定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点 (x,y)可微分,则该函数在点(x,y)的偏导数、 a必存在,且函数z=∫(x,y)在点,)的全微分 为 z △+△ 证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+B△y+0()总成立
定理 1（必要条件） 如果函数z = f ( x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y) 的偏导数 xz 、 yz 必存在，且函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全微分 为 y yz x xz dz + = ． 证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P(x + x, y + y)P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立
当y=0时,上式仍成立,此时p=Ax f(x+Ax,y)-∫(x,y)=A·△x+o(△xD, f(x+△x,y)-∫(x,y) z △→>0 △y 同理可得B 7z 元函数在某点的导数存在←微分存在 多元函数的各偏导数存在<全微分存在 例如f(x,y) 13x2+y2≠0 0 2 0
当y = 0时，上式仍成立， 此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 , x z = 同理可得 . y z B = 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如 . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 + = + = + x y x y x y xy f x y
在点(0,0)处有 f2(0,0)=f,(0,0)=0 A-x(0,0)·Axf,(0,0)·2y △y·△p (△x)2+(4y)2 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0), △v·△ 则 (Δx)2+(4y)2△r:△x (△x)2+(△x)22 说明它不能随着ρ→>0而趋于0,当p→>0时 Az-f(0,0)·△x+∫,(,0)·4y≠0(P 函数在点(0,0)处不可微
在点(0,0)处有 (0,0) = (0,0) = 0 x y f f z [ f (0,0) x f (0,0) y] − x + y , ( ) ( ) 2 2 x y x y + = 如果考虑点P(x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则 2 2 ( x) ( y) x y + 2 2 ( x) ( x) x x + = , 21 = 说明它不能随着 → 0而趋于 0, 当 → 0 时 z [ f (0,0) x f (0,0) y] o( ), − x + y 函数在点(0,0)处不可微