D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.s2.088 第29卷增刊2 北京科技大学学报 Vol.29 Suppl.2 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.2007 碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 张武军徐金梧吕志民杨德斌 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要研究了Jeffcott转子发生动静件碰摩时的非线性振动特性.根据数值计算的结果，利用时间序列的相空间重构方法， 通过相空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为，利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行 定性的分析·这对定性和定量的判定系统的分叉、拟周期和混沌行为是一个非常有意义· 关键词碰摩转子；分叉；混沌：相空间；分形维数 分类号0322 在旋转机械中，动静件碰摩是最常见的故障之 的空间来观察和研究该信号，由于引起非线性系统 在高速旋转机械中为了提高机器效率，往往把 混沌的过程基本上是多变量的，但是如果用单一的 密封间隙、轴承间隙做的较小，以减少气和润滑油泄 时间序列，如位移时间序列、速度时间序列等来反映 漏.但是，小间隙除了会引起流体动力激振之外，还 高维系统的动力特性，必然丢失许多关于吸引子演 会发生转子与定子的摩擦.例如，轴的挠曲，转子不 化的信息，因此必须将其重构成更高维的相空间，这 平衡，转子与定子热膨胀不一致、气体动力作用、密 就是帕科德等人将惠特尼(Whitney)提出的利用时 封力作用以及转子对中不良等原因引起的振动，轻 间序列重构相空间提取动力系统物理特征量的思 者发生密封件的摩擦损伤，重者发生转子与定子的 想，通过动力学重构，在无须已知动力学系统数学 摩擦碰撞，引起严重的机械碰摩，发生严重的机器损 模型的情况下，可以获得系统的多变量状态表示，使 伤事故山.碰摩发生时，系统的动态过程比较复杂， 非线性动力学分析方法能用于数据的分析和处理， 振动响应表现出丰富的非线性特征.近年来，国内 动力学重构所依据的基本理论，即称为延迟嵌 外学者针对这一问题从不同角度开展了广泛的研 入定理的几何定理3]，依照嵌入定理，如果系统流 究，普遍认为会发生分叉、拟周期和混沌， 形是在位于维数为dA的几何体的空间里产生的， 本文利用时间序列的相空间重构方法，通过相 那么，这个几何体能够清楚地呈现在另一个整数维 空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、 数d>2dA的空间中，其空间坐标是原系统状态空 拟周期和混沌行为，然后利用分形维数对分叉、拟周 间坐标的非线性变换，采用系统的观测量s()和它 期和混沌信号进行分析， 的延迟分量，系统的坐标序列则可以通过下面新的 1 相空间重构 矢量形成： x(i)=[s(i),s(i十t),s(i十2t),, 非线性时间序列分析，是将非线性动力学所发 s(i十(m-1))] (1) 展起来的分析方法用于时间序列数据分析，以便从 式中，矢量x()中的每个分量在时间上以△t为 中更详尽多的得到系统的性质和特征)] 间隔，τ是一个正整数，称作时间延迟，m是嵌入维 吸引子是在研究非线性系统的动力学特性时提 数 出来的，是指系统运动轨道在相空间无穷次折叠、扭 在动力学系统中，只要m和t选择恰当，就可 曲或仲展的几何对象，非随机信号，包括周期信号、 以用一维时间序列重现原来系统的动力特性，如分 拟周期信号及混沌信号，不论是线性的或非线性的， 形维数、李雅普诺夫指数的保持不变 平稳的或非平稳的，利用相空间重构，都可得到较为 但是，问题的关键在于如何选择m和τ，从理 直观的吸引子图 论上来说，如果有足够长和足够精确的时间序列，那 通常对于所感兴趣的信号，需要建立一个合适 么τ可以任意选择，但事实上，所获取的时间序列 收稿日期：2007-10-05 长度是有限的，并且有一定的误差，因此必须合理选 作者简介：张武军(1968一)男，副研究员，博士 择m和τ，以便在相空间中对吸引子进行重构，以
碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 张武军 徐金梧 吕志民 杨德斌 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 研究了 Jeffcott 转子发生动静件碰摩时的非线性振动特性．根据数值计算的结果利用时间序列的相空间重构方法 通过相空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行 定性的分析．这对定性和定量的判定系统的分叉、拟周期和混沌行为是一个非常有意义． 关键词 碰摩转子；分叉；混沌；相空间；分形维数 分类号 O322 收稿日期：2007-10-05 作者简介：张武军（1968—）男副研究员博士 在旋转机械中动静件碰摩是最常见的故障之 一．在高速旋转机械中为了提高机器效率往往把 密封间隙、轴承间隙做的较小以减少气和润滑油泄 漏．但是小间隙除了会引起流体动力激振之外还 会发生转子与定子的摩擦．例如轴的挠曲转子不 平衡转子与定子热膨胀不一致、气体动力作用、密 封力作用以及转子对中不良等原因引起的振动轻 者发生密封件的摩擦损伤重者发生转子与定子的 摩擦碰撞引起严重的机械碰摩发生严重的机器损 伤事故［1］．碰摩发生时系统的动态过程比较复杂 振动响应表现出丰富的非线性特征．近年来国内 外学者针对这一问题从不同角度开展了广泛的研 究普遍认为会发生分叉、拟周期和混沌． 本文利用时间序列的相空间重构方法通过相 空间的吸引子的形态来刻画碰摩转子系统的分叉、 拟周期和混沌行为然后利用分形维数对分叉、拟周 期和混沌信号进行分析． 1 相空间重构 非线性时间序列分析是将非线性动力学所发 展起来的分析方法用于时间序列数据分析以便从 中更详尽多的得到系统的性质和特征［2］． 吸引子是在研究非线性系统的动力学特性时提 出来的是指系统运动轨道在相空间无穷次折叠、扭 曲或伸展的几何对象．非随机信号包括周期信号、 拟周期信号及混沌信号不论是线性的或非线性的 平稳的或非平稳的利用相空间重构都可得到较为 直观的吸引子图． 通常对于所感兴趣的信号需要建立一个合适 的空间来观察和研究该信号．由于引起非线性系统 混沌的过程基本上是多变量的但是如果用单一的 时间序列如位移时间序列、速度时间序列等来反映 高维系统的动力特性必然丢失许多关于吸引子演 化的信息因此必须将其重构成更高维的相空间这 就是帕科德等人将惠特尼（Whitney）提出的利用时 间序列重构相空间提取动力系统物理特征量的思 想．通过动力学重构在无须已知动力学系统数学 模型的情况下可以获得系统的多变量状态表示使 非线性动力学分析方法能用于数据的分析和处理． 动力学重构所依据的基本理论即称为延迟嵌 入定理的几何定理［3］．依照嵌入定理如果系统流 形是在位于维数为 d A 的几何体的空间里产生的 那么这个几何体能够清楚地呈现在另一个整数维 数 d＞2d A 的空间中其空间坐标是原系统状态空 间坐标的非线性变换．采用系统的观测量 s（ i）和它 的延迟分量系统的坐标序列则可以通过下面新的 矢量形成： x（ i）＝［ s（ i）s（ i＋τ）s（ i＋2τ）… s（ i＋（ m—1）τ）］ （1） 式中矢量 x （ i）中的每个分量在时间上以 τΔt 为 间隔τ是一个正整数称作时间延迟m 是嵌入维 数． 在动力学系统中只要 m 和τ选择恰当就可 以用一维时间序列重现原来系统的动力特性如分 形维数、李雅普诺夫指数的保持不变． 但是问题的关键在于如何选择 m 和τ．从理 论上来说如果有足够长和足够精确的时间序列那 么τ可以任意选择．但事实上所获取的时间序列 长度是有限的并且有一定的误差因此必须合理选 择 m 和τ以便在相空间中对吸引子进行重构以 第29卷 增刊2 2007年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29Suppl．2 Dec．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．s2．088
Vol.29 Suppl.2 张武军等：碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 .145. 在更高维的相空间中体现系统的动力学特性[5]. X(m,),≠j) (2) 2分形维数的计算 式中，r是m维超球半径，H为Heaviside函数，则 吸引子的关联维数为： 数学家们以Hausdorff维数为基础，已经发展出 D=limd(InCr)/d(Inr) (3) 了许多种不同的维数，如自相似维，盒子维，容量维， 信息维，关联维，Lyapunov维等，这些维数从不同 3碰摩转子仿真信号处理与分析 的方面刻划分形集的分形特征，其中关联维数可以 采用上面分析方法，对碰摩转子仿真模型所计 由观测得到的一维时间序列直接计算得出，因而目 算的不同状态下的碰摩转子响应信号确定嵌入延迟 前在实际中应用较广. 和嵌入维数，进行状态空间重构，吸引子的重构相 计算关联维数时现在采用比较多的是Grass~ 空间图反映了原吸引子的运动形态，这意味着在重 berger与Procaccia在Pakard与Takens重构相空间 构的相空间中可以得到原系统的动力学不变量（例 的基础上，提出的一种由观测得到的时间序列计算 如相关维数、李雅普诺夫指数等)的估计值.对周期 相应动力系统吸引子关联维数D的方法，即G一P 运动、二周期的分频振动、四周期的分频振动、拟周 方法[].其过程是：设{x:k=1,2,…,N}是观测到 期和混沌分别画出他们的相重构图、分叉图和庞加 的时间序列，记Xn（m,t)=（xn,x+…, 莱图，并确定延迟时间和嵌入维数，用G一P方法计 xn+(m-1)),n=1,2,,N-m十1，式中，t= 算他们的关联维数， K△t是时间延迟，△t是采样间隔，K是整数，m是 图1为周期运动的相重构图、轴心轨迹图和庞 重构相空间维数，记 加菜图，在相重构图中为一椭圆，确定延迟时间为 1 Cr- N(N-I)台 H(r一|X:(m,)- 15,嵌入维数为5，计算出它的关联维数为1.01. 1.0 (a) 日0.5 0 -0.5 -1.0 x/103m 2 (b) 2 日10二 0 -1 3 10123 0 3 x/10→m x/104m 图1周期运动时的相重构图(a)、轴心轨迹图(b)和庞加莱图(c) 图2为二周期的分频运动的相重构图、轴心轨 嵌入维数为5，计算出它的关联维数为1.58. 迹图和庞加莱图，在相重构图中为二个在某一处相 图5为混沌运动的相重构图、轴心轨迹图和庞 交的椭圆，确定延迟时间为15，嵌入维数为5，计算 加莱图，在相重构图中它有二个吸引子，从分叉图和 出它的关联维数为1.2. 庞加莱图看不出来这一现象，确定延迟时间为15， 图3为四周期的分频运动的相重构图、轴心轨 嵌入维数为5，计算出它的关联维数为1.71. 迹图和庞加莱图，在相重构图中为四个在某一处相 交的椭圆，从分叉图和庞加莱图很难分辨出来这一 4结论 结果，确定延迟时间为15，嵌入维数为5，计算出它 本文研究了Jeffcott转子发生动静件碰摩时的 的关联维数为1.26. 非线性振动特性，根据数值计算的结果，利用时间 图4为拟周期运动的相重构图、轴心轨迹图和 序列的相空间重构方法，通过相空间的吸引子的形 庞加莱图，在相重构图中可以看出它已不是椭圆形， 态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为， 这与庞加莱图结果是一致的，确定延迟时间为15， 然后，利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行
在更高维的相空间中体现系统的动力学特性［4—5］． 2 分形维数的计算 数学家们以 Hausdorff 维数为基础已经发展出 了许多种不同的维数如自相似维盒子维容量维 信息维关联维Lyapunov 维等．这些维数从不同 的方面刻划分形集的分形特征．其中关联维数可以 由观测得到的一维时间序列直接计算得出因而目 前在实际中应用较广． 计算关联维数时现在采用比较多的是 Grassberger 与 Procaccia 在 Pakard 与 Takens 重构相空间 的基础上提出的一种由观测得到的时间序列计算 相应动力系统吸引子关联维数 D 的方法即 G—P 方法［6］．其过程是：设｛xk：k＝12…N｝是观测到 的时 间 序 列记 Xn （ mτ） ＝ （ x nx n＋τ… x n＋（ m—1）τ）n ＝12…N — m ＋1式中τ＝ KΔt 是时间延迟Δt 是采样间隔K 是整数m 是 重构相空间维数记 Cr＝ 1 N（ N—1） ∑ N－m＋1 i＝1 ∑ N－m＋1 j＝1 H（ r—｜Xi（ mτ）— Xj（ mτ）｜i≠ j） （2） 式中r 是 m 维超球半径H 为 Heaviside 函数则 吸引子的关联维数为： D＝limr→0 d（lnCr）／d（ln r） （3） 3 碰摩转子仿真信号处理与分析 采用上面分析方法对碰摩转子仿真模型所计 算的不同状态下的碰摩转子响应信号确定嵌入延迟 和嵌入维数进行状态空间重构．吸引子的重构相 空间图反映了原吸引子的运动形态这意味着在重 构的相空间中可以得到原系统的动力学不变量（例 如相关维数、李雅普诺夫指数等）的估计值．对周期 运动、二周期的分频振动、四周期的分频振动、拟周 期和混沌分别画出他们的相重构图、分叉图和庞加 莱图并确定延迟时间和嵌入维数用 G—P 方法计 算他们的关联维数． 图1为周期运动的相重构图、轴心轨迹图和庞 加莱图在相重构图中为一椭圆确定延迟时间为 15嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙01． 图1 周期运动时的相重构图（a）、轴心轨迹图（b）和庞加莱图（c） 图2为二周期的分频运动的相重构图、轴心轨 迹图和庞加莱图在相重构图中为二个在某一处相 交的椭圆确定延迟时间为15嵌入维数为5计算 出它的关联维数为1∙2． 图3为四周期的分频运动的相重构图、轴心轨 迹图和庞加莱图在相重构图中为四个在某一处相 交的椭圆从分叉图和庞加莱图很难分辨出来这一 结果．确定延迟时间为15嵌入维数为5计算出它 的关联维数为1∙26． 图4为拟周期运动的相重构图、轴心轨迹图和 庞加莱图在相重构图中可以看出它已不是椭圆形 这与庞加莱图结果是一致的．确定延迟时间为15 嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙58． 图5为混沌运动的相重构图、轴心轨迹图和庞 加莱图在相重构图中它有二个吸引子从分叉图和 庞加莱图看不出来这一现象．确定延迟时间为15 嵌入维数为5计算出它的关联维数为1∙71． 4 结论 本文研究了 Jeffcott 转子发生动静件碰摩时的 非线性振动特性．根据数值计算的结果利用时间 序列的相空间重构方法通过相空间的吸引子的形 态来刻画碰摩转子系统的分叉、拟周期和混沌行为 然后利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号进行 Vol．29Suppl．2 张武军等： 碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 ·145·
.146. 北京科技大学学报 2007年增刊2 1.0 (a) 0.5 日十3 -0.5 -1.08 0 /10m 2 (b) 日10二 0 0 21012 x/104m x/104m 图2 二周期的分频运动时的相重构图()、轴心轨迹图(b)和庞加莱图(c) 10r 0.5 0.5 -1.0 8 0 x/m 3[ (b) 2 (c) 日10 -1 10 -2 01 23 -10123 x/104m x/104m 图3四周期的分频运动时的相重构图(a)、轴心轨迹图(b)和庞加莱图(c) (a) 自16十5 0 1 .0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 x/10m (b) (c) 0 0 -10123 0 x/10m x/10→m 图4拟周期运动时的相重构图(a)、轴心轨迹图(b)和庞加莱图(c) 了定性的分析，得出以下结论： (2)利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号， (1)利用相空间重构，对分叉、拟周期和混沌进 进行了定性的分析，证明此方法简单、实用，为现场 行重构，都可得到各自较为规则的图，特别是四周期 的实际转子系统碰摩故障的诊断提供了方法和依 以上的分频振动、拟周期和混沌有很好的结果 据
图2 二周期的分频运动时的相重构图（a）、轴心轨迹图（b）和庞加莱图（c） 图3 四周期的分频运动时的相重构图（a）、轴心轨迹图（b）和庞加莱图（c） 图4 拟周期运动时的相重构图（a）、轴心轨迹图（b）和庞加莱图（c） 了定性的分析得出以下结论： （1） 利用相空间重构对分叉、拟周期和混沌进 行重构都可得到各自较为规则的图特别是四周期 以上的分频振动、拟周期和混沌有很好的结果． （2） 利用分形维数对分叉、拟周期和混沌信号 进行了定性的分析证明此方法简单、实用为现场 的实际转子系统碰摩故障的诊断提供了方法和依 据． ·146· 北 京 科 技 大 学 学 报 2007年 增刊2
Vol.29 Suppl.2 张武军等：碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 .147. 1.0r (a) 0.5 0.5 10 -0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.81.0 x/104m (b) (c) 日10二 日 -1 -101 23 x/104m x/10m 图5混沌运动时的相重构图(a)、轴心轨迹图(b)和废加莱图（©） 参考文献 time from embedding with self-interdections.Phys Rev Lett, 1998,80(7):1410 [1]徐敏。设备故障诊新手一机械设备状态监测和故障诊断. 西安：西安交通大学出版社，1998 [5]Fraser A M.Swinney HL.Independent coordinates for strange [2]张志禹，刘奇洲，任辉，等.转子碰摩振动响应的非线性时间序 attractors from mutual information.Phys Rev A.1986,33(2): 1134 列分析.航空动力学报，2002,17(4)：437 [3]Taken F.Detecting strange attractors in Turbulence//Dynamical [6]Thomas S P,Leon O.Chua.Practical numberical algorithms for Systems and Turbulence.Warwick 1980.Berlin:Springer-Ver chaotic systems.Berlin:Springer-Verlag World Publishing Corp. lag.1981 1992 [4]Hao BL.Elementary symbolic dynamics,and chaos most of the Bifurcation and chaos identification on the rubbing rotor ZHA NG Wujun,XU Jinwu,LV Zhimin,YA NG Debin Mechanical Engineering School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The nonlinear characteristics of the lateral vibration of a rub-impact Jeffcott rotor were investigat- ed.Based on the theory of phase space reconstruction,the estimations of the embedding delay and dimension were studied,and the reconstructions of the bifurcation and chaos of the rubbing rotor were completed according to the results of numerical simulation.Then the correlation dimensions of the bifurcation and chaos were esti- mated. KEY WORDS rubbing rotor;bifurcation:chaos:phase space reconstruction;fractal dimension
图5 混沌运动时的相重构图（a）、轴心轨迹图（b）和庞加莱图（c） 参 考 文 献 ［1］ 徐敏．设备故障诊断手———机械设备状态监测和故障诊断． 西安：西安交通大学出版社1998 ［2］ 张志禹刘奇洲任辉等．转子碰摩振动响应的非线性时间序 列分析．航空动力学报200217（4）：437 ［3］ Taken F．Detecting strange attractors in Turbulence∥Dynamical Systems and TurbulenceWarwick 1980Berlin：Springer-Verlag1981 ［4］ Hao B L．Elementary symbolic dynamicsand chaos most of the time from embedding with self-interdections．Phys Rev Lett 199880（7）：1410 ［5］ Fraser A MSwinney H L．Independent coordinates for strange attractors from mutual information．Phys Rev A198633（2）： 1134 ［6］ Thomas S PLeon O．Chua．Practical numberical algorithms for chaotic systems．Berlin：Springer-Verlag World Publishing Corp 1992 Bifurcation and chaos identification on the rubbing rotor ZHA NG W ujunXU Jinw uLV ZhiminY A NG Debin Mechanical Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT The nonlinear characteristics of the lateral vibration of a rub-impact Jeffcott rotor were investigated．Based on the theory of phase space reconstructionthe estimations of the embedding delay and dimension were studiedand the reconstructions of the bifurcation and chaos of the rubbing rotor were completed according to the results of numerical simulation．Then the correlation dimensions of the bifurcation and chaos were estimated． KEY WORDS rubbing rotor；bifurcation；chaos；phase space reconstruction；fractal dimension Vol．29Suppl．2 张武军等： 碰摩转子系统分叉与混沌行为的识别 ·147·