《高等代数与解析几何》课程教学大纲 Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程代码：170701011,170701012 课程性质：专业基础理论课/必修 学时：176学分：11 适用对象：信息与计算科学 先修课程：无 一、课程的性质和任务 根据培养方案中课程体系与培养要求的对应关系矩阵，该课程可以支撑能力要求第1、3 条以及素质要求第3条的达成。 《高等代数与解析几何》是信息与计算专业的必修基础课程之一，任务是让学生掌握必要 的高等代数学与空间解析几何基础，以及代数学的逻辑推理、思维方法，和一些特殊几何形体 (常见)的代数表现的特点。尤其是二次曲面。它把数学的两个基本对象一“形”与“数”有机地 联系起来，使得几何、代数和分析构成一个有机的整体，从而为数学的其它分支与几何学的互 相渗透、互相促进莫定了基础，对高等数学的发展起了巨大的推动作用。培养学生运用解析几 何的方法解决几何问题的能力，空间想象的能力和独立思维能力和解决实际问题能力。 二、教学目的与要求 本课程的教学目的是使学生掌捉代数学基本概念，系统的代数理论和抽象的严格的代数方 法，以加深对中学数学的理解，掌握空间几何课程的基本知识和内容，并为进一步学习后继数 学课程打下基础。 本课程的基本要求如下： (一)课堂讲授 本课程属基础理论课程，基本概念的理解和基本方法的掌握尤其重要，要求教师在讲述的 过程中尽量简明，教学语言要准确，生动，举例要准确。在教学中，要求同学重点掌握最基本 概念、最基本方法，要着重培养学生的理论分析、证明推导和实际进行各种运算的能力，在课 程内容方面既要保持理论的系统性，又要注意基本运算能力，并且重视分析问题方法的的培 养。 (二)课后复习和辅导 为了让学生理解好，加强学生的课后复习，安排和指导学生的辅导，以便学生能认真独立 的做作业。 (三)习题课 习题课以典型例题分析为主，并适当安排开阔思路及综合性的练习及讨论。原则上每章安 排1次习题课(2学时)。 2
22 《高等代数与解析几何》课程教学大纲 Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程代码：170701011， 170701012 课程性质：专业基础理论课/必修 学时：176 学分：11 适用对象：信息与计算科学 先修课程：无 一、 课程的性质和任务 根据培养方案中课程体系与培养要求的对应关系矩阵，该课程可以支撑能力要求第 1、3 条以及素质要求第 3 条的达成。 《高等代数与解析几何》是信息与计算专业的必修基础课程之一,任务是让学生掌握必要 的高等代数学与空间解析几何基础,以及代数学的逻辑推理、思维方法，和一些特殊几何形体 （常见）的代数表现的特点。尤其是二次曲面。它把数学的两个基本对象──“形”与“数”有机地 联系起来，使得几何、代数和分析构成一个有机的整体，从而为数学的其它分支与几何学的互 相渗透、互相促进奠定了基础，对高等数学的发展起了巨大的推动作用。培养学生运用解析几 何的方法解决几何问题的能力，空间想象的能力和独立思维能力和解决实际问题能力。 二、教学目的与要求 本课程的教学目的是使学生掌握代数学基本概念，系统的代数理论和抽象的严格的代数方 法，以加深对中学数学的理解，掌握空间几何课程的基本知识和内容，并为进一步学习后继数 学课程打下基础。 本课程的基本要求如下： (一)课堂讲授 本课程属基础理论课程，基本概念的理解和基本方法的掌握尤其重要，要求教师在讲述的 过程中尽量简明，教学语言要准确，生动，举例要准确。在教学中，要求同学重点掌握最基本 概念、最基本方法，要着重培养学生的理论分析、证明推导和实际进行各种运算的能力，在课 程内容方面既要保持理论的系统性，又要注意基本运算能力，并且重视分析问题方法的的培 养。 （二）课后复习和辅导 为了让学生理解好，加强学生的课后复习，安排和指导学生的辅导，以便学生能认真独立 的做作业。 （三）习题课 习题课以典型例题分析为主，并适当安排开阔思路及综合性的练习及讨论。原则上每章安 排 1 次习题课（2 学时）
(四)课外作业 课外作业的内容选择基于对基本理论的理解和巩周，培养综合计算和分析、判断能力以及 具体运算能力。 (五)考试 考试采用闭卷形式，试题包括基本概念，基本理论，基本方法，型可采用计算题和证明 总评成绩：课外作业，平时考勤，期中考试占30%：期末闭卷考试占70%。 三、教学内容 第一章向量代数 1.基本内容 向量的线性运算、向量的共线与共面、用坐标表示向量、线性相关性与线性方程组、维 向量空间、几何向量的内积、外积、混合积。 2.教学基本要求 ()理解矢量及与之有关诸概念并能在具体问题中区分那些是矢量，那些是数量。掌握矢量 的运算（矢量加（减）法)数与矢量乘法，两失的数性积，失性积，混合积，二重失性积等的 定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处。(3)理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与 空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行失量的运算方法。 (2)会用矢量法进行有关的几何证明问题。 3.教学重点与难点 重点：向量的内积、外积、混合积的坐标计算 难点：理解向量各种运算的几何意义。 4,教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二章行列式 1.基本内容 映射与变换、置换的奇偶性、矩阵、行列式的定义、行列式的性质、Laplace心展开 Cramer法则与矩阵乘法、矩阵的乘积与行列式、行列式的计算。 2.教学基本要求 掌握行列式的定义和行列式的性质，理解好Laplace展开定理和Cramer法则，熟悉矩阵的 乘积与行列式，熟练进行矩阵乘法和行列式计算。 3.教学重点与难点 重点：行列式定义和性质，Laplace展开定理和Cramer法则，矩阵乘法和行列式计算 难点：行列式计算 4.教学建议： 23
23 （四）课外作业 课外作业的内容选择基于对基本理论的理解和巩固，培养综合计算和分析、判断能力以及 具体运算能力。 （五）考试 考试采用闭卷形式，试题包括基本概念，基本理论，基本方法，题型可采用计算题和证明 题。 总评成绩：课外作业，平时考勤，期中考试占 30%；期末闭卷考试占 70%。 三、教学内容 第一章 向量代数 1．基本内容 向量的线性运算、向量的共线与共面、用坐标表示向量、线性相关性与线性方程组、n 维 向量空间、几何向量的内积、外积、混合积。 2．教学基本要求 (1)理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量。掌握矢量 的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两失的数性积，失性积，混合积，二重失性积等的 定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处。（3）理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与 空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行失量的运算方法。 （2）会用矢量法进行有关的几何证明问题。 3．教学重点与难点 重点：向量的内积、外积、混合积的坐标计算 难点；理解向量各种运算的几何意义。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二章 行列式 1．基本内容 映射与变换、置换的奇偶性、矩阵、行列式的定义、行列式的性质、Laplace 展开、 Cramer 法则与矩阵乘法、矩阵的乘积与行列式、行列式的计算。 2．教学基本要求 掌握行列式的定义和行列式的性质，理解好 Laplace 展开定理和 Cramer 法则，熟悉矩阵的 乘积与行列式，熟练进行矩阵乘法和行列式计算。 3．教学重点与难点 重点：行列式定义和性质，Laplace 展开定理和 Cramer 法则，矩阵乘法和行列式计算。 难点：行列式计算 4.教学建议：
采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第三章线性方程组和线性子空间 1.基本内容 Guss消元法、线性方程组的解、向量组的线性相关性、线性子空间、线性子空间的基和 维数、线性方程组解的结构。 2.教学基本要求 掌握线性子空间的概念，尤其是线性表示，线性组合，线性相关和线性无关概念。理解好 向量组秩的概念，熟悉线性方程组解的结构，利用矩阵运算解决有关线性方程组解的实际问 题。 3.教学重点与难点 重点：高等代数中最基本概念线性表示，线性组合，线性相关和线性无关，线性子空间 以及向量组秩，矩阵的行秩和列秩概念。 难点：利用这些概念证明问题的思路和方法，求矩阵秩的方法，求解线性方程组解的方 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第四章几何空间中的平面与直线 1,基本内容 几何空间中平面的仿射性质、度量性质、几何空间中直线的仿射性质、度量性质， 2.教学基本要求 掌握平面和直线的各种方程和性质，己及它们之间各种位置关系的解析表达式和距离、交角 等计算公式。 3.教学重点与难点 重点：掌握各种形式的直线方程和平面方程 难点：掌握点、直线、平面之间的度量关系的计算 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第五章矩阵的秩与矩阵的运算 1.基本内容 向量组的秩、矩阵的秩、线性方程组解的判断、线性映射及其矩阵、矩阵乘积的行列式与 矩阵的逆、矩阵的分块、初等矩阵。 2.教学基本要求 本章要求掌握矩阵运算的各种方法和矩阵分块运算方法，掌握矩阵相抵运算方法，将矩阵 与映射联系在一起。 3.教学重点与难点 24
24 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第三章 线性方程组和线性子空间 1．基本内容 Gauss 消元法、线性方程组的解、向量组的线性相关性、线性子空间、线性子空间的基和 维数、线性方程组解的结构。 2．教学基本要求 掌握线性子空间的概念，尤其是线性表示，线性组合，线性相关和线性无关概念。理解好 向量组秩的概念，熟悉线性方程组解的结构，利用矩阵运算解决有关线性方程组解的实际问 题。 3．教学重点与难点 重点：高等代数中最基本概念----线性表示，线性组合，线性相关和线性无关，线性子空间 以及向量组秩，矩阵的行秩和列秩概念。 难点：利用这些概念证明问题的思路和方法，求矩阵秩的方法，求解线性方程组解的方 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第四章 几何空间中的平面与直线 1．基本内容 几何空间中平面的仿射性质、度量性质、几何空间中直线的仿射性质、度量性质。 2．教学基本要求 掌握平面和直线的各种方程和性质,已及它们之间各种位置关系的解析表达式和距离、交角 等计算公式。 3．教学重点与难点 重点：掌握各种形式的直线方程和平面方程 难点：掌握点、直线、平面之间的度量关系的计算 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第五章 矩阵的秩与矩阵的运算 1．基本内容 向量组的秩、矩阵的秩、线性方程组解的判断、线性映射及其矩阵、矩阵乘积的行列式与 矩阵的逆、矩阵的分块、初等矩阵。 2．教学基本要求 本章要求掌握矩阵运算的各种方法和矩阵分块运算方法，掌握矩阵相抵运算方法，将矩阵 与映射联系在一起。 3．教学重点与难点
重点：矩阵的各种运算和矩阵的分块运算，利用矩阵相抵运算解决各种实际问趣。 难点：掌握分块矩阵的基本法则，方法，通过矩阵运的举例，掌握各种证明方法和运算方 法。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第六章线性空间与欧几里得空间 1.基本内容 线性空间、线性映射与同构、基变换与坐标变换、子空间的和与直和、欧几里得空间、标 准正交基、方阵的正交相似、欧几里得空间的线性变换、正定性与极分解。 2.教学基本要求 要求掌握线性空间中各种基本概念和基本性质，掌握线性映射定义和性质，熟悉线性空间 的基变换与坐标变换，掌握核子空间和值子空间的性质，掌握子空间的和与直和概念和性质以 及线性空间内积的定义和内积空间的基本性质，内积空间的标准正交基概念和性质，方阵的正 交相似概念和性质，欧几里得空间的线性变换性质，正定性与极分解的概念和性质。 3.教学重点与难点 重点：线性空间的概念和性质，线性映射与同构概念，将内积空间中线性无关基转化为标 准标准正交基的方法，方阵的正交相似方法以及方阵的对角化方法。 难点：基变换与坐标变换运算，子空间的和与直和，方阵的正交相似方法以及方阵的对角 化方法。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第七章几何空间的常见曲面 1.基本内容 (1)曲面有某种几何特点：柱面、锥面、旋转曲面：(2)曲面的方程有某种特点：二次 曲面（二次方程对应的曲面）。 2,教学基本要求 (1)掌捏柱面、锥面、旋转曲面方程的导出方法与过程：(2)能够利用二次曲面标准方 程的特点，研究二次曲面的特征：(3)掌握利用平行截割法作二次曲面及空间区域的图形， 提高空间想象能力：(4)掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性质。 4.敦学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第八章线性变换 1,基本内容 25
25 重点：矩阵的各种运算和矩阵的分块运算，利用矩阵相抵运算解决各种实际问题。 难点：掌握分块矩阵的基本法则，方法，通过矩阵运的举例，掌握各种证明方法和运算方 法。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第六章 线性空间与欧几里得空间 1．基本内容 线性空间、线性映射与同构、基变换与坐标变换、子空间的和与直和、欧几里得空间、标 准正交基、方阵的正交相似、欧几里得空间的线性变换、正定性与极分解。 2．教学基本要求 要求掌握线性空间中各种基本概念和基本性质，掌握线性映射定义和性质，熟悉线性空间 的基变换与坐标变换，掌握核子空间和值子空间的性质，掌握子空间的和与直和概念和性质以 及线性空间内积的定义和内积空间的基本性质，内积空间的标准正交基概念和性质，方阵的正 交相似概念和性质，欧几里得空间的线性变换性质，正定性与极分解的概念和性质。 3．教学重点与难点 重点：线性空间的概念和性质，线性映射与同构概念，将内积空间中线性无关基转化为标 准标准正交基的方法，方阵的正交相似方法以及方阵的对角化方法。 难点：基变换与坐标变换运算，子空间的和与直和，方阵的正交相似方法以及方阵的对角 化方法。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第七章 几何空间的常见曲面 1.基本内容 （1）曲面有某种几何特点：柱面、锥面、旋转曲面；（2）曲面的方程有某种特点：二次 曲面（二次方程对应的曲面）。 2.教学基本要求 （1）掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的导出方法与过程；（2）能够利用二次曲面标准方 程的特点，研究二次曲面的特征；（3）掌握利用平行截割法作二次曲面及空间区域的图形， 提高空间想象能力；（4）掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性质。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第八章 线性变换 1．基本内容
线性空间的基变换与坐标变换、线性变换的特征值与特征向量、可对角化线性变换、线性 变换的不变子空间 2.教学基本要求 理解线性变换、线性变换的矩阵以及线性变换的矩阵等概念，掌握特征值与特征向量的定 义、性质、和计算法，理解线性变换的值域与核的概念，掌握不变子空间的定义与性质，掌握 相似矩阵的概念和性质，以及相似对角化方法：5.理解Jordan标准形、最小多项式的概念与 性质。 3.教学重点与难点 重点：特征值与特征向量的性质与计算，矩阵的相似对角化。 难点：相似对角化，不变子空间。 4.敦学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第九章线性空间上的函数 1.基本内容 线性函数与双线性函数、对称双线性函数、二次型、对称变换及其典范形。 2.教学基本要求 要求理解和掌握二次型和二次型矩阵概念，对称方阵和交错方阵概念，对称方阵的相合运 算和实相合标准型，正定实对称方阵的概念和性质， 3.教学重点与难点 重点：将二次型化为标准型的方法，对称方阵的实相合标准型方法，正定实对称方阵的判 定和等价定理。 难点：交错方阵的相合方法以及线性函数与对偶空间性质。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十章坐标变换与点变换 1,基本内容 平面坐标变换、二次曲线方程的化简。 2.教学基本要求 掌握平面坐标变换公式及二次曲线方程的化简确定二次曲线的类型。 3.教学重点与难点 重点：平面坐标变换公式，二次曲线类型的化简及判断。 难点：二次曲线方程的化简。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 26
26 线性空间的基变换与坐标变换、线性变换的特征值与特征向量、可对角化线性变换、线性 变换的不变子空间 2．教学基本要求 理解线性变换、线性变换的矩阵以及线性变换的矩阵等概念，掌握特征值与特征向量的定 义、性质、和计算法，理解线性变换的值域与核的概念，掌握不变子空间的定义与性质，掌握 相似矩阵的概念和性质，以及相似对角化方法； 5. 理解 Jordan 标准形、最小多项式的概念与 性质。 3．教学重点与难点 重点：特征值与特征向量的性质与计算，矩阵的相似对角化。 难点：相似对角化，不变子空间。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第九章 线性空间上的函数 1．基本内容 线性函数与双线性函数、对称双线性函数、二次型、对称变换及其典范形。 2．教学基本要求 要求理解和掌握二次型和二次型矩阵概念，对称方阵和交错方阵概念，对称方阵的相合运 算和实相合标准型，正定实对称方阵的概念和性质。 3．教学重点与难点 重点：将二次型化为标准型的方法，对称方阵的实相合标准型方法，正定实对称方阵的判 定和等价定理。 难点：交错方阵的相合方法以及线性函数与对偶空间性质。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十章 坐标变换与点变换 1．基本内容 平面坐标变换、二次曲线方程的化简。 2．教学基本要求 掌握平面坐标变换公式及二次曲线方程的化简确定二次曲线的类型。 3．教学重点与难点 重点：平面坐标变换公式，二次曲线类型的化简及判断。 难点：二次曲线方程的化简 。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习