布洛赫定理 三 周期性边界条件 1、确定系数 若晶体由N个原胞组成,我们设想一无限排列的晶 体由以实际晶体为大单元在空间重复排列而成。 由晶体的周期性,考虑一维情况,有: y(x)=y(x+ Na) 该式常被称为周期性边界条件。此即: (x)=()=(x) =eiaday(x) eiaNa= aNa=2、s一整数、所以:a=s +
布洛赫定理 三、周期性边界条件 1、确定系数 若晶体由N个原胞组成 ，我们设想一无限排列的晶 体由以实际晶体为大单元在空间重复排列而成。 由晶体的周期性，考虑一维情况，有： 该式常被称为周期性边界条件。此即： ( x ) = ( x ) =( x + Na ) Na = 2s、 = e iNa( x )、e 1 i Na = T ( x ) ˆ N ( x ) = N 所以： = s Na 2 s — 整数
布洛赫定理 2、布洛赫定理 设晶体的长度为L,则:L=Na、所以: a=2、其量纲为长度单位的倒数, L 与倒格矢和波矢的单位同,通常令 k=a=s、则n=eikna L (x+a)= Ty(x)= eiky(x) 可见,y(x)=eu(x)、u(x+a)=u(x)时,满足y(x+a)=eiy(x) 晶体中电子波函数用y(x)=eu(x)表示的规律叫布洛赫, 波函数y(x)=eu(x)叫布洛赫函数:e为一平面波
布洛赫定理 2、布洛赫定理 设晶体的长度为L，则：L=Na、所以： s、 L 2 k = = s、 L 2 = T ˆ 1 ( x ) = ikna n 则 = e 其量纲为长度单位的倒数， 与倒格矢和波矢的单位相同，通常令： 满足( x + a ) = e ika( x )。 晶体中电子波函数用( x ) = e ikxu( x )表示的规律叫布洛赫定理 ， 波函数( x ) = e ikxu( x )叫布洛赫函数，e ikx为一平面波。 可见，( x ) = e ikxu( x )、u( x +a ) = u( x )时， e ( x ) ika ( x + a ) =
布洛赫定理 3、布洛赫定理的含义y(x)=eu(x) 晶体电子波函数具有周期性调幅平面波的形式。在相邻 原胞中的对应点,波函数只差一位相因子eika,波函数的模 相同。一般地,u(x)与波矢k有关,故常记为uk(x),则 一维晶体电子波函数表示为:k(x)=eu(x) 推广到三维情况有: (F+) =e k-Kyr() 当晶体中电子在原子间运动时,势场起伏不大其波函数应类似 平面波,当与原子实接时应受到较强的作用故周期性函数 应当带有原子波函数的成分
布洛赫定理 3、布洛赫定理的含义 晶体电子波函数具有周期性调幅平面波的形式。在相邻 原胞中的对应点，波函数只差一位相因子 ，波函数的模 相同。一般地， 与波矢 有关，故常记为 ，则 一维晶体电子波函数表示为： 推广到三维情况有： (r R ) e (r ) k ik R k n n • + = ika e u( x ) k u ( x ) k ( x ) e u ( x ) k ikx k = ( x ) e u( x ) ikx = (r ) e u (r ) u (r R ) u (r ) k k n k ik r k = + = • 、 应当带有原子波函数的成分。 当晶体中电子在原子间运动时，势场起伏不大，其波函数应类似 u (r ) k 平面波，当与原子实接近时应受到较强的作用，故周期性函数
布里渊区 1、对于一维情况,有:,=cimk=2 s、s为整数。 无法显示该图片。 显然,k和k=k+2(h为整数)具有相同的n,为了 使k与一一对应,我们把波矢值限制在倒格子空间 的范围内(),这个区间叫第一布里渊区。 32元 2元3元 a a a 3区2区2区3区 上图中还画出了第二、第三布里渊区,由于波 矢只能取2/L的整数倍,则每个波矢代表点在倒空间 占据的空间为2/L。于是在第一布里渊区内共有 =la=波代表点为一维倒格矢
布 里 渊 区 1、对于一维情况，有： 显然， 具有相同的 ，为了 使 与 一一对应，我们把波矢值限制在倒格子空间 的范围内 ，这个区间叫第一布里渊区 。 上图中还画出了第二、第三布里渊区 ，由于波 矢只能取 的整数倍，则每个波矢代表点在倒空间 占据的空间为 。于是在第一布里渊区内共有 个波矢代表点。、 s、s为整数。 L e k ikna n 2 = = 和 （h为整数） a h k k′ = k + 2 n k n （ ， ） a a - a 2 2 / L 2 / L = L / a = N L 2 ] / a a [ （- - ） 0 a 3 - a 3 a 2 a a - a 2 - k 3区 2区 1区 2区 3区 为一 维倒格矢
布里渊区 可以得到布里渊区的界面方程: K(k+K,/2)=0 k=+k j+k.k
K = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 Ki •（k + Ki / 2）= 0 可以得到布里渊区的界面方程： k k i k j k k x y z = + + 布 里 渊 区