省级精品课程——材料力学 第二章轴向拉伸和压缩 §2.1轴向拉伸和压缩的概念及实例 工程结构中，承受轴向拉伸或压缩的杆件是很多的，例如组成起重机构架的 杆件，组成屋架的杆件等，如图2-1所示。上述结构在只承受结点载荷的情况下， 都可以简化为析架，各结点都可以简化为铰，各杆均可以简化为二力杆。这些杆 件的受力特点是外力的作用线与杆的轴线重合，其变形特点是沿轴线方向伸长或 宿短，横成面作对平行移动，如1一2所述。 (a) (b) 2- 本章主要研究轴向拉伸或压缩杆件的强度和刚度计算，并逐步介绍材料力学 的一些基本概念和基本方法。 2.2轴向拉（压）杆的内力 一、外力与内力的概念 对于我们的研究对象，例如一个物体或物体的一部分来说，其他物体或物 的其他部分对于研究对象的作用就是该对象的外力。例如研究屋架，屋面的重量 就是屋架的外力，又称载荷：屋架支座的反力也是层架的外力。若研究屋架中的 某一根杆，则屋架的其他部分对该杆的作用就是该杆的外力。在考虑构件的自重 时，自重也是该构件的外力 构件在外力作用下，由于它的各部分之间相对位置改变而引起的相互作用力 就是内力。因此内力与构件的变形密不可分，研究强度、刚度 稳定性问题必 研究内力。我们知道，即使不受外力作用构件的各部分之间仍然存在内力，以保 持为一个整体。我们不研究这种内力。构件在外力作用下的内力称为附加内力， 简称内力，材料力学就是研究附加内力。 由连续性假设知，内力是分布力，存在于受力构件的每一点处。 二、求内力的方法：截面法 由于内力是构件内部各部分之间的相互作用力，它总是成对出现。在投影方 程中，任何一对内力的投影总是等于零 为了研究内力，我们必须让它显示出来 并能将任一对内力中的一个分离出来，这就是所谓截面法，它是材料力学 一个 基本法。 8 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程 一材料力学 现以图2-2(a)为例说明截面法。该杆在A、B两端及C截面处共有三个外 力作用。现求C段中的一m截面上的内力。其步骤如下： 1.假想地用截面在mm处将杆切为两部 ,双 分： 2.选取其中任一部分作为研究对象，也 就是取分离体。图2-2(b)就是选取mm截 面以右的那一部分杆作为分离体。 卧 +x( 3.抛弃另一部分。被抛弃的部分对分离 体的作用以内力代替，如图2-2(b)所示 M 的内力N。稍加思考便可知，对于图2-2 →x(C) (b)的分离体来说， 已经是它的外力 日2x 了。我们通过以上工作，已经把杆在一” 截面上的内力转化为分离体上的外力，因 oP 而显示出来了。 4.建立分离体上力的平衡条件，确定未 图22 知的内力。ACB杆在三个外力作用下处于 平衡状态，它的任何一部分应处于平衡状态，故可对分离体应用力的平衡方 程，图2-2为共线力系，对分离体由ΣX=0得。 N-2P=0 N,=2P(拉) 综上所述，截面法的要点可归纳为以下五个字：切、取、代、平衡。截而法 的实质就是将内力转化为外力并显示出来，然后计算。 这个例子还说明，虽然内力是分布力，但用截面法求出的只是这个分布力的 合力，如图2-2(b)所示。因此，我们取分离体时，可以不用图2-2(b),而直 接采用图22(c)。以后，我们说某个截面上的内力，通常就是指该截面上分布 内力的合力。 由图2-2(b)或(c)看到，内力N,的作用线与杆的轴线重合。我们把轴向拉 (压)杆的内力称为轴力。 同理，可由截面法求得CB段中n截面上的内力心，=-P(压)，相应分离体 见图2-2(d)。 三、轴力符号 当分离体选择不同，或未知内力假定的方向不 同，所得到的内力可能有不同的符号为了统一，我 们规定按变形选取轴力的正负号，即在某截面附近 取一小段杆，若为拉伸变形，则该截面轴力N取正 取伤 图2-3 。变 形选取轴力 的符号正是内力与变形密不可分关系的反映。 四、轴力图 一般地说，不同的截面处轴力不同。也就是，轴力N是截面位置x的函数。 在N-x坐标系所描绘的函数图线就是轴力图，见图2-2()。轴力图形象地表示 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 了拉（压）杆的变形。图2-2(e)表示，该杆AC段为拉伸变形，拉力为2P;CB 段为压缩变形，压力为P。 例2-1：图示为上端悬挂的钢缆，已知钢缆的容重为Y,横截面积为A,长 为L。求钢缆的内力 A (0) (b) (d) 例2-1图 解：作用在缆绳上的外力是绳的自重和上端的约束反力，自重是沿杆长均匀分布 的外力。 用截面体求任意截面m的内力N,分离体见图(b),由分离体上力平衡条件得： N-YAx=0 N=YAx 因Y和A均为常量，故内力为N是x的线性函数。N的变化可用轴力图()来 表示。在截面法中，构件被设想截面切为两部分后，可选取其中的任一部分 作为分离体。木题也可选mm截面以上部分作为分离体，见图(c)。 §2.3轴向拉（压）杆横截面上的应力 、应力的概念 在相同材料的情况下，判断一根拉或压杆的危险程度，不仅要考虑其轴力的 大小，还要考虑该杆的粗细，也就是，应当考虑每单位截面上的轴力。如果内力 在截而上分布不均匀，则还要考虑内力在截面的每一点处分布的密集程度，由此 我们引入应力的概念。 为了表示构件的某个截面上任意一点C处的内力分布密集程度（简称集度）， 可围绕C A,设△A上内力的合力为 △P,则比值△P/△A称为 微面积△A上的平均应力。当△A→0时得△P/AA的极限值p: AP兰贵 (2-1) p称为C点处的总应力。为便于分析问题，我们把微面积△A上的内力△P 在C点的法线方向和切线方向分解，得法向分量△N和切向分量△T,见图2-5(a)。 同样道理得极限值。 公 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 。=一岩兴 (2-2) （2-3) 是和：分捌称为C点处的正应力和明应力，见图256.上述三种应力的关系 DG1r (2-4) 国25 离开截面的正应力称为拉应力，指向截面的正应力称为压应力。我们规定 正应力以拉取正号，以压取负号，见图2-6(a)。还规定，剪应力以其矢量有 0-580-s0 g1Ta回9 国2-6 绕截面内侧任一点作顺时针旋转的趋势取正号，反之取负号，见图2-6(b)。 应力的量纲是[力]/[长度].常用国际单位是N/m,称为帕，记作Pa。10N/m 10N/ 10°N/m分别称为千帕， 兆帕 ,吉怕、记作KPa、MPa、GPa 二、拉（压）杆横截面上的正应力 要确定拉（压）杆横截面上任意一点的应力，首先要弄清内力在该截面上的 分布规律。而力是不容易观察的，比较容易观察的是变形，因此我们可以通过观 察杆的变形规律来推测内力的分布规律。我们见到的弹簧称就是这方面的例子， 用弹簧称重实际上看到的是弹簧的变形，但表面上是将变形量换算成重量 实验研究拉（压）杆的变形 加力前在杆的表面上画横向线1-1和2-2，纵向线1-2,3-4,5-6，见图2 ()。加力后，横向线发生平移。由原米位置变到1·-1’和2·-2‘：纵向线 变形的程度都相同，变形后的横向线与 纵向线仍然垂直。根据材料的连续性和 均性，可由老及里推测截面上名甘 也发生了与横向线相同的位移， 即变形 后的横截面发生了平移，仍为垂直于轴 (b) 线的平面，这就是所谓平面假定。根据 图27 平面假定，拉（压）杆两横截面之间的 所有纵向线段的变形程度都相同，且与横截面垂直。 由变形规律推测应分布规律。 变形不 超过 定限度时，由变形与力的关系可知，使各纵向线段变形的内 力都相同，也就是横截面上的各点的应力都相同，进一步研究还表明，正应力σ This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省领精品课程 材料力学 与线段的伸长或缩短变形有关，剪应力π与直角的改变有关。纵向线段与横截面 间的直角不变。故横截面上没有剪应力，而只有正应力。。 由平衡条件确定应力的大小。 由截面法求出的内力实际上是横截面上内力的合力，因此有 N=∫adM=o∫dA=oA 所以 6= (2-5) 这就是拉（压）杆横截面上正应力计算公式，式中N是轴力，A是横截面积。 例2-2：计算例2-1中钢缆的最大正应力。已知Y=76.9KN/m,1=100m。 解：因为杆的横截面积A为常数，故最大正应力发生在轴力最大的横截面 即上端悬挂处的截面。由图2-4(d), N..=YAl §2-4轴向拉（压）杆斜截面上的应力 为了研究轴向拉（压）杆的各种破坏现象，必须弄清不同截面上的应力。研 究方法与上 节类似。见图2-8( 在杆的表面画平行斜线1 一些纵向线段，由表面变形推知内部变形，再由变形推知应力分布。前面己说过， 所有纵向线段的变形程度相同，因而可推知斜面上的各点的应力P,相同，见图 ( 图2-8 2-8(b)。再由平衡条件得到 N=P.Aa 这里A,为斜截面积，A=A/cos,代入上式得到 (2-6) 为便于应用，将总应力P分解为正应力o,和剪应力x,由图2-8(c)知， a=Pa cosa=o cosia (2-7) =P,sin a sin 2a (2-8) 公 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)