7.线弹性结构的互等定理 Reciprocal Theory in Linear Structures) 、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒,对线弹性、小变形结构, 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知 2 =∑∫ F kF d+∑∫ M ds 2E4 240 ∑∫ 2ET M +∑∫ S 2GI
7. 线弹性结构的互等定理 (Reciprocal Theory in Linear Structures) 一、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒,对线弹性、小变形结构, 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知 + = + + s GI M s EI M s GA kF s EA F V x d 2 d 2 d 2 d 2 P 2 2 2 Q 2 N ε
或者 ∑∫ EAe ds+∑ GA ds +∑∫Ee2ds+∑∫GIp2ds) V的性质: (1)总为正; (2)与路径无关,是状态的函数 (3)内力或位移的二次式; (4)叠加原理不适用;
或者 + + = + EI s GI s ) s k GA V ( EA s d d d d 2 1 2 P 2 2 2 ε Vε的性质: (1) 总为正; (3) 内力或位移的二次式; (4) 叠加原理不适用; (2) 与路径无关,是状态的函数
二、线弹性结构的互等定理 1.功的互等定理: 方法 先加广义力P1,后加广义力P2 m 第I状态 4242 W1=1P1A41+P1A+2242
二、线弹性结构的互等定理 1. 功的互等定理: 方法一 11 P2 12 222 1 1 11 1 12 2 22 2 1 2 1 W = P + P + P 11 第 I 状态 先加广义力P1,后加广义力P2
先加广义力P2,后加广义力P1 4 第Ⅱ状态 12 W2=P242+P2421+B41 2 2 由W1=W2 R42=P2421 在线性变形体系中,I状态的外力在Ⅱ状态位移上所 做应功,恒等于Ⅱ状态外力在I状态位移上所做应 功 功的互等定理
12 P2 11 212 22 2 2 22 2 21 1 11 2 1 2 1 W = P + P + P 12 P2 22 2 由 W1 =W2 P1 12 = P2 21 在线性变形体系中,I 状态的外力在 II 状态位移上所 做虚功,恒等于 II 状态外力在 I 状态位移上所做虚 功。 功的互等定理 第 Ⅱ 状态 先加广义力P2,后加广义力P1
方法二 P 第状态马 12第Ⅱ状态 由虚功原理P142=P2A21 12 ∑∫(-mN2+k Q1 Q2 MM M 十 x1 x2 )ds GA El GI P W21=P2421 ∑∫(x2Nx+ kFo2For+M2M1M2M xl )ds EA GA El GI P
方法二 由虚功原理 12 P2 2 第 I 状态 第 II 状态 21 W12 = P112 ) s GI M M EI M M GA F F k EA F F ( x x d P N1 N2 Q1 Q2 1 2 1 2 = + + + W21 = P221 ) s GI M M EI M M GA F F k EA F F ( x x d P N2 N1 Q2 Q1 2 1 2 1 = + + + P1 12 = P2 21