清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第十一章 散射理论（11.2）中心势场中的分波法

S112中心势场中的分波法 1.分波法的一般公式 现在假设势场为中心势场V=(r),那么方程就变为 显然,这时f(O,q)变成了f(O),v(r,,q)变成了v(r,0),而且D2是守恒量,所以不妨假设 ∑R(r)B(cosO) 也就是把v分解为不同轨道角动量的叠加。此式中的每一项(一个确定的角动量成分)称为一个分波。 代入方程,发现R(r)满足 1 d(, dR +|k2-() l(+1 r2 dr dr R1=0 ()=() kr 那么1(r)就满足方程: 2+k2-()(1+1) 以及边界条件 在r→∞时,方程是 b2+4=0 它的一般解是 4()=4sin|-n+6 这里为了以后分析问题的方便,把初位相写成了一+可,其中的o当然无法从渐近方程定出,必须 在求出了严格的方程的解以后再取r→∞的极限才能发现。所以在r→∞时有 我们应该拿这个v(r,)与散射波函数的一般形式 对比,得到f(O)的表达式。为此,我们必须把e=e“也按P(cosb)展开。这个展开式是 ek =elkrcose=2(21+1)ij, (kr)P(cos 0), 其中j(和r)是球 Bessel函数。球 Bessel函数j(x)满足方程 J l(+1) 0,(=0,1,2,…) 并且在x=0处有限。当r→∞时,j(k)有渐近公式 从()-)/b、分)

§11.2 中心势场中的分波法 1． 分波法的一般公式 现在假设势场为中心势场 V V r = ( ) ，那么方程就变为 2 2 2 2 [ ( )] 0. ( ) ( ) k U r U r V r       + − = =     显然，这时 f ( , )   变成了 f ( )  ，   (r, , ) 变成了   ( , ) r ，而且 2 L 是守恒量，所以不妨假设 0 ( , ) ( ) (cos ), l l l    r R r P  = =  也就是把  分解为不同轨道角动量的叠加。此式中的每一项（一个确定的角动量成分）称为一个分波。 代入方程，发现 ( ) R r l 满足 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) 0. l l d dR l l r k U r R r dr dr r     + + − − =         让 ( ) ( ) , l l u r R r kr = 那么 ( ) l u r 就满足方程： 2 2 2 2 ( 1) ( ) 0, l l d u l l k U r u dr r   + + − − =     以及边界条件 ( 0) 0. l u r = = 在 r → 时，方程是 2 2 2 0. l l d u k u dr + = 它的一般解是 ( ) sin , ( ) 2 l l l l u r A kr r     = − + →      这里为了以后分析问题的方便，把初位相写成了 2 l l − +  ，其中的 l  当然无法从渐近方程定出，必须 在求出了严格的方程的解以后再取 r → 的极限才能发现。所以在 r → 时有 ( ) ( ) 1 , sin cos . 2 r l l l l l r A kr P kr      →   ⎯⎯⎯→ − +      我们应该拿这个   (r, ) 与散射波函数的一般形式 ( ) i i e ( , ) e k r r k z r f r    ⎯⎯⎯→ + → 对比，得到 f ( )  的表达式。为此，我们必须把 i i cos e e k z k r  = 也按 (cos ) Pl  展开。这个展开式是 ( ) i i cos e e 2 1 i ( ) (cos ), k z k r l l l l l j kr P  = = +   其中 ( ) l j kr 是球 Bessel 函数。球 Bessel 函数 ( ) l j x 满足方程 2 2 2 2 ( 1) 1 0, ( 0,1, 2, ) l l l d j d j l l j l dx x dx x   + + + − = =     并且在 x = 0 处有限。当 r → 时， ( ) l j kr 有渐近公式 1 ( ) sin , 2 r l l j kr kr kr →     ⎯⎯⎯→ −     这样

∑(21+1) 我们知道,如果U(r)=0,那么v(r,0)=e*,而它有如上的渐近表达式。拿U()≠0的v(r,)与 它对比,我们发现最大的区别就是出现了o,所以δ称为第l阶“相移”。把解得的v(r,)的渐近结 果与假设的渐近形式对比,就得 ∑(2+1) 2/B(cop)+( k-丌+6P(cos) 利用sina=(e-e)/2把各项都化为e“和e的线性组合,方程成为 2ik/()+2(21+1)-4e)eP(cos) -∑(21+1)-4e“)e"eP(cos)let=0 所以 2/(0)=-2(21+0-4ene(oso) ∑(21+1)￥-4e“)e"2P(osp) 第二式给出 A1=(2+1)i 把它代入第一式就得 f()s、l 2ik ∑(21+)(e26-1)e2P(cos) k2(21+)sin,e P(cose) 所以一旦各个可求出来了,∫(O)也就知道了。f(O)的各项称为散射的“分波振幅”。其中的 Legendre 多项式P(cos0)是完全定义好了的函数,例如 f(cos6)=1, P( 0)=cos 8, P(os)=(3cos50-1) 所以 sin s,e是确定这个分波的大小的决定性部分。这样给出的微分截面是 0)=/(0)=1∑(21+1sinop(cos) 注意这里有交乘项出现,不可认为G(O)=∑(0)但是如果求总截面,交乘项是不出现的:

( ) ( ) i 1 e 2 1 i sin cos . 2 k z l r l l l l kr P kr   →    ⎯⎯⎯→ + −      我们知道，如果 U r( ) 0  ，那么 i ( , ) e k z   r = ，而它有如上的渐近表达式。拿 U r( ) 0  的   (r, ) 与 它对比，我们发现最大的区别就是出现了 l  ，所以 l  称为第 l 阶“相移”。把解得的   (r, ) 的渐近结 果与假设的渐近形式对比，就得： ( ) ( ) ( ) 1 i 2 1 i sin cos e 2 1 sin (cos ). 2 l k r l l l l l l l f l kr P kr r l A kr P kr         + − +       = − +       利用 i i sin (e e )/ 2i    − = − 把各项都化为 i e kr 和 i e − kr 的线性组合，方程成为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i / 2 i i i / 2 i 2i (2 1)i e e cos e (2 1)i e e cos e 0. l l l l k r l l l l l k r l l l k f l A P l A P        − − −   + + −     − + − =   所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i / 2 i i / 2 2i (2 1)i e e cos , 0 (2 1)i e e cos . l l l l l l l l l l l l k f l A P l A P        − −  = − + −    = + −    第二式给出 i (2 1)i e .l l A l l  = + 把它代入第一式就得： ( ) ( ) ( ) 2i i / 2 i 1 ( ) (2 1)i e 1 e cos 2i 1 (2 1)sin e cos . l l l l l l l l l f l P k l P k        − = + − = +   所以一旦各个 l  求出来了， f ( )  也就知道了。 f ( )  的各项称为散射的“分波振幅”。其中的 Legendre 多项式 (cos ) Pl  是完全定义好了的函数，例如 ( ) 0 1 2 2 (cos ) 1, (cos ) cos , 1 (cos ) 3cos 1 , 2 P P P      = = = − 所以 i sin e l l   是确定这个分波的大小的决定性部分。这样给出的微分截面是： ( ) ( ) ( ) 2 i 2 2 1 | (2 1)sin e cos | . l l l l f l P k       = = +  注意这里有交乘项出现，不可认为 ( ) ( ) 2 l l    =  f 。但是如果求总截面，交乘项是不出现的：

0,=o(0)dQ2=2r o(0)sin ede 42 221+1)2/+1)sinS, sinS, elei-orp(cos O)P(cos e)d cose ∑(2l+1(2r+ )sin S, sinS ∑(2+)sin26 以上是分波法的一般形式。它的严格表达式是一个无穷级数,其中要求解出所有的可,这实际上是 不可能的。如果随着/的增加δ很快地减小,那么这级数就很快地收敛,有可能只计算前几项就能得到 好的近似。那么对于给定的问题,究竟需要考虑到多大的l就够了呢?让我们从经典的图像来估算一下 设相互作用V(r)是短程的,即只有在r<a的范围内作用是明显的,r>a时的作用可以忽略,a称为 相互作用的力程。再设粒子以动量p入射,而“瞄准距离”为b。容易算出,这时它的角动量是L=pb 显然,如果b>a,则散射的几率很小,所以,发生显著的散射的条件是 b≤a 由于b=L/p,而在量子力学中,p=M,L=1,所以 < 这就表明,只有满足 的那些分波才会有显著的贡献。因此我们的结论是:分波法适用于短程相互作用(a小)和低能(k小)的情 形。在极端情况下 1, 那么只有一个分波需要考虑,就是 =0 这称为S波散射。下边我们就将处理这种情形 2.球方势垒的S波散射 球方势垒指的是 (=Jv(>0.(<a) 0 (r>a 若a很小,E很低,则k≤1,只需考虑S波散射,并可以假设E<。现在的方程是 d +(k2-U(r)a=0,|k 分,()=24 2uE 边界条件是 要从中解出(r)并与硎(n)->sin(知+)对比找出O0。散射振幅是 f() e 这个散射振幅实际上是与O无关的(即各向同性),微分截面是 总截面是 代入V(r),方程成为

( ) ( ) t i 2 , i 2 , 2 2 ( ) 2 ( )sin 2 (2 1)(2 1)sin sin e (cos ) (cos ) cos 2 2 (2 1)(2 1)sin sin e 2 1 4 (2 1)sin . l l l l l l l l l l l l ll l l l l d d l l P P d k l l k l l k                           −    −    =  = = + + = + + + = +       以上是分波法的一般形式。它的严格表达式是一个无穷级数，其中要求解出所有的 l  ，这实际上是 不可能的。如果随着 l 的增加 l  很快地减小，那么这级数就很快地收敛，有可能只计算前几项就能得到 好的近似。那么对于给定的问题，究竟需要考虑到多大的 l 就够了呢？让我们从经典的图像来估算一下。 设相互作用 V r( ) 是短程的，即只有在 r a  的范围内作用是明显的， r a  时的作用可以忽略， a 称为 相互作用的力程。再设粒子以动量 p 入射，而“瞄准距离”为 b 。容易算出，这时它的角动量是 L pb = 。 显然，如果 b a  ，则散射的几率很小，所以，发生显著的散射的条件是 b a  . 由于 b L p = / ，而在量子力学中， p k L l = = , ，所以 . l b a k =  这就表明，只有满足 l ka  的那些分波才会有显著的贡献。因此我们的结论是：分波法适用于短程相互作用( a 小)和低能( k 小)的情 形。在极端情况下 ka 1, 那么只有一个分波需要考虑，就是 l = 0. 这称为 S 波散射。下边我们就将处理这种情形。 2． 球方势垒的 S 波散射 球方势垒指的是 0 ( 0), ( ) ( ) 0. ( ) V r a V r r a    =    若 a 很小， E 很低，则 ka 1 ，只需考虑 S 波散射，并可以假设 E V 0 。现在的方程是 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0, , ( ) ( ) d u E k U r u k U r V r dr     + − = = =       边界条件是 u r( 0) 0. = = 要从中解出 u r( ) 并与 0 ( ) sin( ) r u r kr  ⎯⎯⎯→ + →  对比找出 0  。散射振幅是 0 i 0 1 f ( ) sin e , k    = 这个散射振幅实际上是与  无关的（即各向同性），微分截面是 2 2 0 1 ( ) sin , k    = 总截面是 2 t 0 2 4 sin . k    = 代入 V r( ) ，方程成为

(0-E) d2u 它的解是: A sinh ar (F<a) Bsin(kr+8),(r>a) 其中已经考虑到了边界条件u(0)=0。让lnu(r)在r=a处连续,得 tan(ka+8) 所以相移是 这是一个准确的表达式,但是太复杂,而且没有必要,因为我们本来假设了ka≤1,所以可以把它按 小量ka展开,在最低阶近似下只保留到ka的一次项。在ka→>0时, 2u(o-E)a 2山l0a tr 并可注意总有0< tanha/x≤1,所以还可以利用 arctan x~x,于是 →K tanh Ba-l 还可以认为 sin≡0, 所以微分截面成为 () tanh Ba-l 而总截面为 Ot tanh Ba-l. Ba 实际上这是k→0时σ的极限值。注意:在k→>0的时候也→>0,但截面并不→>0,因为截面 的表达式中还有一个1/k。如果→∞,那么Ba→∞,因而 tanh Ba/Ba→>0,所以 G1→4ra V→∞相当于一个半径为a的“完全硬球”。从经典图像看来,它的截面应该是1=a2,但量子截 面却是它的4倍,这是量子干涉效应的结果。 还可以注意:由于( tanh x/x)-1<0,所以O0<0,这是因为势垒代表排斥作用。事实上它也可以 从散射波的直观图象中看出。此外,对于低能散射还经常定义“散射长度” an d 如果<1,那么可以近似取sin=tan,所以有 4丌 60=4 不难看出对于球方势垒

2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0, , 2 0, , d u V E u r a dr d u E k u r a k dr        −  − =  =          + =  =         它的解是： ( ) ( 0 ) sinh , ( ) sin , ( ) A r r a u r B kr r a     =  +   其中已经考虑到了边界条件 u(0) 0 = 。让 ln ( ) u r 在 r a = 处连续，得 ( 0 ) 1 1 tanh tan , a ka k    = + 所以相移是 0 arctan tanh . ka a ka a      = −     这是一个准确的表达式，但是太复杂，而且没有必要，因为我们本来假设了 ka 1 ，所以可以把它按 小量 ka 展开，在最低阶近似下只保留到 ka 的一次项。在 ka →0 时， 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 2 , V E a V a V k a a a       → −   = ⎯⎯⎯→ = =       并可注意总有 0 tanh / 1   x x ，所以还可以利用 arctan x x ，于是 0 1 ka a tanh 1 . a      → −     还可以认为 0 0 sin ,    所以微分截面成为 ( ) 2 2 2 0 1 1 sin tanh 1 , a a k a        = = −     而总截面为 2 2 2 0 t 2 1 2 4 tanh 1 . V a a a a a           = − =           实际上这是 ka →0 时  t 的极限值。注意：在 ka →0 的时候 0  也 →0 ，但截面并不 → 0 ，因为截面 的表达式中还有一个 1/ k 。如果 V0 → ，那么 a →  ，因而 tanh / 0   a a → ，所以 2 t   → 4 . a V0 → 相当于一个半径为 a 的“完全硬球”。从经典图像看来，它的截面应该是 2 t   = a ，但量子截 面却是它的 4 倍，这是量子干涉效应的结果。 还可以注意：由于 (tanh / ) 1 0 x x −  ，所以 0   0 ，这是因为势垒代表排斥作用。事实上它也可以 从散射波的直观图象中看出。此外，对于低能散射还经常定义“散射长度” 0 0 1 a tan , k = −  如果 0  1 ，那么可以近似取 0 0 sin tan   = ，所以有 2 t 0 0 2 4 sin 4 . a k     = = 不难看出对于球方势垒

I-tanh Ba<a Ba 而在→∞时a=a。目前普遍采用的a0的定义是有负号的,所以对于排斥作用而言散射长度>0 3.球方势阱的共振散射 把势垒换成势阱,则V从>0变为<0,波函数相应地变为 Asink'r l()= (r<a,k=√2(E+|D/) Bsin(kr+8),(ra,k=2HE/h) 所以相移是(未做近似) 注意到(tanx/x)>1, arctan x(x>0)又是x的增函数,所以0>0,这和前面说到的情况一致:对于 吸引作用,相移是>0的。仍然取ka→>0的极限,那么 ka=2A(E+1l)--0,2lc=k h ir h2 但是要注意,现在0是与 tank.a有关,而事实上有这样的可能性存在,那就是参数V,a的值使得 k 这时候| tan koa/ka就变得很大,上面的近似就不能用了。事实上,如果ka恰好=z/2,3/2,…, 那么在ka→>0的时候a也→丌/2,3x12,…,因而散射截面会→>∞,这就是所谓的“共振散射 类似的情形我们在一维散射问题中也看到过了。在目前的问题中,共振散射出现的原因是:在上述条件 下,球方势阱中恰好存在着“零能東缚态 作业:补充题:求粒子在势场U(r)=a1r2(a>0)中的S波相移。提示:球 Bessel函数j(x)对于 “阶数”l也是解析的,因而渐进公式对于非整数的l仍然适用

0 1 0 1 tanh . a a a a a      = −      而在 V0 → 时 0 a a = 。目前普遍采用的 0 a 的定义是有负号的，所以对于排斥作用而言散射长度  0 。 3． 球方势阱的共振散射 把势垒换成势阱，则 V0 从  0 变为  0 ，波函数相应地变为 ( ) ( ) 0 0 sin , ( , 2 ( | |) / ) sin , ( , 2 / ) A k r r a k E V u r B kr r a k E        = + =   +  =  所以相移是（未做近似） 0 arctan tan . ka k a ka k a    = −       注意到 (tan / ) 1 x x  ，arctan ( 0) x x  又是 x 的增函数，所以 0   0 ，这和前面说到的情况一致：对于 吸引作用，相移是  0 的。仍然取 ka →0 的极限，那么 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 2 ( | | ) 2 | | 2 | | . E V a V a V k a k a k a k    → +    = ⎯⎯⎯→ = =       但是要注意，现在 0  是与 0 tan k a 有关，而事实上有这样的可能性存在，那就是参数 0 V a, 的值使得 0 3 5 , , . 2 2 2 k a           或 这时候 0 0 tan / k a k a 就变得很大，上面的近似就不能用了。事实上，如果 0 k a 恰好 =   / 2, 3 / 2, ， 那么在 ka →0 的时候 0  也 →  / 2, 3 / 2, ，因而散射截面会 → ，这就是所谓的“共振散射”。 类似的情形我们在一维散射问题中也看到过了。在目前的问题中，共振散射出现的原因是：在上述条件 下，球方势阱中恰好存在着“零能束缚态”。 作业：补充题：求粒子在势场 2 U r a r a ( ) / ( 0) =  中的 S 波相移。提示：球 Bessel 函数 ( ) l j x 对于 “阶数” l 也是解析的，因而渐进公式对于非整数的 l 仍然适用