目 录 序 第一章引言 1 第二章实验、亏值、距离……… 4 s21风险函数之比较……… 4 s2,2似然比，Blackwell表达式…… 8 52.3发展简史 19 第三章同居性及Hellinger变换………… 21 53.1同店性 21 s3.2 Hellinger离，Heilinger变换……… 29 53,3发展筒史 34 第四章独立观察值情况下似然比的极限分布…… 36 s4、1可………… 36 §4.2二元实验情形的极限分布 38 s+.3发展简史…… 59 第五章局部渐近正态族 61 5.1引言…… 61 ￥5,2局部渐近二次族(LAQ)………… 63 s5.3一个构造估计量的方法……………… 67 5.4局部Bayes性质…… 78 多5.5不变性与正则性…… 83 s5.6LAMN及LAN条件- 93 ,s5.7LAN条件的一些其它性质……………… 102 55.8Wald检验与置信椭球…… 104 55.9其他方向的推广 108 55.10发展简史……… 10 第六章独立同分布观测值…………… ………114 多6.言 114 一一2
目录 56.2标准独立同分布情况、均方可微性 ……………116 3例 125 56.4非参数情况下的一些讨论… L34 56.5估计量风险的上下界……………… 146 56.6观察个数为随机的情况………………………………157 6.7发展简史 l63 第七章 Bayes程序 trOde萨db中。·中甲,非q非萨曲:. ………168 57.1引言 .·、丶中、甲, 17.2 Bayes程序的良好性质 69 7.3 Bernstein- von Mise现象 174 57.4独立同分布情况下的一个 Bernstein- YOn mises结果……176 575Baye程序的不合理性 由,鲁 187 57.6发展简史…………………… …………190 主题索引中英文对照表 ∴…………192 参考文献 …………………………198
第一章引官 木书的目的是叙述一些在考虑统计渐近问题时非常有用的概 念及门具,其主要思想是用一些比较容易处理或比较熟悉的测度 集一{Qa:0∈}来逼近我们原有的概率测度集d一{P: 6∈6} 举例来说,假定我们观测到大量的独立同分布的随机变量X1, X2,…,X,假设它们在实轴上有哥西分布,其密度为 1十+(x-0)2 记P.,为X1,……,K,的联合分布,令Z。为另一随机变量, 它在实轴上服从正态分布Ga,,其均值为0,方差为2 本书要阐述的理论是说,当n充分大时,②,一{P9:0∈ 和 {Gpn:6∈这两个概率集对处理大部分统计问题而 言,区别甚小, 另外一个例子是,设Y1,Y2,…,Y为n个独立同分布的随 机变量,每个变量的密度为[1一|x-0|]°,其联合分布记为 Q…其次令H,为正态分布,其均值为6,方差为一上,则 no界 当n值充分大,{Q,:日B}和{H.n6∈}这两个概率 集会相当靠近, 第二章将介绍几个距离的定义,其目的是用严谨的数学定义 来解释什么是两个概率集“相当靠近”,至于利用距离的思想,可 追溯到Wald[I943]的文章.我们要用的这些距离定义亦与 Black well L1951]等人所讨论的“实验比较”关。所谓实验, 本书将依照 Black well的定义,将它定义为集上一个σ-域
第一鴦引言 k上的任何一个概率集￠一{P:θ∈},怕标集臼通常被称 为“参数空间”.有一种方便的看法是把每个0看成是一种理论, 它对实验者要进行的实验,提供一个随机模型P 有一点要注意的是在比较哥西实验{P.:6∈梁}及高斯实 验{G6,:0∈}的例子中,这两个实验有相间的参数空间6(此 处创一),但有完全不同的样本空间。哥实验的观测 值是在n维空间梁〓驼”里,而高斯实验的观测值则在一维空 间里.在第二章中我们所定义的实验距离,适川于任何两个有相 同参数空间的实验d-{P8:0母}和={9:8∈创}。在 同一章内,我们用 Blackwell典型表达法求出一个实验的标准表 达式,这个结果是在实验指标集为有限的条件下求出的。运用 这个标准表达式,我们可以证明当6为一固定合限集时,实验的收 敛(在我们的距离定义下)与似然比分布的收敛等价 第三章将讨论一些在研究似然比收敛时遇到的技巧问题。这 些技巧问题通常可用“同居条件”予以彻底简化.同时,我们还将 介绍 Hellinger变换及 Hellinger距离,它们对硏究独立变量的 实验特别有用 板限定理是第四章的主题,所讨论的是一些在独立变量实验 情况下获得的极限定理。承蒙 Hajek及idak二竹的蒜维,本章 包括了他们所称的“ Le cam三引理 第五章玥LAN条件,LAN是 local asymptotic norm- ity之缩写,它的真正惫义是用高斯移位实验( Gaussian shift experiment)对原来的实验作局部渐近逼近,此高斯实验的参数 集为一个维空间的线性指标集。本章将详述在一个参数值6周 围,因实验满足LAN条件而产生的一些结果。除此之外,本章 还提供了一个构造估计量的方法。此法步骤如下:第一,任取 个“好”的初步估计量θ,并选取一个适当的向量集{un∴:i= ,},其中,=0,{un, …,}是参数空闺 中的一组基;第二,算出对数似然比在所θ+Ma+硎 点之值,这里i,-0,1,…,k;第三,求出经过这些对数似然比
第一章引言 值的二次式拟合;第四,在④空间里算出使这二次式达到极大 之点TnT。即是我们用来估计θ的估计量 在LAN条件下,依上述方法构造的计量有渐近极小极大 性,并有渐近充分性,此估计量也满足Haj卷积定理,我们将 用 van der vaart的方法来证明此卷积定理.本章最后一节是 讨论LAMN条件,LAMN是 locally asymptotically mixed normal的缩写.这里我们主要是引用 Jeganathan的文章,其他 的例子及资料请参看 Basawa和 Prakasa Rao[1980], Basawa Fi Scott [1983], Prakasa Rao [1987], Greenwood Fn Shiryayev [1985]等书 第六章讨论独立变量的情况,我们叙述LAN条件的形式, 特别是在“标准独立同分布”情况下的形式,统计界一般所熟悉的 是建立在 Cramer条件下的极大似然理论,根第五章结果所建立 的理论虽与极大似然理论有几分相似,但是它与第二章所介绍的 概念比较连贯一致些。该理论所用的条件比( Cramer用的要弱些, 第六章将详细介绍该理论的一个充分条件,即均方可微性。最后, 我们半例说明,如何应用这套理论到其他各种情况 集七章讨论 Bayes程序( Bayes- procedure)和 Bernstein-von ses 定理,木章将叙述此定理的一种形式,讥明方法将强调其 中关键步骤 本书每章最后一节为附录,介绍该章內容的发展简史。书未 附有参考文献及中英文名词对照表.因受篇所限,本书无法 供一套完整的参芳资料,有兴趣的读者可从其他书籍提供的文献 中找到补充资料。与本书有关的书籍可参阅 Rasa wa和 Prakasa Rao [1980], Basawa H Scott [1983], Greenwood FA Shiryayev [19851, Ibragimov F Has'minskii [1981], Le Cam [19861 Pfanzagl #i Wefelmeyer [1982], Prakasa Rao [1987], Serfling [190], Strasser[1985]等书