3.3发展德史 要知道若记p(a)-(uP。)-“(4P),则极限imq(a)是 a→0;>自 P。被P1所控制部分的范数。同样地,极限limy(a)是Pt 被P。所控制鄗分的范数,由此,可证出下面命题 命题3令q。定义如上。则实验,一(P0.P,)满足定 理1中的等价性质的充要条件为: lim lim inf, p(a)一1 这项结果甚易从定理1中看出,我们提请读者注意,因为 是个凸函数,所以kwy(2)≤20(2)=2k (P0.xP,),其中P为P,与P,之间的相关度,但是,要了 解, lim infp(P0,P1)>0的条件虽等价于d,为非完全实验 (完全实验是指由分离测度集组成的实验),但不能保证同居性成 立,当然,定理1中的条件是足以保证且 Hm inf e(P,n,P1,)>0 的 §3.3发展简史 在1955到1956年之间,在渐近理论研究过程中,深觉有必要 对一种具有一致性的渐近相互绝对连续测度定一个名称,当时, Le cam经 Sary之胁助将这个概念命名为“间居性”。由同居 性导出的理论,包括第一节中的大部分结果,可在 Le cam[1960 的文章里查到。稍后,Haek[19621发现这个概念颇为有用,在 1972年, Roussas为此写了专著介绍同居性及其应用,此后,有许 多作者研究在不同情况下测度序列的同居性比如,可参看Grea wood F Shiryayev [1985] 本章所称的 Hellinger距离或 Hellinger相关度,似乎并非 为 Hellinger本人所提出.这种观念曾在 Kakutani[1948】的 文章里非常有效地使用过,之后它又出现在 Kraft1955]的论
弟三章同居性及 Hellinger变唤 35 文里,芹且加上了 Hellinger的名字,此外 Matusita在1953 年已经在用 Hellinger距离和相关度,读者订参阅他[1955]和 1961]的文章,以及文中提供的参考资料。 至于 He]linger本人所考胞的是一种积分定义,即jaPg, dm 其咔P与Q被M所控制.这方面进一步的发展,有Riz[1940]和 Dieudonne[1941],[1944]所研究的一般的“涎度的齐性函数” 而我们所称的1 ellinger换(dP)(aQy,a∈10,1,即是 这种齐性函数之 我们无从得知在统计学里谁先应用这种概念.至于 Hellinger 距离,在量子力学发展早期必定已经出现了,因为,在量子力学 里既率是用波动函数的平方模( square modulus)来定义的 Halphen[1957]曾经利用过类似 Hellinger灾换的概念,但是 他国的与我们的不同。 Hellinger变换石: Le can[1969]及 Torgersen I19701文章里有明确的使用. Torgersen还证明若实 验比实验好,则它们的 Hellinger变换亦满足同样的关 系。可是,反之则不成立.即,若φ与q为与的Hel ger变换,如果a比所好,则φ≤乎。可是屮≤φ则不能 保证吖比彡好
第四章独立观察值情况下似然 比的极限分布 §4.1引言 本章将考虑二重实验序列{n,:如12,…;n=1,2,…} 其中郾一{P,m,:∈的},所有的实验d…,拥有共同的指标集 6.记。为明,计;-1,2…的直乘积即。为独立进行的 实验;〓1,2,…之组合。我们将假设,对每个整数n,自 某数i,以后,,;为平凡实验。实验。由乘积测度 ,,;∈6 所构成。本章将以讨论对数似然比A,-kgE的极限性质来 闻明第三章的理论,A中的0及1代表的里的任意两点。本章大 部分的讨论将集中于二元实验(P0.,P1n),比较广泛的情 况将在章末作简单介绍。 我们先作两个基本假设(A1)及(A2): A2)存在一个8>0,对全部n值,‖PP1,1≤1- 它的意义为:从实验{,:=1,2,…}整体来看,它不能 对参数值提供全部信息,也就是说,。不能太接近于完全实验 (perfect experiment) (A2)若n→∞,则supl.,;-P,;lh→0 它的意义是:每个个别实验dj1,2,…所提供的信 息很少
第四章独立观祭值情况下似然比的极分东 在这两个假设下,我们要研究的问题是:x(A,Pa)有无 极限?若极限存在,它的形式如何? 虽然,第二节中的几个基本引理这是仅对二元实验来证明,但 是读者应该记住下面五个例子,这些例子的密度fx0)依赖于 个实参数θ∈R.假设对每个n我们取n个密度为f(x,θ) 的独立随机变量。 例1“正则情况”,大部分教科书里所称的正则情况是指 logj(x,0)至少能对θ作二次微分,且“能在积分号內微分”一般 常用的假设是所谓 Cramer条仵(见 Cramer[1946】第500页, Ibragimov-Has' minsky[1981]第62页, Lehman[983】第 406页) 哥西分布密度为其一例 f(x,6) +(x-b)2 此处,令概率P,;的密度为fx,日),P,的密度为Kx,θ+ δn),其中δ ,而为一有界序列(一般的情况将在第 大章讨论)。 例2“几乎正则情况”,例如,考虑密度 f(x,0)=c(a)exp{-|x-l“},-0<x<∞,c> 其中 与例1相同 例3密度形态与例2相同,但0<a<1/2.此处取 δ 而β〓(1+2a) 例4取密度为 fCx, 6 6|},0<a< 而取Bn=n
52二元实验情形的极限分布 例5取密度为 f,0ec(aexpt-|x-01,cc 政为 f(x,0)=[1-tx- 两者皆用8-( x log n)-12 除了例4以外,我们可以证明在其它4个侧子里,对数似然比 A的极限分布皆为正态分布 以上所举的例子全为移位型态的分布,这当然是不必要的3此 外我们并假定n个变量为独立同分布,其中n个概率1,:j1, 2,…n,皆为概率的副本,而且p。不依赖n.在下面的讨论 中,我们将放宽这些条件,令迟,一(P}P,;)为任意实验, P,,与P,,皆可依赖讠与 在放宽的条件下,对数似然A仍然是一个和,A,=∑A, 其中人;-og,对每个固定n值,An相互独立,我们 卩, 将采用的方法是用一个A,;的函数来取代A,;,用此法能求得 Hjek及 Sidak([1967]第205页)所称的“ Le can第2、第3 引理”以及其它一些结果( Le cam第1引理已包括在第三章定 理1中) §42二元实验情形的极限分布 令P,P1为任意两个概率测度,我们需要用到下列几个名 词及符号: 1)y为相关度其定义为7-√aPdP1 2)h为 Hellinger距离,其定义为 (P,P)2(vdP.-√P)-