两类反常积分概念：无穷积分的性质与收敛判别：无穷积分的性质；比较判别法：狄利克 雷判别法与阿贝尔判别法：瑕积分的性质与收敛判别。 2.教学基本要求： 掌握反常积分收敛、绝对收敛、条件收敛概念，并能应用判别法判定反常积分的敛散性。 3.教学重点难点： 重点：无穷限积分概念，柯西准则。 难点：瑕积分收敛性判别法，无穷限积分收敛性判别法。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十二章数项级数 1基本内容： 级数的收敛性：正项级数：正项级数收敛性的一般判别原则：比较判别法与根式判别法： 积分判别法：拉贝判别法；一般项级数：交错级数：绝对收敛级数及其性质：阿贝而判别 法：狄立克雷判别法。 2,教学基本要求： (1)掌握级数收敛、绝对收敛与条件收敛的概念： (2)掌握级数收敛性的一些判别法，并熟练运用适当的判别法判定级数的收敛性： (3)了解绝对收敛级数的性质。 3.教学重点难点： 重点：掌握数项级数收敛定义，掌握数项级数敛散性判别法。掌握判别数项级数条件收敛 与绝对收敛的方法。 难点：掌握数项级数敛散性判别法 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十三章函数列与函数项级数 1,基本内容 一致收敛函数列及其一致收敛性：函数项级数及其一致收敛性：函数项级数的一致收敛性 判别法：一致收敛函数列与函数项级数的性质。 2教学基本要求： (1)深刻理解函数列与函数项级数的收敛性概念，特别是一致收敛概念。 (2)掌握函数项级数的优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。 (3)掌握连续函数列（连续函数项级数）的极限函数（和函数）在一致收敛条件下的连续 性、可积性与可微性。 (4)理解一致收敛性在推导极限函数（和函数）的性质中所起的本质作用，会运用一致收 >
7 两类反常积分概念；无穷积分的性质与收敛判别；无穷积分的性质；比较判别法；狄利克 雷判别法与阿贝尔判别法；瑕积分的性质与收敛判别。 2.教学基本要求： 掌握反常积分收敛、绝对收敛、条件收敛概念，并能应用判别法判定反常积分的敛散性。 3.教学重点难点： 重点: 无穷限积分概念，柯西准则。 难点: 瑕积分收敛性判别法，无穷限积分收敛性判别法。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十二章 数项级数 1.基本内容： 级数的收敛性；正项级数；正项级数收敛性的一般判别原则；比较判别法与根式判别法； 积分判别法；拉贝判别法；一般项级数； 交错级数；绝对收敛级数及其性质；阿贝而判别 法；狄立克雷判别法。 2.教学基本要求： （1）掌握级数收敛、绝对收敛与条件收敛的概念； （2）掌握级数收敛性的一些判别法，并熟练运用适当的判别法判定级数的收敛性； （3）了解绝对收敛级数的性质。 3.教学重点难点： 重点: 掌握数项级数收敛定义，掌握数项级数敛散性判别法。掌握判别数项级数条件收敛 与绝对收敛的方法。 难点: 掌握数项级数敛散性判别法 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十三章 函数列与函数项级数 1.基本内容： 一致收敛函数列及其一致收敛性；函数项级数及其一致收敛性；函数项级数的一致收敛性 判别法；一致收敛函数列与函数项级数的性质。 2.教学基本要求： （1）深刻理解函数列与函数项级数的收敛性概念，特别是一致收敛概念。 （2）掌握函数项级数的优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。 （3）掌握连续函数列（连续函数项级数）的极限函数（和函数）在一致收敛条件下的连续 性、可积性与可微性。 （4）理解一致收敛性在推导极限函数（和函数）的性质中所起的本质作用，会运用一致收
敛函数项级数的逐项可微和可积性求级数的和。 3.教学重点难点： 重点：理解一致收敛概念，证明函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分定理，证明 函数项级数的简单理论问题。 难点：掌握一致收敛概念及一致收敛判别法。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十四章那级数 1基本内容： 幂级数：幂级数的收敛区间：幂级数的性质、运算：函数的幂级数展开：泰勒级数：初等 函数的幂级数展开式。 2教学基本要求： (1)掌握幂级数收敛区间的概念和收敛半径的求法。 (2)理解幂级数在其收敛区间内的一致收敛性，逐项可积与逐项可微性，能应用这些性质 对有关问题进行证明或计算，熟悉幂级数的四则运算。 (3)掌握函数在一点的泰勒展开的概念和公式，必要条件和充分条件：掌握求函数的泰勒 展开式的基本方法。 3教学重点难点： 重点：掌握幂级数在收敛区间上的性质，会初等函数的泰勒展开。 难点：掌握初等函数的泰勒展开。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十五章傅里叶级数 1基本内容： 傅里叶级数：三角级数：正交函数系：周期的函数的傅里叶级数：收敛定理：周期的函数 的展开式：周期的函数的傅里叶级数：偶函数与奇函数的傅里叶级数：收敛定理的证明。 2.教学基本要求： (1)掌握傅里叶级数，傅里叶系数的概念以及计算公式。 (2)熟悉傅里叶级数收敛定理，并能应用它来判断傅里叶级数的收敛性。 (3)能熟练地将函数展开为傅里叶级数（特别是展开成正弦级数和余弦级数）。 3教学重点难点： 重点：按段光滑以2π为周期的函数的傅立叶级数展开，按段光滑以2L为周期的函数的傅 立叶级数展开。 难点：掌握贝塞尔不等式，黎曼一勒贝格定理。 8
8 敛函数项级数的逐项可微和可积性求级数的和。 3.教学重点难点： 重点：理解一致收敛概念，证明函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分定理，证明 函数项级数的简单理论问题。 难点：掌握一致收敛概念及一致收敛判别法。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十四章 幂级数 1.基本内容： 幂级数；幂级数的收敛区间；幂级数的性质、运算；函数的幂级数展开；泰勒级数；初等 函数的幂级数展开式。 2.教学基本要求： （1）掌握幂级数收敛区间的概念和收敛半径的求法。 （2）理解幂级数在其收敛区间内的一致收敛性，逐项可积与逐项可微性，能应用这些性质 对有关问题进行证明或计算，熟悉幂级数的四则运算。 （3）掌握函数在一点的泰勒展开的概念和公式，必要条件和充分条件；掌握求函数的泰勒 展开式的基本方法。 3.教学重点难点： 重点: 掌握幂级数在收敛区间上的性质，会初等函数的泰勒展开。 难点: 掌握初等函数的泰勒展开。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十五章 傅里叶级数 1.基本内容： 傅里叶级数；三角级数；正交函数系；周期的函数的傅里叶级数；收敛定理；周期的函数 的展开式；周期的函数的傅里叶级数；偶函数与奇函数的傅里叶级数；收敛定理的证明。 2.教学基本要求： （1）掌握傅里叶级数，傅里叶系数的概念以及计算公式。 （2）熟悉傅里叶级数收敛定理，并能应用它来判断傅里叶级数的收敛性。 （3）能熟练地将函数展开为傅里叶级数（特别是展开成正弦级数和余弦级数）。 3.教学重点难点： 重点: 按段光滑以 2π 为周期的函数的傅立叶级数展开，按段光滑以 2L 为周期的函数的傅 立叶级数展开。 难点: 掌握贝塞尔不等式，黎曼—勒贝格定理
4.敦学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十六章多元函数的极限与连续 1基本内容： 平面点集：完备性定理：二元函数：n元函数：二元函数的极限：二元函数的极限：累次 极限：二元函数的连续性：二元函数连续性的概念：有界闭域上连续函数的性质。 2教学基本要求： (1)掌握平面点集和多元函数的有关概念。 (2)理解二重极限与累次极限之间的区别和联系。 (3)深刻理解二元函数的连续性，熟悉有界闭区域上连续函数的性质。 3.教学重点难点： 重点：掌握二元函数极限的定义、二元连续函数的性质，掌握闭矩形套定理与有限覆盖定 理，弄清二重极限与累次极限的区别及联系，，理解有界闭区域上连续函数的有界性、最值 性、介值性和一致连续性。 难点：计算二元函数极限，求二元函数的不连续点，运用二元连续函数的性质证题。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十七章多元函数微分学 1.基本内容 可微性与全微分：偏导数：可微性条件：可微性几何意义及其应用：复合函数的求导法 则：复合函数的全微分：方向导数与梯度：泰勒公式与极值问题：高阶偏导数：中值定理和泰 勒公式：极值问题。 2.教学基本要求： (1)理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念，理解偏导数与全微分的几何意 (2)熟练计算多元函数偏导数和全微分。 (3)弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系。 (4)记住混合偏导数与求导顺序无关的条件。 (5)理解二元函数泰勒公式的意义，能求简单的二元函数的泰勒展开式。 (6)会求二元函数的极值。 3.教学重点难点： 重点：理解全微分的意义，熟练计算偏导数和高阶偏导数，理解二元函数泰勒公式的意 义，会求空间曲线的切线方程与法平面方程和空间曲面的切平面方程与法线方程，会求二元函 数的极值和最大（小）值。 9
9 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十六章 多元函数的极限与连续 1.基本内容： 平面点集；完备性定理；二元函数；n 元函数；二元函数的极限； 二元函数的极限；累次 极限；二元函数的连续性； 二元函数连续性的概念；有界闭域上连续函数的性质。 2.教学基本要求： （1）掌握平面点集和多元函数的有关概念。 （2）理解二重极限与累次极限之间的区别和联系。 （3）深刻理解二元函数的连续性，熟悉有界闭区域上连续函数的性质。 3.教学重点难点： 重点: 掌握二元函数极限的定义、二元连续函数的性质，掌握闭矩形套定理与有限覆盖定 理，弄清二重极限与累次极限的区别及联系，，理解有界闭区域上连续函数的有界性、最值 性、介值性和一致连续性。 难点: 计算二元函数极限，求二元函数的不连续点，运用二元连续函数的性质证题。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十七章 多元函数微分学 1.基本内容： 可微性与全微分；偏导数；可微性条件；可微性几何意义及其应用；复合函数的求导法 则；复合函数的全微分；方向导数与梯度；泰勒公式与极值问题；高阶偏导数；中值定理和泰 勒公式；极值问题。 2.教学基本要求： （1）理解并掌握偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念，理解偏导数与全微分的几何意 义。 （2）熟练计算多元函数偏导数和全微分。 （3）弄清多元函数的偏导数存在、可微、连续三者之间的关系。 （4）记住混合偏导数与求导顺序无关的条件。 （5）理解二元函数泰勒公式的意义，能求简单的二元函数的泰勒展开式。 （6）会求二元函数的极值。 3.教学重点难点： 重点: 理解全微分的意义，熟练计算偏导数和高阶偏导数，理解二元函数泰勒公式的意 义，会求空间曲线的切线方程与法平面方程和空间曲面的切平面方程与法线方程，会求二元函 数的极值和最大（小）值
难点：理解方向导数与梯度意义，掌握二元函数的泰勒定理，证明极值的充分条件。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十八章隐函数定理及其应用 1蕃本内容 理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论：会求空间曲线 的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线：会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。 2教学基本要求： (1)理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论。 (2)会求空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。 (3)会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。 3教学重点难点： 重点：掌握隐函数（隐函数组）的概念，会用隐函数（隐函数组）存在定理判别隐函数（隐 函数组)的存在性和计算隐函数（隐函数组）的导数（或偏导数）。 难点：掌握隐函数（隐函数组）的概念。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十九章含参量积分 1基本内容 含参量正常积分：含参量反常积分：一致收敛及其判别法：含参量反常积分的性质：欧拉 积分：函数与函数之间的关系。 2.教学基本要求： (1)弄清含参量非正常积分的一致收敛性的定义，熟悉判别含参量非正常积分一致收敛 性的基本方法。 (2)掌握含参量非正常积分的连续性、可积性和可微性定理及其应用 (3)了解函数与B函数概念和他们间的联系。 3.敦学重点难点： 重点：掌握含参量广义积分的收敛与一致收敛的概念和分析性质，熟练地判断一些含参量 广义积分的一致收敛性。 难点：掌握含参量广义积分一致收敛的概念和分析性质，运用「函数与B函数解题。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二十章曲线积分 1.基本内容 10
10 难点: 理解方向导数与梯度意义，掌握二元函数的泰勒定理，证明极值的充分条件。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十八章 隐函数定理及其应用 1.基本内容： 理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论；会求空间曲线 的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线；会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。 2.教学基本要求： （1）理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论。 （2）会求空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。 （3）会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。 3.教学重点难点： 重点: 掌握隐函数（隐函数组）的概念，会用隐函数（隐函数组）存在定理判别隐函数（隐 函数组）的存在性和计算隐函数（隐函数组）的导数（或偏导数）。 难点: 掌握隐函数（隐函数组）的概念。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十九章 含参量积分 1.基本内容： 含参量正常积分；含参量反常积分；一致收敛及其判别法；含参量反常积分的性质；欧拉 积分；函数与 函数之间的关系。 2.教学基本要求： （1）弄清含参量非正常积分的一致收敛性的定义，熟悉判别含参量非正常积分一致收敛 性的基本方法。 （2）掌握含参量非正常积分的连续性、可积性和可微性定理及其应用。 （3）了解 函数与 B 函数概念和他们间的联系。 3.教学重点难点： 重点: 掌握含参量广义积分的收敛与一致收敛的概念和分析性质，熟练地判断一些含参量 广义积分的一致收敛性。 难点: 掌握含参量广义积分一致收敛的概念和分析性质，运用 Γ 函数与 β 函数解题。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二十章 曲线积分 1.基本内容：
第一型曲线积分：第一型曲线积分的定义、计算：第二型曲线积分：第二型曲线积分的定 义、计算：两类曲线积分的联系。 2教学基本要求： (1)掌握第一型、第二型曲线积分的概念和计算方法。 (2)了解两类曲线积分的关系。 3教学重点难点： 重点：掌握第一型和第二型曲线积分的概念与计算，理解第一型曲线积分与第二型曲线积 分二者之间形式上的转化关系。 难点：曲线的方向在积分中的运用。 4.敦学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二十一章重积分 1基本内容： 二重积分：平面图形的面积：二重积分的概念及其存在性：二重积分的性质：二重积分的 计算：直角坐标系下二重积分的计算：极坐标下二重积分的计算：二重积分的变量变换：格林 公式、曲线积分与路径无关：三重积分的概念：三重积分的计算：三重积分换元法：曲面的面 积：重心：转动惯量：引力 2教学基本要求： (1)掌握二重积分与三重积分的定义和性质。 (2)能够熟练应用累次积分法计算二重积分与三重积分，并能根据积分区域和被积函数的 特征进行适当的换元，特别是二重积分的极坐标变换，三重积分的柱面坐标变换和球面 变换。 (3)掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及曲线积分与路线无关的条件和它们的应 用。 (4)熟悉重积分在几何方面的应用。 3教学重点难点： 重点：应用紫次积分法计算重积分，能根据积分区域和被积函数的特征进行适当的变量替 换，掌握极坐标变换、柱面坐标替换和球面坐标替换。掌握格林公式的内容，并能应用它计算 一些简单的曲线积分。 难点：利用极坐标变换、柱面坐标替换和球面坐标替换计算重积分。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二十二章曲面积分 1基本内容
11 第一型曲线积分；第一型曲线积分的定义、计算；第二型曲线积分；第二型曲线积分的定 义、计算；两类曲线积分的联系。 2.教学基本要求： （1）掌握第一型、第二型曲线积分的概念和计算方法。 （2）了解两类曲线积分的关系。 3.教学重点难点： 重点: 掌握第一型和第二型曲线积分的概念与计算，理解第一型曲线积分与第二型曲线积 分二者之间形式上的转化关系。 难点: 曲线的方向在积分中的运用。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二十一章 重积分 1.基本内容： 二重积分；平面图形的面积；二重积分的概念及其存在性；二重积分的性质；二重积分的 计算；直角坐标系下二重积分的计算；极坐标下二重积分的计算；二重积分的变量变换；格林 公式、曲线积分与路径无关；三重积分的概念；三重积分的计算；三重积分换元法；曲面的面 积；重心；转动惯量；引力 2.教学基本要求： （1）掌握二重积分与三重积分的定义和性质。 （2）能够熟练应用累次积分法计算二重积分与三重积分，并能根据积分区域和被积函数的 特征进行适当的换元，特别是二重积分的极坐标变换，三重积分的柱面坐标变换和球面 变换。 （3）掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及曲线积分与路线无关的条件和它们的应 用。 （4）熟悉重积分在几何方面的应用。 3.教学重点难点： 重点: 应用累次积分法计算重积分，能根据积分区域和被积函数的特征进行适当的变量替 换，掌握极坐标变换、柱面坐标替换和球面坐标替换。掌握格林公式的内容，并能应用它计算 一些简单的曲线积分。 难点: 利用极坐标变换、柱面坐标替换和球面坐标替换计算重积分。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二十二章 曲面积分 1.基本内容：