§2.2似然比, Blackwell表达式 从而易见,我们所要的决策程序p2(dx),就是要找一个使得 jv)((d)为极大的决策x,我们知道当Z为紧染而W 为下半连续时,这种z必存在。更简单的情况是z为有限集,此时 这样的z显然是存在的 现在我们来看积分v(x)f6(x)(d0),因x是经过向量 (x)={f(x):66在积分号内出现,我们可以直接从U(秒) 出发,对每个∈U()来找v(*)4x(4)的极大值.事实上, 这个积分是一个有限和的形式∑c(0,n)%,其中系数c(0,2) n,并且∑p(0,)≤1(因为v)≤1→」v()m() 若把p∑c(,z)%看成是x的函数q(x),则q(M)为 凸函数,而且0≤9(4)≤1,|q(“)一φ(“)≤|'-“"|。事 实上,c(6,z)哈本身就有这些性质。在对它取极大值以后这 些性质仍然保留。现在,我们回过来讨论平均获利的极大值,将x 变换成w以后,平均获利就变成 PLu(x)]s(dx)-p(u)m(du) 其中x(x)-{f6(x):0∈} 令 01-{:φ(x)=sup∑(0,z)m,0s≤1, ∑叫pκ(6,)≤h 则1为用来定义lm一mlD的 Lipschitz的数集的一个子 集。因此,不等式 △(G,所)≤‖m-mp
第二章实验、亏、距离 成立 要证明定理1中的另外一个不等式,我们需要仔细考虑φ集 中的函数φ。根据定义 (x)sup∑c(6 而c(0,x)≥0,0<∑5uPc(0,z)≤1 我们先说明,与每个甲相对应的有一个决策润题和一个先验 测度。令 ) e 则0≤阳≤1, 这就得到一个先验测度B其次,对每个决策z,令 ∑)(6.), 0 为决策z在真值为θ时的获利。由此而能定义我们的决策问题 现在我们来讨论中1的结构。若q;∈φ1,i=1,2,则它们 的点态上确界g〓qVg2也属于φ1.原因如下,令z:代表与 q;相对应的决策集,由此我们来构造一个新的决策问题,其决策 z属于决策集Z,而Z为Z1与Z2两个副本的直接和( direct sum),z≌Z1UZ;如果z∈Z;,令c(,z)一c(θ,常),则得 φ∈φ 若φ;∈φ1,且a∈[0,1},则φ-四q,+(1-a,亦属于 φ1。原因是,按照上述方法取z1,Z2的副本(copy),然后形 成笛卡尔积Z口Z1×Z2,再令c(日,z)=ac1(0,x)+(1 c)c2(0,x2),而z=(x1,z)∈Z,则q∈Φ 其次来考总∽一个函数锥,它包括所有④1里的函数与任何 正数的乘积,即={aq:甲∈1,a>0}.φ是一个凸锥。令 一{q一q2:;∈φ,i-1,2} 这是一个向量空间,并且是一个向量格(对点态运算而言的 vector
16 52.2似然比3 Blackwell表达式 aice).显然,[q-g2]+一(q:Vq2)-q2∈以及qV q2∈Φ 是一个有界连续函数的向量格,其实中的元素还是 紧集U(6)上的满足 Lipschitz条件的函数。若,u"为U(6) 里的两个不相同的点,则它们至少有一个坐标椭异,即对某些0, 6≠#,可是所有的坐标函数皆属于φ1,并且空间包含常 数函数原因是∑4=1,因此,根据 Stone-Weierstrass定理, 必须是c(U)空间里的一个稠密集,这里C(U)为紧集U U(6)上的全部连续函数的集合。 由此即刻得出:如果q(4)m(dn)在1上为已知,则它在 φ上也为已知,因此在些上,最后在C(U)亦然,这项绪果 还有另一种含义:如果在空间上典型测度序列m收敛到m, 则mn在C(U)空间上也收斂(在证明引理1的部分结果时,我 们门曾经用到这个推理) 由于(1)典型测度m的值若在φ1为已知,则它在c(U) 上亦为已知。(2)在对偶 Lipschitz距离下是紧集.(3)不等 式△(,)≤‖m,-m成立,这三条件足以保证定理1中 函数中的存在。事实上,如果我们考虑两个实验序列d和, 令:m和m为它们相对应的典型测度,且设△(a,团)→9, 则我们可以假设在对偶 Lipschitz范数下,m,→m0,m→ 不然,则必能找到收敛子序列) 由m和m产生的两个实验必须是等价的.由于典型测 度是唯一确定的,因此必须m-m从而‖m-m必须趋 于零。利用这个性质,我们可以定义函数φ()如下 φ() 其中上确界是对所有满足Δ(d,所)≤≠的实骀(,驴)所取 φ即具有定理1中所要的性质,定理1证毕 当然,值得对ψ作进一步的研究。有一个很有意义的问题是
第二章实验、亏值、距离 中如何依赖6集的基数。目前,我们尚无好的方法将定理1的结 果推到无穷参数集母上,在无穷参数集6的情况下,似然比形 成一个无穷维向量,或称随机过程。比如,我们可以取定一6值来 考虑过程V八~{dP :t∈8}在P9概率下的分布 dP 对于这种过程的分布收敛,一般是用对偶 Lipschitz范数或 是用与它等价的 Prohorov距离来讨论,参考文献可见 Billingsley [1968].当这种随机过程的轨道为有界时,有一种收敛定义与上 述种等价,这项结果是用一种配对( coupling)方法来获得的, 现说明如下 令X-{X(t:∈创}与Y-{Y():t∈分}为两个有同样 指标的随机过程,但它们可能是定义在不同的概率室间上,即分别 在(91,1,P1)与(Q2,,2,P2)上,如我们能构造一个共 冏概率空间(90,0P。,在(0,0,P0)上能同时定义X与 的副本,而使 E*{1∧spX()-Y()} 很小,则我们称X和Y依分布接近( close in distribution) 此处记号“*”代表“外期望或“外积分”.若假设足够强的可 测性条件,则我们可以去掉“*” 对比之下,我们所用的实验距离△就相当于这种配对,只是需 要将E与sup两符号对换 进一步解释,我们来考虑两实验d一{P;0∈母}与 Q:6∈6}.假设在的里存在一个5,使P控制所有Pa,Q, 控制所有Qa,令(4)sdP,y()-dQ:由北构造出两随机 dp d2 过程X={X():},Y一{Y(t):t∈e}.设X的分布是在P 下导出,Y的分布是在Q,下导出,则我们能得到下列结果 假如在某一概率空阆上能定义两个配对的随机过程,使得 E(x()一Y()!≤
18 522似然比, Blackwell表达式 则△(G,罗)≤ 原因是X为d的充分统计量,同样地,Y为历的充分统计 量.令M为同时定义了X和Y的概率空间上的概率测度。在这夹 同的概率空间上,与实验d→{P:∈的}等价,其中,测度 P6定义为dP6=X(0)dM.同样地,所与′等价,罗’中 的测度Q定义为dQ6=Y()dM,从条件sup-Elx() Y()≤B能导出 sup(Pe-eel X(0)一Y(6)dM≤e, 然后根拦定义2,我们可推得△(,)(-4(,))不超 我们用supE而不用可能比较大的Esup,表示随机过程的 分布收听受的限制通常比按照我们距离定义所讨论的实验收敛 要大得多 需要强调的是,这里所指的实验收敛是对距离△而言。除此, 我们将用到另外一种实验收敛的概念,称为“弱收敛 如果对每个有限子集FC,实验序列{P,n:e∈P}被照距 离△收敛到{P.:∈F},则我们称以母为共同指标的实验序列 明,-{Pa,:∈6}弱收敛到。一{P,a:0∈6}, 根据以上讨论,这种弱型收敛与下述收敛等价:对每个∈6, 在P灬概率下,随机过程0~Xn(0)-4Pa,的有限维分布收 dp,m 敛到相对应的随机过程6八X(0)一“的何限维分布 dP 在第五章将看到,这种弱型收敛已足够保证Haek卷积定理 以及Hiek- Le Cam渐近极小极大定理的成立