通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想 和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分 析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。 整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和 多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。 二、教学目的与要求 1.使学生正确理解数学分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法，掌握数学 分析中的分析、推理、论证和基本应用方法，提高抽象思维和逻辑推理的专业素质，获得较熟 练的演算技能、证明推导和初步应用的能力，为进一步学习其它学科（数值分析、微分方程、 复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函数分析等后继课程)打下基础： 2使学生获得实数理论，极限论，一元函数微积分，无穷级数和多元函数微积分学等到方 面的系统知识和体系结构，深刻认识极限的思想和方法，弄清不变与变，有限和无限，特殊与 一般的内在关系： 3.使学生对中学数学中的有关内容有深刻的了解，以较高的观点分析和处理好这些内容。 三、敦学内容 第一章实数集与函数 1,基本内容： 实数、区间与邻域：有界集，确界与确界原理：函数概念，函数的表示法，函数的四则运 算，复合函数，反函数，初等函数：具有某些特性的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶 函数，周期函数。 2.教学基本要求： (1)掌握有关实数绝对值的性质与运算： (2)深刻理解确界概念与确界原理，并能运用有关命题进行运算与证明： (3)深刻理解函数概念，进一步了解函数概念，进一步了解函数的几种表示法和几种具有 某些特性的函数。 3。教学重点难点： (1)重点：绝对值不等式的解法与证明，函数的各种性态，有界集，确界原理的概念。 (2)难点：确界原理。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二章数列极限 1.基本内容 数列，数列极限的N定义，无穷小数列：收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性 不等式性质、迫敛性、四则运算法则)，子列：数列极限的单调有界定理，柯西收敛准则
2 通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论、习题课、作业、辅导等），使学生对极限思想 和方法有较深的认识和理解，从而有助于培养学生辩证唯物主义基本观点及正确理解《数学分 析》的基本概念和论证方法及分析问题和解决问题的能力。 整个课程注重培养学生的数学逻辑及思想方法，训练学生举一反三的能力，在单元函数和 多元函数相平行的内容以单元函数为主，引导学生通过独立思考得到多元函数的相应结论。 二、教学目的与要求 1.使学生正确理解数学分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法，掌握数学 分析中的分析、推理、论证和基本应用方法，提高抽象思维和逻辑推理的专业素质，获得较熟 练的演算技能、证明推导和初步应用的能力，为进一步学习其它学科（数值分析、微分方程、 复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函数分析等后继课程）打下基础； 2.使学生获得实数理论，极限论，一元函数微积分，无穷级数和多元函数微积分学等到方 面的系统知识和体系结构，深刻认识极限的思想和方法，弄清不变与变，有限和无限，特殊与 一般的内在关系； 3.使学生对中学数学中的有关内容有深刻的了解，以较高的观点分析和处理好这些内容。 三、教学内容 第一章 实数集与函数 1． 基本内容： 实数、区间与邻域；有界集，确界与确界原理；函数概念，函数的表示法，函数的四则运 算，复合函数, 反函数，初等函数；具有某些特性的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶 函数，周期函数。 2． 教学基本要求： （1）掌握有关实数绝对值的性质与运算； （2）深刻理解确界概念与确界原理，并能运用有关命题进行运算与证明； （3）深刻理解函数概念，进一步了解函数概念，进一步了解函数的几种表示法和几种具有 某些特性的函数。 3． 教学重点难点： （1）重点：绝对值不等式的解法与证明，函数的各种性态，有界集，确界原理的概念。 （2）难点：确界原理。 4． 教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第二章 数列极限 1.基本内容： 数列，数列极限的 ε-N 定义，无穷小数列；收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、 不等式性质、迫敛性、四则运算法则），子列；数列极限的单调有界定理，柯西收敛准则
2.敦学基本要求： (1)正确理解数列极限的cN定义并用它证明给定的数列极限： (2)掌握数列极限的性质，并能运用它证明或计算给定的数列极限： (3)掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件判断或证明数列极限的 存在性： (4)熟练掌握重要极根，并能运用它来计算某些数列极限 3教学重点难点： (1)重点：数列极限的定义，数列极限的计算，迫敛性定理，单调有界定理，数列极限的柯 西收敛准则，用子列刻划数列的收敛性。 (2)难点：数列极限的柯西收敛准则。 4.敦学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第三章函数极限 1基本内容 函数极限的概念：X趋于无穷大时函数的极限：X趋于某一定数时函数的极限：函数极 限的性质：函数极限存在的条件：两个重要极限：无穷小量与无穷大量，阶的比较无穷小量， 无穷小量阶的比较，无穷大量。 2.教学基本要求： (1)深刻理解各类函数极限的定义并能按定义验证给定的函数极限 (2)掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限。 (3)掌握函数极限的归结原则、柯西准则，并学会运用上述原则和定理。 (4)熟练掌握两个重要极限并用来计算有关函数极限。 (5)掌握各种类型的无穷小量与无穷大量的定义及基本性质以及阶的比较。 3教学重点难点： 重点：准确理解函数极限的“一8”定义和一A“定义，会运用函数的极限性质以及两个重 要极限来计算函数极限。 难点：函数极限的e一8”定义和海涅定理 4.敦学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第四章函数的连续性 1基本内容： 连续性的概念：函数在一点的连续性：间断点及其分类：区间上的连续函数：连续函数的 性质：连续函数的局部性质：闭区间上连续函数的基本性质：反函数的连续性：一致连续性： 初等函数的连续性具有实指数的乘幂，指数函数的连续性，初等函数的连续性。 3
3 2.教学基本要求： （1）正确理解数列极限的 ε-N 定义并用它证明给定的数列极限； （2）掌握数列极限的性质，并能运用它证明或计算给定的数列极限； （3）掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件判断或证明数列极限的 存在性； （4）熟练掌握重要极根，并能运用它来计算某些数列极限。 3.教学重点难点： （1）重点：数列极限的定义，数列极限的计算，迫敛性定理, 单调有界定理, 数列极限的柯 西收敛准则，用子列刻划数列的收敛性。 （2）难点： 数列极限的柯西收敛准则。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第三章 函数极限 1.基本内容 函数极限的概念；X 趋于无穷大时函数的极限；X 趋于某一定数时函数的极限；函数极 限的性质；函数极限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量，阶的比较无穷小量， 无穷小量阶的比较，无穷大量。 2.教学基本要求： （1）深刻理解各类函数极限的定义并能按定义验证给定的函数极限。 （2）掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限。 （3）掌握函数极限的归结原则、柯西准则，并学会运用上述原则和定理。 （4）熟练掌握两个重要极限并用来计算有关函数极限。 （5）掌握各种类型的无穷小量与无穷大量的定义及基本性质以及阶的比较。 3.教学重点难点： 重点: 准确理解函数极限的“ε－δ”定义和“ε－A”定义，会运用函数的极限性质以及两个重 要极限来计算函数极限。 难点: 函数极限的“ε －δ”定义和海涅定理。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第四章 函数的连续性 1.基本内容： 连续性的概念；函数在一点的连续性；间断点及其分类；区间上的连续函数；连续函数的 性质；连续函数的局部性质；闭区间上连续函数的基本性质；反函数的连续性；一致连续性； 初等函数的连续性；具有实指数的乘幂;指数函数的连续性;初等函数的连续性
2教学基本要求： (1)牢固掌握函数在一点处连续的定义的二种形式。 (2)深刻理解单侧连续的定义及间断点的概念及其分类。 (3)深刻理解“一致连续”的概念，理解连续”是微观概念：“一致连续"”是宏观概念：掌握 闭区间上连续函数的基本性质。 (4)掌握一般连续的逻辑非命是非命题及其在具体问题中的应用。 (5)了解初等函数在其定义域内的连续性。 (6)了解初等函数在其定义域内的连续性。 3教学重点难点： 重点：准确理解连续性定义、间断点及其分类，会用区间上的连续函数性质证题。 难点：间断点及其分类，用闭区间上连续函数的性质证题。 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第五章导数与微分 1基本内容： 导数的定义，单侧导数，导数和几何意义，导函数：求导法则，基本求导公式和初等函数 的导数：微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性：微分在近似 计算和误差估计中的应用：高阶导数与高阶微分：由对数方程所确定的函数的导数：导数的经 济学意义，边际、弹性概念 2.教学基本要求： (1)深刻理解和掌握导数，微分的概念，熟记基本求导公式： (2)掌握求导和微分法则，能熟练计算初等函数的各阶导数和微分： (3)理解导数在几何、物理、经济上意义。 3.教学重点难点： 重点：理解导数定义和性质，熟练地计算初等函数的导数。 难点：高阶导数的计算。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第六章微分中值定理及其应用 1基本内容： 费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理：不定式极限；泰勒公式。 2.教学基本要求： ()掌握中值定理与泰勒公式： (2)理解中值定理的几何意义，运用中值定理证明一些命题： 4
4 2.教学基本要求： （1）牢固掌握函数在一点处连续的定义的二种形式。 （2）深刻理解单侧连续的定义及间断点的概念及其分类。 （3）深刻理解“一致连续”的概念，理解“连续”是微观概念；“一致连续”是宏观概念；掌握 闭区间上连续函数的基本性质。 （4）掌握一般连续的逻辑非命是非命题及其在具体问题中的应用。 （5）了解初等函数在其定义域内的连续性。 （6）了解初等函数在其定义域内的连续性。 3.教学重点难点： 重点: 准确理解连续性定义、间断点及其分类，会用区间上的连续函数性质证题。 难点: 间断点及其分类，用闭区间上连续函数的性质证题。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第五章 导数与微分 1.基本内容： 导数的定义，单侧导数，导数和几何意义，导函数；求导法则，基本求导公式和初等函数 的导数；微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性；微分在近似 计算和误差估计中的应用；高阶导数与高阶微分；由对数方程所确定的函数的导数；导数的经 济学意义，边际、弹性概念。 2.教学基本要求： (1)深刻理解和掌握导数，微分的概念，熟记基本求导公式； (2)掌握求导和微分法则，能熟练计算初等函数的各阶导数和微分； (3)理解导数在几何、物理、经济上意义。 3.教学重点难点： 重点: 理解导数定义和性质，熟练地计算初等函数的导数。 难点: 高阶导数的计算。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第六章 微分中值定理及其应用 1.基本内容： 费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；不定式极限；泰勒公式。 2.教学基本要求： (1)掌握中值定理与泰勒公式； (2)理解中值定理的几何意义，运用中值定理证明一些命题；
(3)熟练地利用罗比塔法则求不定式极限。 3教学重点难点： 重点：理解洛尔定理、拉格朗日定理和柯西定理、泰勒定理，应用洛毕达法则计算待定型 极限，应用导数研究函数状态。 难点：中值定理、泰勒定理和洛毕达法剿的证明 4教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第七章实数的完备性 1基本内容： 关于实数集完备性的基本定理：区间套定理与柯西收敛准则：聚点定理与有限覆盖定 理：实数完备性定理的等价性：闭区间上连续函数性质的证明：上极限和下极限 2,教学基本要求： (1)熟悉实数的基本定理及了解它们的等价性，学习应用它们去证明其它命题的方法。 (2)掌握闭区间上连续函数的性质和有关命题的证明技巧。 3,教学重点难点： 重点：理解实数连续性的几个定理，并能应用它们证明一些理论问题。 难点：理解确界定理、有限覆盖定理、聚点定理。 4.教学建议： 无 第八章不定积分 1基本内容： 不定积分概念与基本积分公式：原函数与不定积分：基本积分表：换元积分法与分部积分 法：换元积分法：分部积分法：有理函数和可化为有理函数的不定积分：有理函数的不定积 分：三角函数有理式的不定积分：某些无理根式的不定积分。 2.教学基本要求： (1)深刻理解原函数与不定积分的概念和性质 (2)熟练应用换元积分法、分部积分法以及有理函数、三角函数有理式的积分法求不定积 分. 3.教学重点难点： 重点：不定积分的计算。 难点：用变量替换法和分部积分法计算各类函数的不定积分，求有理函数的不定积分。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习 第九章定积分
5 (3)熟练地利用罗比塔法则求不定式极限。 3.教学重点难点： 重点: 理解洛尔定理、拉格朗日定理和柯西定理、泰勒定理，应用洛毕达法则计算待定型 极限，应用导数研究函数状态。 难点: 中值定理、泰勒定理和洛毕达法则的证明。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第七章 实数的完备性 1.基本内容： 关于实数集完备性的基本定理； 区间套定理与柯西收敛准则；聚点定理与有限覆盖定 理；实数完备性定理的等价性；闭区间上连续函数性质的证明；上极限和下极限 2.教学基本要求： （1）熟悉实数的基本定理及了解它们的等价性，学习应用它们去证明其它命题的方法。 （2）掌握闭区间上连续函数的性质和有关命题的证明技巧。 3.教学重点难点： 重点: 理解实数连续性的几个定理，并能应用它们证明一些理论问题。 难点: 理解确界定理、有限覆盖定理、聚点定理。 4.教学建议： 无 第八章 不定积分 1.基本内容： 不定积分概念与基本积分公式；原函数与不定积分；基本积分表；换元积分法与分部积分 法；换元积分法；分部积分法；有理函数和可化为有理函数的不定积分；有理函数的不定积 分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分。 2.教学基本要求： （1）深刻理解原函数与不定积分的概念和性质。 （2）熟练应用换元积分法、分部积分法以及有理函数、三角函数有理式的积分法求不定积 分。 3.教学重点难点： 重点: 不定积分的计算。 难点: 用变量替换法和分部积分法计算各类函数的不定积分，求有理函数的不定积分。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第九章 定积分
1基本内容： 定积分概念：牛顿一莱布尼茨公式：可积条件：可积的必要条件：可积的充要条件：可 积函数类：定积分的性质：定积分的基本性质：积分中值定理：微积分基本定理、定积分计 算：变限积分与原函数的存在性：换元积分法与分部积分法：泰勒公式的积分型余项， 2.教学基本要求： (1)深刻理解定积分概念，深入领会可积的必要条件、充要条件、充分条件以及上、下和 的概念及其性质：初步掌握判断函数是否可积的基本方法： (2)熟悉定积分性质，并能应用这些性质证明其它命题。 (3)掌握变限定积分函数表示形式下的分析论证与运用能力。 (4)熟练应用牛 莱公式及其它计算定积分的技巧。 3敦学重点难点： 重点：掌握函数可积的充要条件，证明三类函数的可积性，应用定积分的性质与微积分学 基本定理证明一些简单的理论问恩，熟练地应用换元积分法、分部积分法、牛一莱公式计算 定积分。 难点：掌握函数可积的充要条件，应用定积分的性质与微积分学基本定理证明一些理论 问题。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习 第十章定积分的应用 1基本内容： 平面图形的面积：由平行截面面积求体积：平面曲线的弧长与曲率：平面曲线的弧长：旋 转曲面的面积：微元法：旋转曲面的面积：定积分在物理中的某些应用：液体静压力：引力： 功与平均功率：定积分的近似计算：梯形法：抛物线法。 2教学基本要求： (1)熟悉上述定积分在几何、物理方面的应用公式及其基本思想。 (2)掌握上述基本公式在各种坐标系下的变形。 3.敦学重点难点： 重点：理解微元法的意义，掌握平面图形面积、曲线的弧长与弧微分、已知截面面积函数 的立体体积的计算公式。 难点：理解微元法、弧微分概念。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十一章反常积分 1基本内容
6 1.基本内容： 定积分概念；牛顿——莱布尼茨公式；可积条件；可积的必要条件；可积的充要条件；可 积函数类；定积分的性质；定积分的基本性质；积分中值定理；微积分基本定理、定积分计 算；变限积分与原函数的存在性；换元积分法与分部积分法；泰勒公式的积分型余项。 2.教学基本要求： （1）深刻理解定积分概念，深入领会可积的必要条件、充要条件、充分条件以及上、下和 的概念及其性质；初步掌握判断函数是否可积的基本方法； （2）熟悉定积分性质，并能应用这些性质证明其它命题。 （3）掌握变限定积分函数表示形式下的分析论证与运用能力。 （4）熟练应用牛——莱公式及其它计算定积分的技巧。 3.教学重点难点： 重点: 掌握函数可积的充要条件，证明三类函数的可积性，应用定积分的性质与微积分学 基本定理证明一些简单的理论问题，熟练地应用换元积分法、分部积分法、牛—莱公式计算 定积分。 难点: 掌握函数可积的充要条件，应用定积分的性质与微积分学基本定理证明一些理论 问题。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十章 定积分的应用 1.基本内容： 平面图形的面积；由平行截面面积求体积；平面曲线的弧长与曲率；平面曲线的弧长；旋 转曲面的面积；微元法；旋转曲面的面积；定积分在物理中的某些应用；液体静压力；引力； 功与平均功率；定积分的近似计算；梯形法；抛物线法。 2.教学基本要求： （1）熟悉上述定积分在几何、物理方面的应用公式及其基本思想。 （2）掌握上述基本公式在各种坐标系下的变形。 3.教学重点难点： 重点: 理解微元法的意义，掌握平面图形面积、曲线的弧长与弧微分、已知截面面积函数 的立体体积的计算公式。 难点: 理解微元法、弧微分概念。 4.教学建议： 采用讲授法、提问法、课堂讨论法开展本章课程的学习。 第十一章 反常积分 1.基本内容：