上海交通大学：《光通信系统与网络》课程教学课件（讲稿）第02章 光纤导波原理

>波动方程式简化光纤1.材料线性、各向同性、透明介质、均匀2.Z向传输波3.半无限长，纵、横向差别极大→单色+波动方程光纤中的电磁波Z向传输波Helmholtz方程简化的波动方程式

波动方程式简化 光纤 1. 材料线性、各向同性、透明介质、均匀 2. z向传输波 3. 半无限长，纵、横向差别极大 单色 Helmholtz方程 波动方程 简化的波动方程式 光纤中的电磁波 Z向传输波

>波动方程式简化1-Helmholtz方程一时谐电磁场（或单色光波）的波动方程单色光波E(r,t)=E(r)cos(ot)= Re(E(r)exp(jot)H(r,t) = H(r)cos(ot) = Re(H(r)exp(jot)波动方程a2EVE=H8at01Qatota"HVH=atV'E+kE=0Helmholtz方程H+kH=0k=0ue=kon其中：2元2元O时间t变量分离n=/8,,C=1/001o,8=808XC

－时谐电磁场（或单色光波）的波动方程                       , cos Re exp , cos Re exp t t jt t t jt         Er Er Er Hr Hr Hr 2 2 2 j , t t          2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 k k k kn f k c c               E E H H Helmholtz方程 r r n  c      0 0 0  ,  1 ,  2 2 0 2 2 2 0 2 t t         H H E E     波动方程式简化 1 －Helmholtz方程 单色光波 波动方程 其中： 时间 t变量分离

>波动方程式简化2-z向传输波·由波动方程可知：影响光波导传输特性的，主要是折射率的空间分布·对于折射率分布沿纵向（z向）不变的光波导（如：光纤、平面波导），其数学描述为n(x, y,z)= n(x, y)可以证明，相应的光场是沿z传输的传输波，可表示为分离形式z变量分离忽略ojotR-iBot-βx,yzCβ一传播常数，E(x,y)和H(x,y)一表示E,H沿波导横截面的分布，称为模式场相应的Helmholtz方程为：简化的波动方程V? + (k2 - β2)E = 0 1a2ajB[V2 + (k2 - β2)H= 0OzOz注意：E仍是矢量，有x,y,z分量t-垂直于z方向的横向

波动方程式简化2－ Z向传输波 •由波动方程可知：影响光波导传输特性的，主要是折射率的空间分布 •对于折射率分布沿纵向（z向）不变的光波导（如：光纤、平面波导），其数 学描述为 nx, y,z  n(x, y) 可以证明，相应的光场是沿z传输的传输波，可表示为分离形式    j  t z x y z t x y e        , , , , HΕ HE    j z x y z x y e       , , , HE H 忽略 E j t e  β－传播常数， E(x,y)和H(x,y)－表示E,H沿波导横截面的分布，称为模式场 相应的Helmholtz方程为：        0 0 2 2 2 2 2 2         H E   k k t t t-垂直于z方向的横向 2 2 2 ,       z j z 简化的波动方程 注意：E仍是矢量，有x,y,z分量 Z变量分离

波导方程式-纵向场法（见电磁场第六章）>纵向场与横向场一（z分量分离）由于光纤及平面波导结构的纵向和横向差别极大，求解其中的模式场可分解为纵向分量和横向分量之和：EE,EHE(xy)e-i:于是：(x,y,=)=E=E, +Ez,H=H, +H,HHH代入Maxwell方程的两个旋度方程可得：用Ez和Hz表示的其它波导方程式V,xE,=-jou.H分量：V,xH,=joEOH.OEjBE+eoVxE+iBe.xE=-jol.H82axdyVxH.+ie.xH=josEOEOHE=udyoxOE.ahC1Hβ只要从波动方程求OESOxay出两个纵向分量aE.aH.利用波导方程式JBHy三0882其它场分量就可以ayox得到8"=k-β2=kn2-β2

纵向场与横向场－ （ z分量分离） 由于光纤及平面波导结构的纵向和横向差别极大，求解其中的模式场可分解为 纵向分量和横向分量之和： 代入Maxwell方程的两个旋度方程可得： 波导方程式 -纵向场法（见电磁场第六章） E=E +E , H=H +H , tz t z    t z t z E E , , H H j z xyz xye                t z t z E E H H 于是： 0 0 tt z tt z tz zt t tz zt t E jH H jE E i E jH H i H jE                       e e 2 0 2 0 2 2 2 2 2 22 2 0 z z x z z y z z x z z y j E H E x y j E H E y x j H E H x y j H E H y x k kn                                                                  用Ez 和Hz表示的其它 分量： 只要从波动方程 求 出两个纵向分量， 利用波导方程式， 其它场分量就可以 得到 波导方程式

光纤的波导理论光波导理论逻辑过程Maxwell方程导模条件波动方程场的解波导方程式特征方程边界条件传输常数β模场分布场的解

光波导理论逻辑过程 Maxwell方程 波动方程 场的解 边界条件 特征方程 场的解 传输常数  模场分布 波导方程式 光纤的波导理论 导模条件