一 花瓜 ’ 币 一 六 户 产试 。 六 几 依次类推 ， 有 ， ， ， 户共 吞 ，， ，，… ， “ 一 什 ， ， 二 ，， “ ， · 不 妨设试 ， 由计算可 得 尹 、 试 产试 。 由 已知 只 与。 无关 ， 故有乙户 对 于 所有 附近 的 成立 尹 沁 试 声吮沪试 。 同理有 声 介沪 因为 声尸 刀 ， 所 以备 一 二 、 。 可见 ， 前面 个正则型方程无论系统有无干 扰都是一致 的 ， 而剩 下 的方程将依赖于 干扰 ， 于 是可把系统 写为 岛一 “ ， ‘一 ’， ” ’ ，一 ‘ 之一 ”， ”抽， 匕掣 ’ “减 ’ “ ’ ” “ 现取 如 下 的状态 反馈 产 试 声以 。 由此也得 五声以人 二 再 由相对 阶 的定义 ， 可得到下述方程 ， 即对 任意 ， ， … ， 一 及所有 附近 的 ， 总有 碗户 汤 声汤 必 要 性得证 参 考 文 献 ， ， 知 ， 一 器汾渝 ， 盯即 ， ，枷 ， 一 而 ， ， 廿 钾 则系统变 为 高为炳 非线性控制系统导论 北京 科学出版社 ， 环月刃 厂’ “ ， 万切 功为 ， ， 吨 ， 盯 · 口 阴 止