第二章实验、亏值、距高 523发展简史 Laplace[1810]已有利用期望损失极小化来构造绕计程序的 概念,他建议对期望绝对偏差( expected absolute deviation)求 极小,后来,高斯[821]在他的最小二乘论文里采用平方损失 误差(6-8)2,他认为平方用起来比较方便,并且不见得比La place所提的|-b更无根据。这个概念在 Edgeworth[1908 与[19091的文章里复出.按照 Neyman([1952],第228页)《演 讲与会议》一书中记载:“在 Edgeworth之后,损失函数的概念消 失无影,有20多年未曾出现…”。直到1938年Wald的文章发 表后,它才又真正地在统计文献里复苏.Wald的两本书《序贯分 析》[1947]和《统计决策函数》[1950↓就是用损失函数和概率测 度族内个概念为基础来讨论实验的。这个概率族是定义在由统计 工作者选定的一个σ-事件域上或是一个a-事件域序列上。 在我们习惯了以后,我们认为这种概念是合乎逻辑的,可是 Fisher[1956]在他的文章里似乎认为这砷概念不正确,会引起误 解,配给美或前苏联的工程师用 关于用两个实验各自的风险函数集比较实验的概念,是来 自一篇由 Bohnenblust, Shapley和 Sheiman il949]三位合作但 未发表的名著—园德公司文件 Rand memorandum.他们指出 应用这个概念是受 von neumann的影响,随后 Stein【951 Blackwell1951][1953】对这个问题作了进一步的研究,他们证 明实验比实验好的充要条件为的典型测度m能用伸 缩变换( dilation)从实验获得(即 Blackwell, Sherman, Stein定理)与达方法有关的结果,读者可参阅 Strassen[1965 在有限参数的情况下, Blackwell的证明重新在 Blackie和 Girshick[1954]的书中给出.书中还证明了若②比好,则 我们能构造一对变量(X,y),其中X可从实验观察到,而 Y可从实验中观察到,而在联合观察(x,Y)时,X本身是个
52.3发展简史 充分统计量 至于所谓“亏值”和实验距离这是在 Le cam[1964]文章中 提出.这篇文章早在1958年底到1959年初完成,虽然经过很长 段时间才使它顺利发表,但仍然无法避免错误. Fremlin[1978 指出其中定理5是不成立的。对于这种距离的概念,我们猜想其 他作者叮能也会想到,除在 Stein[1951]的文章何这种可能性 外,我们并未找到这方面的文献,至于证明个距离定义的等价 其中一个是用能达到的风险函数之差来定义,另个是利用随机 化定义),这是在 Le cam[1964]文章里给出的.在有限参数集 情况下, Bayes风险的特征性质是由 Torgersen[1970】给出 Le Cam[1969]与 Torgersen[1970]证明在有限参数集情况下, 模据我们的距离定义,实验的收敛等价于似然比分布的收敛。至 于无限参数集的情况则要复杂得多,读者可参看 Lindae[1972] 及定理1证明后的一生说明
第三章同居性及 Hellinger变换 在第二章中我们已经看到,当6为有限时,根据我们的距离定 义,实验的收敛等价于似然比分布的收敛。本章将讨论在所谓“同 居条件”下所产生的一些结果。同居条件简化了许多在求极限时 要用的论据。此外,我们还将介绍一种有用的数学工具,即Hel linger变换,它对处理独立观察值方面的问题特别方便 §3.1同居性( contiguity) 现考虑一个二元实验序列{Gn:n=1,2,…},引,=(P0 P,n).“二元”的意义是指参数空间6只含两个元素,现记它们为 0,1.令Sn-P+P1,2P,〓f,n,;=0,,经过映射f S。的g为[0,1区间上的一个测度pn,P.n的象相对于p。有 密度1-u,而P1,的象相对于un有密度t,且u满足 d fu.ads,- 密度1-#也有类似性质 统计工作者经常用到对数似然比,尤其是在考虑独立观察值 方面的问题时,这就是用变换⌒log:“一把[0,1]映射到 [-,+∞l上.假如我们对应用这个变换,就把p,映射为 [-∞,+∞]上的测度M,从而得到两个新密度 ~P1(x) 1-a~xp6(x)
22 53.1同居性( co exiguity) 当x为无穷时,沿用惯例,令∞)0,P1(∞)=1 设P是测度空间(,,赠)上的概部,并设统计量T。 为从(,、n)到实轴的一个可测映射。若 Imin(1,IT.l)dP 则称T。在P,概率下收敛到零。如果对每一个>0,均能 找到一个值b(e)和整数N(8),而当n≥N(e)时,Po[T1 b(E)]<E,则称分布序列{(7。P):n-1,2,…}为相对 紧序列(在实轴上).从这种相对紧序列里,我们必定可以取出 个收敛子序列,而它的极限是实轴上的一个概率测度,这种子序 列的极限称之为“聚点”( cluster point),序列{x(T|P.,)} 的全部聚点集C等于∩C,其中C,为{≌C(T叫Pm);m≥n 的闭包。 有了这些符号,我们可以叙述下列定理,其中所有的极限值是 对n→00而取 定理1令{Mn=1,2,…}为S=Pn+P1。在[-∞, +]⊥:的象序列,F.(a)=p(x)M(x),T,为实验 (P0.P1,)上获得的一个统计量.则下述7个性质是等价的 a)每个在P,概率下趋于零的序列{T,},在P1,概率下 亦趋于零 b)对每个序列{7},若{S(T|Pu)}为相对紧序列则 {≌(TnP1,)}亦然 c)若M为测度序列{M}在[一∞,+1上的一个聚点,则 MI{+∞}]-0. d)令dF-p2dMn,F为[-∞,+∞].上的概率测度。若 F为序列{Fn}的一个聚点,则eF(4z)-1. e)若xn∈[-∞,+∞],且x→+∞,则M,{[z,∞}}→0, f)对每个e>0,存在两实数N(e)和b(E),使对所有的 ≥N(E),M,{[b(E),∞]<e
第三章同居性及 Hellinger变换 g)若=(Pa,P1)为实验序列d,的-个聚点,则P1被 Pa控制、 证明(1)[c←>d.在序列{M}里必能找到一个子序 刘{Mn()→1,2,},使得M。们)弱收敛到M,这就是说 对每个定义在[-∞,+∞]上的连续实函数φ, dm dm 根据定义P(x)“1+e*是[-∞,+∞1上的连续函数,因 此1q2alM,→l9M.于是F收敛到一个极限F,且 dF- pod,但是Po在+∞为零,所以F在+无质量,共且 eF(dx2= e"F(dx) P1dM=1-M[{+∞ 求<+ 因此P()-1M[1+}]-0 (2)[f←>c]。令M为序列{M}的一个聚点,即M为某一 子序列{Mn:j=1,2,…}的极限。定义连绥函效为 当z<b 当z>b+1 Pb的线性插值,当z∈[b,b+1] 则\ Pn dMai/i2dM,因此若(f)成立,则台某一个b,当 n(i)烂够大时,|甲M<s,从而v4M≤e.根据a的任意 性,M[{+}]必然为零。 反之,若(f)不成立,则存在一个ε>0,对每一个j值,皆 有一个n(j)≥讠存在,使得M{[j,∞]≥E,因此,对每个 b<∞,且my2dM-ly2dM≥e.从这里可推得 img2dMM[{+≥e 这与(c)矛插