●能量信号的频谱密度 设一能量信号为s(,则其频谱密度为: S(o)= s(t)e odt S(o)的逆变换为原信号: s(t)= S(o)e/odo r/a t. 【例23】试求一个矩形脉冲的频谱密度 解:设此矩形脉冲的表示式为 z/2 g(t) o>x/2 则它的频谱密度就是它的傅里叶变换: r/2 G() dt valefor/2 sin(OT/2) O/2
6 ⚫ 能量信号的频谱密度 设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为： S()的逆变换为原信号： 【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为 则它的频谱密度就是它的傅里叶变换： − − S = s t e dt jt () ( ) − = s t S e d j t ( ) ( ) = 0 / 2 1 / 2 ( ) t t g t / 2 sin( / 2) ( ) 1 ( ) / 2 / 2 / 2 / 2 = = − = − − − j t j j e e j G e dt
【例24】试求抽样函数的波形和频谱密度 解:抽样函数的定义是 sin t Sa(t) 而Sa(t)的频谱密度为: sin t 1<O≤+1 Salo) e o dt o其他处 和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的G(a)曲线相同 而Sa(t)的频谱密度Sa(o)的曲线和上例中的g(t)波形相同。 【例25】试求单位冲激函数及其频谱密度 解:单位冲激函数常简称为8函数,其定义是 d(1)dt=1 (1)=0 t≠0 8(O频谱密度)=。0b=10M=1 7
7 【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。 解：抽样函数的定义是 而Sa(t)的频谱密度为： 和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同， 而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。 【例2.5】试求单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是： (t)的频谱密度： t sin t Sa(t) = − + = = − − 0 其他处 sin 1 1 ( ) e dt t t Sa j t ( ) 0 0 ( ) 1 = = − t t t dt ( ) = ( ) =1 ( ) =1 − − − f t e dt t dt j t
Sa(t)及其频谱密度的曲线: at) >8函数的物理意义: 高度为无穷大,宽度为无穷小,面积为1的脉冲。 用抽样函数Sa()表示8函数:Sa(t)有如下性质 k Sa()at=1 当k→∞时,振幅→∞ 波形的零点间隔→0, 故有 6(1)=mn Sa(kt) k→>∞
8 ➢ Sa(t)及其频谱密度的曲线： ➢ 函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。 ➢ 用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质 当 k → 时，振幅 → ， 波形的零点间隔 → 0， 故有 − Sa(kt)dt = 1 k t t t ( ) lim Sa(k t) k t k → = f (f) 1 0 t (t) 0
>a函数的性质 ■对的抽样:()= f(to(t-to)dt 数是偶函数6()=(-1)1()=1上0)m 函数是单位阶跃函数的导数: 当t<0, l(t)= 当t≥0 u/(0=(0 图226单位阶跃函数 >能量信号的频谱密度S(和周期性功率信号的频谱C(jno) 的区别 ■S(f)一连续谱;C(jna)一离散谱 S()的单位:V/Hz;C(ina)的单位:V S(f)在一频率点上的幅度=无穷小
9 ➢ 函数的性质 ◼ 对f(t)的抽样： ◼ 函数是偶函数： ◼ 函数是单位阶跃函数的导数： ➢ 能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱C(jn0 ) 的区别: ◼ S(f ) － 连续谱；C(jn0 ) － 离散谱 ◼ S(f )的单位：V/Hz；C(jn0 ) 的单位：V ◼ S(f )在一频率点上的幅度＝无穷小。 u(t) = (t) − f(t ) = f(t) (t − t )dt 0 0 − f (t ) = f (t) (t − t)dt 0 0 (t) = (−t) = 1, 0 0, 0, ( ) t t u t 当 当 t 1 0 图2.2.6 单位阶跃函数
【例26】试求无限长余弦波的频谱密度。 解:设一个余弦波的表示式为f(= coSOpt则其频谱密 度F(o)按式(22-10)计算,可以写为 r/2 (o)=lim cos O te o dt=lim sn(O-00)z/2].sn(O+O0)z/2 7→)0 D02(o-00)x/2 (O+O0)z/2 ?//r(-00) (0+0 m sa 2 2 参照式(2.2-19),上式可以改写为 F()=(-c0)+6(O+00) (a)波形 b)频谱密度 引入δ(,就能将频谱密度概念推广到功率信号上。 10
10 【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0 t，则其频谱密 度F()按式(2.2-10)计算，可以写为 参照式(2.2-19)，上式可以改写为 ➢ 引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。 + + − = + + + − − = = → − → − → 2 ( ) 2 ( ) 2 lim ( ) / 2 sin[( ) / 2] ( ) / 2 sin[( ) / 2] 2 ( ) lim cos lim 0 0 0 0 0 0 / 2 / 2 0 Sa Sa F t e dt j t ( ) [ ( ) ( )] F = −0 + +0 t －0 0 0 (b) 频谱密度 (a) 波形