长度s,遗憾的是,曲线(21)的弧长s不能作为它的参数事实上,假如取t=s, 则由 dx 可知 0 dtdtdt dt 亦即 (a3+B+3 2a3+B2B3 +(a2+B2+a1a3+B1B1+(a1a2+BB2)=0 所以 B2 B3=0 它表明曲线(21)已退化为直线。因此用弧长作为参数时,曲线(21)只能表示直线 所以必须另寻其它参数本节讲述用弧长作为参数的所谓累加弦长法,其大意是 设给定直角坐标系中的n+1个点 P=(x2y)i=0,1…n 记 yin (22) 2,…,n1,o=0 则形成了一个参数轴t的一个剖分△:0=10<1<…<n 对于这样的剖分△,分别以x和y1(=0,1…,n)为数据,构造两个3次插值 样条x()和y()而参数曲线
长度 s，遗憾的是，曲线(2.1)的弧长 s 不能作为它的参数.事实上，假如取 t=s， 则由 1 2 2 + dt dy dt dx 可知 0. 2 2 2 + dt d y dt dy dt d x dt dx 亦即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 3 2 1 1 3 1 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 + + + + + + + + + t t t 所以 0. 2 = 2 =3 = 3 = 它表明曲线(2.1)已退化为直线。因此用弧长作为参数时，曲线(2.1)只能表示直线. 所以必须另寻其它参数.本节讲述用弧长作为参数的所谓累加弦长法，其大意是： 设给定直角坐标系中的 n+1 个点 P (x , y ), i 0,1, ,n. i = i i = 记 ( ) ( ) , 1, , , 1 2 2 1 2 l j = x j − x j−1 + y j − y j− j = n (2.2) , 1,2, , , 0. 0 1 = = = = t l i n t i j i j 则形成了一个参数轴 t 的一个剖分 : 0 . 0 1 n = t t t 对于这样的剖分 ，分别以 i x 和 y (i n) i = 0,1, , 为数据，构造两个 3 次插值 样条 x(t) 和 y(t).而参数曲线
P()=(x()y() 称为是累加弦长3次参数样条曲线。该曲线在诸结点处的每个分量均达到C2 连续,即切线和曲率皆连续注意,当人们采用参数t时,按上述参数t的取法可 知,x(t)与yt)对于t的导数值均不大,即符合小挠度的要求利用通常3次样条 插值的算法可以分别求得x(t)和y(t) 若将累加弦长3此样条曲线方程写成向量形式,例如记P1与P间的参数曲 线为 P()=R132+R12+R1+R,t1≤t≤t1 (23) 其中弦长1=PP参数轴上结点的坐标1=∑1,=1…n而 P()=P2P(,)=P 要求在P处保证1阶和2阶向量连续,即要求 (-0)=P(1+0)=m, Pv(2-0)=P℃(2+0)=M1 其中m2与M为待求向量类似于普通3此样条插值的计算方法,在P处的光滑连 接性可推出关系式 lM1=-2(3e1-m--2m) l1M1=-2(3e1-2n 从而得到如下连续性方程 Am21+2m+m1=3(e+He1 i=1,…,n-1 (25) 其中
P(t) = (x(t), y(t)) 称为是累加弦长 3 次参数样条曲线。该曲线在诸结点处的每个分量均达到 2 C 连续，即切线和曲率皆连续.注意，当人们采用参数 t 时，按上述参数 t 的取法可 知，x(t)与 y(t)对于 t 的导数值均不大，即符合小挠度的要求.利用通常 3 次样条 插值的算法可以分别求得 x(t)和 y(t). 若将累加弦长 3 此样条曲线方程写成向量形式，例如记 Pi−1 与 Pi 间的参数曲 线为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1 0 1 2 2 3 3 i i i i i i i P t = R t + R t + R t + R t t t − (2.3) 其中弦长 i Pi Pi l = −1 参数轴上结点的坐标 = = = i j t i l i i n 1 , 1,, , 而 ( ) , ( ) . i i 1 i 1 i i Pi P t − = P− P t = 要求在 Pi 处保证 1 阶和 2 阶向量连续，即要求 ( ) ( ) ( 0) ( 0) , 0 0 , i i i i i i P t P t M P t P t m − = + − = + (2.4) 其中 mi 与 Mi 为待求向量.类似于普通 3 此样条插值的计算方法，在 Pi 处的光滑连 接性可推出关系式 2(3 2 ), i i i mi 1 mi l M = − e − − − 2(3 2 ). i+1 i = − i+1 − mi − mi+1 l M e 从而得到如下连续性方程 ( ) 1, , 1. 2 3 , 1 1 1 = − − + + + = + + i n m m m e e i i i i i i i i i (2.5) 其中
1+D, ,e1=;P=P 也可得到关于M的连续性方程 HM1+2M1+1Mn1=6(e1-e)/(2+l1) (25)或(26中分别加上端点的两个条件后,即可求得诸M和m 在求出诸M和m后,介于与间的参数曲线方程为 P0)=-,0--)(-)1291- 其中 P-I P (28) m 0 0 3/123/2-2/1-1 29) 2/13-2/3121 l/11/1-1/3-16 B 1/611/6 而P表示P(x,y)的位置向量(=0,…,n) 从累加弦长3次参数曲线的表达式(27)(2.8)、(2,9)和(210)中不难发现,它们 仅仅依赖于诸型值点P的位置和弦长l这样一批几何量,而与坐标系的选择无
i i i i i i i i i i i i P P l e l l l l l l 1 1 1 1 1 , , − + + + = + = + = . 也可得到关于 M 的连续性方程 ( ) ( ) 1, , 1 2 6 , 1 1 1 1 = − − + + + = + − + + i n M M M e e l l i i i i i i i i i (2.6) (2.5)或(2.6)中分别加上端点的两个条件后，即可求得诸 M 和 m。 在求出诸 M 和 m 后，介于 与 间的参数曲线方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, , , 1, , , , , 1 3 2 1 0 3 1 2 1 1 i n P t t t t t t t t t t i i i i i i i i i i = = − − − − − − − (2.7) 其中 ( ) ( ) , (2.10) 0 0 1 6 1 6 0 0 1 2 0 1 1 3 6 1 0 0 0 , (2.9) 2 2 1 1 3 3 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 , (2.8) 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 3 2 ( ) 1 0 − − − − = − − − − = = = − − − − i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i l l l l l l B l l l l l l l l A M M P P B m m P P A 而 Pi 表示 ( ) i i i P x , y 的位置向量 (i = 0, , n). 从累加弦长 3 次参数曲线的表达式(2.7),(2.8),(2,9)和(2.10)中不难发现，它们 仅仅依赖于诸型值点 Pi 的位置和弦长 i l 这样一批几何量，而与坐标系的选择无
有关累加弦长3次参数曲线的进一步讨论此处不拟展开。 类似于本节中的讨论,请读者建立累加弦长2次参数曲线的插值算法(留 做习题)。 §3B6zier方法 n次 Bezier曲线定义为 Cu)=∑Bn()P,0≤u≤1 (3.1) 其中基函数组{Bn(叫)为n次 Bernstein多项式的基函数组 B.(u) (3.2) 而(31)中的几何系数{}称为控制点。注意在(31)中,u∈p 从 bezier曲线定义(31)可知,由它表示的曲线的形状只与{P}。(控制多 边形)的位置有关,而与坐标系的选取无关,即它具有几何不变性这是一条很 重要的性质 例1.当n=1时, Bezier曲线为 Cu=(1-u)Po+uP 它表明1次 Bezier曲线恰为以P和P为两端的直线段 例2.当n=2时, Bezier曲线为 Cu)=(1-a)2P+2(-a)P+u2P 他是一条从P到P2的抛物线(图31)
关。 有关累加弦长 3 次参数曲线的进一步讨论此处不拟展开。 类似于本节中的讨论，请读者建立累加弦长 2 次参数曲线的插值算法（留 做习题）。 §3.Bézier 方法 n 次 Bézier 曲线定义为 ( ) ( ) , 0 1. 0 = , = C u B u Pi u n i i n (3.1) 其中基函数组 Bi,n (u) 为 n 次 Bernstein 多项式的基函数组 ( ) ( ) i n i i n u u i n B u − − , = 1 . (3.2) 而(3.1)中的几何系数 Pi 称为控制点。注意在(3.1)中， u 0,1. 从 Bézier 曲线定义(3.1)可知，由它表示的曲线的形状只与 n Pi i=0 （控制多 边形）的位置有关，而与坐标系的选取无关，即它具有几何不变性.这是一条很 重要的性质. 例1． 当 n=1 时，Bézier 曲线为 ( ) ( ) C u = 1− u P0 + uP1 . 它表明 1 次 Bézier 曲线恰为以 P0 和 P1 为两端的一直线段. 例2． 当 n=2 时，Bézier 曲线为 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 C u = 1−u P + 2u 1−u P + u P . 他是一条从 P0 到 P2 的抛物线(图 3.1)
P2=C(1) 图3.1 图 由{,P,P2组成的多边形称为控制多边形P=C(0),P2=C(1.该曲线的端点 处的切向量分别平行于P-P和P-P不难看出这条曲线含于三角形PPP2中 例3.当n=3时, bezier曲线为图32,图3.3,图34) ()=(1-a)P+3(1-)P+3n2(-a)P2+3P 图3.3
由 P0 ,P1 ,P2 组成的多边形称为控制多边形. (0) P0 = C ， (1) P2 = C . 该曲线的端点 处的切向量分别平行于 P1 − P0 和 P2 − P1 .不难看出这条曲线含于三角形 P0P1P2 中. 例3． 当 n=3 时，Bézier 曲线为(图 3.2,图 3.3，图 3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 0 3 C u = 1−u P + 3u 1−u P + 3u 1−u P + u P