24 531间居性( contiguity) 3)[c<→f].显然成立 (4)[f→a].设序列{7。在P。概率下趋于零,即 min[l,T,lldP,→0 令A dP to ,此处的拉冬-尼可丁密度是P1,被P0,所 dP 控制的部分。则 min[1,T,门dP,≤min[1,|]![A,<b1<dP +Pls[A,26]. 因为I[,<b]4是有界的所以右边积分趋于零,右边第二项 有上界Mn{[b,∞]}.根据(f),我们可以使这个上界任意小因 此得证 (5)[a→e1,令{}为一趋于无穷大的序列,T=Iz ],则当n→∞时,}TP 2 1十 根据(a),T,dP1 dM。→0,因此 M。{[ (6)[←>b.对于实变量T,所谓{≌ITn{P]}是相 对紧序列是指对每一个8>0,皆能找到一个a(s),对全部, 它皆满足P.[|T≥a(E)]≤ε,其次,对任何b>0,下式皆 成立 Pl.IiT≥a≤cPa.[T,|≥a+M,[b∞] 根据(f)取b使M,[b,∞1<B,接着取a使 Pa.[T,|≥a]<°c 这就证明了(f)→(b)。要证明(b)→(),仅须取 T dP
第三章同居性及 Hellinger变换 25 到此,定理!的证明仅剩下(g)部分,要知道,二元实验d (P.,,P1。)是与 Blackwell典型表达式等价的,而 Blackwell典 型表达式显然又等价于实验(F,,F1,),此处,F,的定义为 dF,n一PdM,F,是[一,+]上的测度,因此d。的收敛 等价于在[一∞,+0]上F;,收敛到极限F;,i-1,2.显而 易见,M[{+∞}]一0等价于F1被F。控制.因此,在(F F1)与(P0,P1)为等价实验的情况下要证明(g)我们只需证明 被P控制的充要条件为F1被F控制,这一结果,可以从 下面的性质导出,若P1对P。的奇异部分( singular part)的 质量为x>0,则在假设检验P1对P时,存在检验函数q,使 得qdP。-0,且(1-q)P1≤1-a.那么,F1对F的奇 异部分质量亦大于零.重复同样的证法,将(F0,F1)与(P,P1) 对换,即得要证之结果 定义若二元实验序列d=(P.,P1,n)满足定理1(a)-(g) 中任一条件(因而满足全部条件),则称序列{P1n}跟随{Pn} 同居({P,} 1s contiguous to{P。.}).若在定理1中将Pa, 与P,对换若全部条件仍然满足,则称序列{P,}和EP1n} 同居({P}and{P,↓ are contiguous) 这个对称形式的同居定义由 Le Cam[1960]提出。单方向 的定义在Hjk[1962]以及Hjek和 Sidak[1967]书中用到 可是要了解,在他们以及许多其他作者的文章里,一般是假设对数 似然比A= loo dP止在P,概率下,在[一∞,+∞]上有一个 dp 极限分布,而这个极限分布的支撑确是(一∞,+∞).这即是假 设在条件(c)中的极限M须满足M{-]-0,这与(c)中 MLt+∞}]-0的条件相对称。因此,若S[An!P.的极限是 在(-∞,∞)上,并且{PLx}“跟随”{Po}同居,则{Pa}“和” {P,4}亦是同居的 注定理1中的条件是用G,上的实值随机变量T来叙述
26 53.1同居性( contiguity) 的。其实,T。可以是取值于任何一个给定的完备可分度量空间 ( complete separable metric space)或称波兰空间( Polish space) 的随机变量,即T。为一随机过程。在此,条件(a)就须换成为 若T,在概率P下趋于常数a,则它在概率P,.下亦趋于 同一常数”关于条件(b)及相对紧性质的更一般结果,见Le Cam[1986]第90页。 在同居条件下导出的最有用的结果之一是下述命题,其中 dP dPo 的意义一如以往 命1令{T}为,〓(P。m,P,)上:获得的一臃机变 量序列.设(i){P1,}跟随{P0}同居.(i)联合分布2【(T A,)Pa}在(-∞,+∞)×【一∞,+∞丁上趋于极限F,则 x{(Tn,A,)|P.,}趋于极限G,并且G(dt,)-cF( 注当T为向量或取值于波兰空间时,这个命题仍然成立 证明亦同,有兴趣的读者可见 Le cam[1986]第90页 证明令中(t,)为(-∞,+0)×[一∞,+∞}上的有界 连续函数,记P,出(T,A,)P4,,-0,1,将}dF 写成 φdF 小(t,1)c2F,(dz,d) 其中e是P1,对P的奇异部分质量。从同后条件能得到 e→0。右边积分可写成 頓(r,)eFs,(4,a)-4(,2)min[b,]F0.(,) +叭(,)[e2-b]Fa,(如,4) 对每个g>0,能选取b值,当n充分大时,它使右边第二项积分 的绝对值小于.右边第一项档于」叭,)m1,d)
第三章同居性及 Hellinger变换 最后,令b→∞,即得要证的结果 上述命题可应用到A。本身、例如,若知s{AP,]收紋 到正态分布F一N(m,可),则在褫率PL,下,分布序列≌(A P1)会收敛到G,而G(a)-cF(以),因为G必须是概率 测度,或因为定理1中的条件(d),从而得到m+a2=0,以 及G=N(m+a2,m2) 此处所得到的等式m 一G 是个古典等式。比如,一般它 在用 Cramer条件处理板大似然估计时出现,即是在所谓“在积分 号内可做分”的条件下得出 现来考虑另一种情况.假设≌[(T。,A)P。,]收鲅到二 维正态分布.F,记其均值向量为 6,协方差矩阵为 A C C ) F的对效特征函数有下列形式 中(w,)→ log Eexp{twT+ⅳA iua +iv6-[4u+ 2Cue-+ Bu21, 将式中沏换成i+1,我们得到 Eedexp[u+tA]是为G 的特征函数,其中 (1)二项w2,如,及ψ的系不变; (2)系数a被(a十C)取代 (3)系数b B被b十B〓B取代。 这些性质指出≌[T,,A。P1,n!的极限存在,此极限为一正态分 布,它的协方差矩阵与≌[T,AP.]的极限协方差矩阵横豚, 闻它的均值向量是原来的(,)再加上一项从极限协方差矩阵中
3.1同居性( contiguity) 导出的分量 B 另外,在有些情况下,由于≌[T,AP,n]的极限F有特殊 性质,因而能容易地辩认极限G=1nITn,4nP1,]的形式比 如,若F为无穷可分( finitely divisible),并且边缘分布s(Tl F)为正态分布,则极限分布G里的第一分量之边缘分布亦为正 态分布,其方差与F中的方差相同,其均值为a+C,而C等于 F分布中正态分量的协方差项(见 Le cam1960]) 命题1可以用来简化第二章里实收敛的验证,在该章,我 们曾用似然比V一出:∈并要求对每个∈B,s(v P.)皆收敛 假如,对某一5∈,所有的{Ps,},0∈的,皆跟随{PA,}同 居,则我们只需验证≌(V,P,)在5这一点的收敛性即可。这 项结果极易从命题1导出。为此,令Q 2,P 个”,则{P}和 {Q}为间居序列.并 dP dP ∈臼 dQ.、dQ 为从到的连续映射(见命题1之前的注).因此, 「dP n:;∈6P Q 收斂到一极限.现应用命题1到实验。〓(P,n,On)上,令 2:∈6及A-1dQ 此处需要指出,(T,A)已是T,的连续函数(严格说来,是指 这个函数的不连续点的集在P,n下的极限测度为零).根据命 题1出:本0收敛到一极限从而根据命题1前面对