第三章问居性及 Hellinger变换 (m,m,)的注,c{dP 1:t∈创|Pan收敛到一极限 dPe 532 Hellinger距离, Hellinger变换 两个有限符号测度之间的距离的最基本度量方法,是用L1 范数,郑l1- sulfa,其中f是所有满足i升≤1的可 测函数,在第二章中,我们已经用过它来定义亏值。这个范数经 常比对偶 Lipschitz范数Ab大得多,因为定义l|l所用的 f多加了!f(x)-f(y)!≤dist(x,y)的限制.这两种距离的定 义对研究独立观察值时遇到的乘积测度甚为不便,而即将介绍的 Hellinger距离,在独立变量情况下,性能则要好得多,设P及Q 为σ-域,上的两个正测度,此两测度的 Hellinger距离h(P, Q)定义为: h(P,g) (√aP-√4Q) 若P,Q为概率测度,则H2可写成 h(P,2)m1-p(,,g 其中以(P,Q)称为相关度(fnty),它等于√dPlg.若读者 对符号P4Q不习惯可将它看成vPe4-j√El,而 dp dt g 其中μ为任意控制P及Q的测度,这个距离虽被称为 Hellinger 距离,但是,据我们所知, Hellinger本人并未用过,这个距离在 统计学的应用,可能要归功于 Kakutani[1948!,或见 Kraft 19551.在量子力学里,与此有关的距离巳经使用了很长一段时 间,原因是在这门学科中概率是以波动函数的平方出现
§3,2 hellinger距离; Helling!变地 我们很易证钥L1范数与 Hellinger距离有下列不等式关 系(此处P与Q皆为概率测度): h(P,Q)≤1P-Ql,≤P,Q)√2=H(P,Q) [1-(P,Q) 事实上,令〓P+Q,f dp g dQ,则 2(P,g) )'de 十√g|d g idu 另一不等式的证明相仿,根据 Schwarz不等式,我以得到: 1j√-√√f+√d≤{(√子 √8) (√f+vg)2dp 以及 f+√g)2 I十 d 另外要注意的是,PAQ1=1 P-Q,是枪验P对Q时 所产生的两类错误和的极小值,这项证明很容易.因此1P Q!具有特殊的统计意义.由于 Hellinger距离P,Q)与它 有上述不等式的关系,我们经常可以用KP,Q代替士P-g 在乘积测度情况下,MP,Q)或p(P,Q)有非常好的性质
第二章同居性及 Hellinger变 3 比如,设P与P1为σ-域,上的两个概率蘅度,而、为a 域a,i∈J的乘积,P,为乘积测度ⅡP,,1-0,1,其中 P,;是鈾立观察值§;的两种可能分布之一,则两个乘积测度的 相关度为每个分量对测度的相关度的乘积, (Po, PD 于·Pt, ·f 这个结果颇易证明.齿为p(P,P1)可以写成为多重积分 P(Po, PI) dpo. i dpy 此外,若令h;〓h(P;P,,我们则得 1-h(P,P1) I(1-n)≤{∑h 用这些关系来处理问题非常方便,我们将在第四章讨论它们 的应用。目前,我们仅给出下列等价关系:设所有P;,;皆依赖整 数n,记P;,Ⅱp,,则Ⅱ(1-.)≥>0等价于P与 P1,不完全分离.这就是指类错误概率和‖P,APt,l≥e1>0, 再者,Ⅱ(1一)≤<1的意义是指个实验序列(Po Pn)皆不会靠近于平凡实验一(P,P),所谓平凡实验是指在 四实验里P与P1是同一概率测度P 至于相关度√4PdQ,实为 Hellinger变换的个值, Hellinger变换的定义如下 令实验日〓{P∞:θ∈},其指标集为的.令{:日∈e}为 一数集,其中ic≥0,i)∑a-1,ii)只有有限个ao值为 正数,积分 (dPe)o
32 532 Hellinger距离; Hellinger变抱 称为实验的 Hellinger变换在{a:日∈的}点的值,此处,我们 依旧可以把这项积分看成是 「+t 其中4为任何一个控側所有指数6>0的概率P的正测度。 在这种情况下,我们定义f dp Hellinger变换与 Fourier或 Laplace变换的途相似:“它 是把还实验的直乘积( direct product)变换成运算 Hellinger变 换的还点乘积.”现令一{Pe:0∈及所={ge:∈时为 两个有相同指标集6的实验。再令8为一个直乘积实验, 它的组成是先施行d,再独立施行实验d8的概率测 度为乘积测度PQ.若y及φ分别为d及的 Hellinger 变换,则qx〓中×q毒实上,对给定的a={a:6∈6}, 应用 Fubini定理即能得到 II(dPp)-I(dP 5)a0. II(4@o). 这个乘积注质是 Hellinger变换最重要的特征。当然,它还 有其他的用途,现列举一二。令的为有限,U(6)为向量组成的 单纯形,即U(6)-{a-{a:日∈6}:a≥0,∑c-1}.则我 们有 命题2在等价范围内,实验d一{Pa:∈的 Hellinger 变换q(a)-(4P)是《的特征依照第二章实验距离 △的定义,实验序列d,一{PB,:日∈}收敛到极限d一{Pe 8∈θ}等价于它们的 Hellinger变换q在U()上的逐点收 证明令S一∑Pa,f dP 则 ds
第三章可居性及 Hellinger变换 p()-(Ⅱfg)s 这显示q;仅通过向量{fe:0∈份}的分布依赖d.因此,q只 依赖③的型.根据第二章第2节引理I,实验序列的收敛保证它 们的 Hellinger变换的收敛 反面的证明,以用实验在单纯形U(6)上的 Black well典型 表达式为便。如是,则f变成为U(8)中的坐标,我们的问题 是求测度和S的特征,现取一正向量c={a},a>0,0∈6,并 任取r∈6。令A8-lo fe 则 dp exp AsDp 因此,当为固定值时,q是向量[Aa:0∈6,0≠t}在Pr概 率下的分布的 -aplace变换,定义在{>0,∑a<} 集上这里,比率f/f;可能为0;然而,用 Laplace变换的唯 一性,可以保证{f6/f;6≠;在f>0的那部分分布是确 定的。这就表示概率和S在U(6)的内部是确定的。现将S的这 部分概率以及与它相对应的φ的部分去掉,则剩下的是单纯形 U(6)表面部分的测度。对单纯形的每一个面飞的测度,用与上 面相同的推理方法,即令与该面相对应的坐标a=0,这样可以 逐一证明S在每一个面皆是确定的,从而证明S在整个U(6)土 是确定的 至于收敛性质的证明,也与上述相同,即利用 Laplace变换 的收敛与正测度收敛之间的关系得证。命题证毕 最后,我们指出,必要时可用 Hellinger变换来验证同居性 为此目的,我们取实验。(P,PL,),它的 Hellinger变换 为 )-{(dP…)-(adP,n)