单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应

D01:10.13374.isml00103x.2009.0L.018 第31卷第1期 北京科技大学学报 Vol.31 No.I 2009年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2009 单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 王学滨)张君2引 1)辽宁工程技术大学力学与工程科学系，阜新230002)清华大学士木工程系，北京100084 3)清华大学结构工程与振动教有部重点实验室，北京100084 摘要将单轴压缩条件下遭受到剪切带（峰值应力之后呈现线性应变软化行为）形式的单一剪切破坏普通混凝士试样的峰 后应力应变曲线斜率的解析解推广为非线性情形.在峰值应力之前，采用S①t模型描述非线性的本构关系.剪切带的非线 性应变软化本构关系由导出的最短普通混凝土试样峰后斜率反算.利用得到的峰后本构关系，对其他较长的普通混凝土试样 的应力应变曲线进行了预测。预测的峰后应力广应变曲线依赖于试样的高度，且与实验结果吻合。估算的剪切带内部平均塑 性剪切应变远大于在单轴压缩条件下测得的轴向应变的极限值。若测得的峰后应力应变曲线被视为本构关系，则普通混凝 土柱的峰后延性将被极大地低估。 关键词混凝土：应力应变曲线：非线性：应变软化：剪切带：尺寸效应 分类号TU452 Size-dependent nonlinear post-peak stress-strain curve of normal concrete in uni- axial compression WANG Xue-bin ZHANGJim23) 1)Department of Mecharics and Engineering Sciences.Liaoning Technical University.Fuxin 123000.China 2)Department of Civil Engimeering.Tsinghua University,Beijing 100084.China 3)Key Laboratory of the Ministry of Education of China for Structuml Engineering and Vibration.Tsinghua University.Beijng 100084.China ABSTRACT The analytical solution to the post-peak slope of the stressstrain curve of a uniaxially compressive concrete specimen subjected to single shear failure in the form of the shear band exhibiting linear strain-softening behavior beyond the peak stress was generalized as the nonlinear case.Prior to the peak stress,the Scott model was adopted to describe the nonlinear constitutive relation. The nonlinear strain-softening constitutive relation was back-calclated from the derived post-peak slope of the shortest normal con crete specimen.Using the assessed post-peak constitutive relation,the stressstrain curves of other longer normal concrete specimens were predicted.The predicted postpeak stressstrain curves are sizedependent and agree with previous experiments The assessed av- erage plastic shear strain in the shear band is extraordinarily greater than the maximum axial strain measured in uniaxial compression. If the measured post-peak stressaxial strain curve is seen as a constitutive relation,then the post-peak ductility of concrete columns w ill be greatly underestimated. KEY WORDS concrete:stress-strain curve;nonlinearity;strain-softening:shear band size effect 在实验研究、数值计算及理论分析领域应变软 播，而且新的微裂纹形成于宏观应力一应变曲线的 化是一个十分值得关注的问题).应变软化问题与 峰前变形过程中，当微裂纹聚结成一个损伤或应变 尺寸效应、稳定性、断裂能、唯一性及应变局部化等 局部化区时，混凝土的宏观应变软化行为发生导致 密切相关. 其承载能力下降 混凝土是典型的非均质准脆性材料.在单轴压 在单轴压缩条件下，至少混凝土应力一应变曲 缩条件下，随着轴向应变的增加，既有的微裂纹传 线软化段的一部分对于加筋混凝土结构的设计是必 收稿日期：2007-12-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.50309004) 作者简介：王学滨(1975一），男，副教授，博士，E-mail:wxbbb@263.nd

单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 王学滨1) 张 君2, 3) 1) 辽宁工程技术大学力学与工程科学系, 阜新 123000 2) 清华大学土木工程系, 北京 100084 3) 清华大学结构工程与振动教育部重点实验室, 北京 100084 摘 要 将单轴压缩条件下遭受到剪切带( 峰值应力之后呈现线性应变软化行为) 形式的单一剪切破坏普通混凝土试样的峰 后应力-应变曲线斜率的解析解推广为非线性情形.在峰值应力之前, 采用 Sco tt 模型描述非线性的本构关系.剪切带的非线 性应变软化本构关系由导出的最短普通混凝土试样峰后斜率反算.利用得到的峰后本构关系, 对其他较长的普通混凝土试样 的应力-应变曲线进行了预测.预测的峰后应力-应变曲线依赖于试样的高度, 且与实验结果吻合.估算的剪切带内部平均塑 性剪切应变远大于在单轴压缩条件下测得的轴向应变的极限值.若测得的峰后应力-应变曲线被视为本构关系, 则普通混凝 土柱的峰后延性将被极大地低估. 关键词 混凝土;应力应变曲线;非线性;应变软化;剪切带;尺寸效应 分类号 TU 452 Size-dependent nonlinear post-peak stress-strain curve of normal concrete in uni￾axial compression WANG Xue-bin 1) , ZHANG J un 2, 3) 1) Department of Mechani cs and Engineering S ciences, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, China 2) Department of Ci vil Engineering, T singhua University, Beijing 100084, China 3) Key Laboratory of the Ministry of Education of C hina f or Structu ral Engineering and Vibration, Tsinghua University, Beijing 100084, China ABSTRACT The analy tical solution to the post-peak slope of the stress-strain curve of a uniaxially compressive concrete specimen subjected to single shear failure in the form of the shear band ex hibiting linear strain-softening behavio r beyond the peak stress w as g eneralized as the nonlinear case.Prior to the peak stress, the Scot t model was adopted to describe the nonlinear constitutive relatio n. The no nlinear strain-softening constitutive relation was back-calculated from the derived po st-peak slope o f the shortest no rmal co n￾crete specimen .Using the assessed post-peak constitutive relation, the stress-str ain curves of other long er no rmal concre te specimens w ere predicted.The predicted post-peak stress-strain curves are size-dependent and ag ree with previous experiments.The assessed av￾erage plastic shear strain in the shear band is ex traordinarily greater than the maximum axial strain measured in uniaxial compressio n. If the measured post-peak stress-axial strain curve is seen as a constitutive relation, then the post-peak ductility of concrete columns w ill be greatly underestimated. KEY WORDS concrete;stress-strain curve;no nlinearity;strain-softening;shear band;size effect 收稿日期:2007-12-15 基金项目:国家自然科学基金资助项目( No .50309004) 作者简介:王学滨( 1975—) , 男, 副教授, 博士, E-mail:wxbbb@263.net 在实验研究 、数值计算及理论分析领域, 应变软 化是一个十分值得关注的问题[ 1] .应变软化问题与 尺寸效应 、稳定性、断裂能、唯一性及应变局部化等 密切相关 . 混凝土是典型的非均质准脆性材料.在单轴压 缩条件下, 随着轴向应变的增加, 既有的微裂纹传 播, 而且新的微裂纹形成于宏观应力-应变曲线的 峰前变形过程中.当微裂纹聚结成一个损伤或应变 局部化区时, 混凝土的宏观应变软化行为发生, 导致 其承载能力下降. 在单轴压缩条件下, 至少混凝土应力-应变曲 线软化段的一部分对于加筋混凝土结构的设计是必 第 31 卷 第 1 期 2009 年 1 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.1 Jan.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.01.018

。26。 北京科技大学学报 第31卷 要的，因而对混凝土应变软化过程的理解是特别重 构关系的方法，并由反算得到的混凝土拉伸条件下 要的.对混凝土峰后行为的不正确评估，将不能较 的软化本构关系对混凝土梁三点弯曲实验曲线进行 好地预测混凝土柱的延性及极限轴向变形？ 了预测，获得了较为满意的结果.上述研究仅涉及 在理论分析方面，一些研究者考虑了启动于峰 了混凝士土拉伸软化本构关系的逆推未涉及单轴压 值应力的应变局部化（以剪切带方式贯穿岩石或混 缩条件下混凝土剪切软化本构关系的逆推. 凝土试样，且剪切带呈现应变软化行为)，分别利用 本文将单轴压缩条件下遭受到剪切带（在峰值 位移法及能量守恒法？，推导了应力一应变曲线 应力之后呈现线性应变软化行为)形式的单一剪切 峰后斜率的解析解。剪切带内部的局部塑性剪切应 破坏普通混凝土试样的峰后应力一应变曲线斜率的 变分布及剪切带厚度由梯度塑性理论描述9，该理 解析解推广为非线性情形.剪切带的非线性应变软 论通过在屈服函数中引入二阶塑性应变梯度及内部 化本构关系由导出的最短普通混凝土试样峰后斜率 长度以考虑微小结构之间的相互影响和作用. 逆推.对其他较长的普通混凝土试样的应力一应变 线性应变软化剪切带模型（适用于单轴压缩条 曲线进行了预测，并与以前的实验结果？进行了比 件下的混凝土及岩石试样)[可以克服过去模 较. 型一的缺陷.一方面，具有一定厚度的剪切带内 1力学模型及理论分析 部的局部塑性剪切应变分布是不均匀的，这与实验 观测一致G山；另一方面应变局部化区是倾斜的， 1.1峰前的非线性应力一应变曲线 这与观测到的准脆性材料（例如混凝土及岩石）在单 图1()中给出了高度为L、受到轴向压缩应力 轴压缩条件下的剪切破坏2,813相吻合 ō的普通混凝土试样.根据内熵最大化原理应变 线性应变软化剪切带模型已被用于研究峰后体 局部化恰好启动于峰值应力.在此，假定应变局 积应变（考虑侧向应变的不均匀性）1、峰后泊松 部化以贯通试样两侧面的单一剪切带方式恰好启动 比14、总剪切断裂能的尺寸效应1、剪切带内部的 于单轴压缩强度.在峰后，剪切带的方向α及宽度 损伤局部化1（及结构的不稳定性1到等问题. w(根据梯度塑性理论w=2xL,其中【是描述材料 为了确定混凝土在拉伸条件下的本构关系，最 非均质性的内部长度参数)均保持为常量 直接的方法是测定混凝土单轴拉伸应力一应变曲 在峰前，尽管试样内部既有的微裂纹发生长大 线.刚性架的采用虽可在普通材料机上获得拉伸应 及新裂纹盟生，但是试样的宏观变形仍然可以近似 力一应变全曲线，但却普遍存在一些难于解决的问 看作是均匀的.在此，假定试样峰前内部发生均匀 题1.闭合伺服材料试验机出现之后，可以采用位 变形，Sott模型2四（见图1(b)被用于描述非线性 移控制模式来进行混凝土的单向拉伸实验.但是， 的峰前的本构关系： 混凝土单轴拉伸实验过程中同时保证几何对中和力 (1) 学对中十分困难.鉴于单轴拉伸实验的诸多缺陷， 文献19-21]采用逆分析法，通过采用不同的开裂准 式中，E是轴向应变ec是单轴压缩条件下峰值应力 则，建立了由混凝土梁三点弯曲实验获得的载荷-裂 ō。所对应的轴向应变. 纹张开位移曲线逆推混凝土在单轴拉伸条件下的本 ( (c) (d) 6 △E 图1单轴压缩条件下遭受到剪切破坏的普通混凝土模型(a),峰前非线性本构关系(b),峰后非线性应变软化本构关系()，以及单轴压 缩全程应力应变曲线（山 Fig.I Model of mormal concrete specimen subjected to shear failure in uniaxial compression (a),nonlinear constitutive rehtion before peak (b),noninear strain-softening relation after peak (c),and complete stress-strain curve under uniaxial compression d)

要的, 因而对混凝土应变软化过程的理解是特别重 要的.对混凝土峰后行为的不正确评估, 将不能较 好地预测混凝土柱的延性及极限轴向变形[ 2] . 在理论分析方面, 一些研究者考虑了启动于峰 值应力的应变局部化(以剪切带方式贯穿岩石或混 凝土试样, 且剪切带呈现应变软化行为), 分别利用 位移法[ 3-4] 及能量守恒法[ 5] , 推导了应力-应变曲线 峰后斜率的解析解.剪切带内部的局部塑性剪切应 变分布及剪切带厚度由梯度塑性理论描述[ 6] , 该理 论通过在屈服函数中引入二阶塑性应变梯度及内部 长度以考虑微小结构之间的相互影响和作用 . 线性应变软化剪切带模型( 适用于单轴压缩条 件下的混凝土及岩石试样) [ 3-5] 可以克服过去模 型[ 7-9] 的缺陷 .一方面, 具有一定厚度的剪切带内 部的局部塑性剪切应变分布是不均匀的, 这与实验 观测一致[ 10-11] ;另一方面, 应变局部化区是倾斜的, 这与观测到的准脆性材料(例如混凝土及岩石)在单 轴压缩条件下的剪切破坏[ 2, 8, 12] 相吻合 . 线性应变软化剪切带模型已被用于研究峰后体 积应变(考虑侧向应变的不均匀性) [ 13] 、峰后泊松 比[ 14] 、总剪切断裂能的尺寸效应[ 15] 、剪切带内部的 损伤局部化[ 16] 及结构的不稳定性[ 17-18] 等问题 . 为了确定混凝土在拉伸条件下的本构关系, 最 直接的方法是测定混凝土单轴拉伸应力-应变曲 线.刚性架的采用虽可在普通材料机上获得拉伸应 力-应变全曲线, 但却普遍存在一些难于解决的问 题[ 19] .闭合伺服材料试验机出现之后, 可以采用位 移控制模式来进行混凝土的单向拉伸实验.但是, 混凝土单轴拉伸实验过程中同时保证几何对中和力 学对中十分困难 .鉴于单轴拉伸实验的诸多缺陷, 文献[ 19-21] 采用逆分析法, 通过采用不同的开裂准 则, 建立了由混凝土梁三点弯曲实验获得的载荷-裂 纹张开位移曲线逆推混凝土在单轴拉伸条件下的本 构关系的方法, 并由反算得到的混凝土拉伸条件下 的软化本构关系对混凝土梁三点弯曲实验曲线进行 了预测, 获得了较为满意的结果.上述研究仅涉及 了混凝土拉伸软化本构关系的逆推, 未涉及单轴压 缩条件下混凝土剪切软化本构关系的逆推 . 本文将单轴压缩条件下遭受到剪切带(在峰值 应力之后呈现线性应变软化行为) 形式的单一剪切 破坏普通混凝土试样的峰后应力-应变曲线斜率的 解析解推广为非线性情形.剪切带的非线性应变软 化本构关系由导出的最短普通混凝土试样峰后斜率 逆推 .对其他较长的普通混凝土试样的应力-应变 曲线进行了预测, 并与以前的实验结果 [ 2] 进行了比 较 . 1 力学模型及理论分析 1.1 峰前的非线性应力-应变曲线 图 1( a)中给出了高度为 L 、受到轴向压缩应力 σ的普通混凝土试样 .根据内熵最大化原理, 应变 局部化恰好启动于峰值应力 [ 1] .在此, 假定应变局 部化以贯通试样两侧面的单一剪切带方式恰好启动 于单轴压缩强度 .在峰后, 剪切带的方向 α及宽度 w(根据梯度塑性理论 w =2πl, 其中 l 是描述材料 非均质性的内部长度参数) 均保持为常量 . 在峰前, 尽管试样内部既有的微裂纹发生长大 及新裂纹盟生, 但是试样的宏观变形仍然可以近似 看作是均匀的.在此, 假定试样峰前内部发生均匀 变形, Scott 模型[ 22] (见图 1( b)) 被用于描述非线性 的峰前的本构关系 : σ=σc 2ε εc - ε εc 2 ( 1) 式中, ε是轴向应变, εc 是单轴压缩条件下峰值应力 σc 所对应的轴向应变. 图1 单轴压缩条件下遭受到剪切破坏的普通混凝土模型( a) , 峰前非线性本构关系( b) , 峰后非线性应变软化本构关系( c) , 以及单轴压 缩全程应力-应变曲线( d) Fig.1 Model of normal concrete specimen subject ed t o shear f ailure in uniaxial compression ( a) , nonlinear constitutive relation bef ore peak (b) , nonlinear strain-softening relation aft er peak ( c) , and complet e stress-strain curve under uniaxial compression ( d) · 26 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第1期 王学滨等：单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 27。 将。对e微分，可以得到： 变的增量.当一△t/ci乘以w,可以获得平均塑性 2- (2) 剪切变形的增量.该增量可以分解为水平及垂直部 分，垂直部分等于△. 在Smn模型中初始弹性模量E=.-。为 根据剪切带之外任意弹性体在水平及垂直方向 上的平衡条件，可以得到依赖于o:及α的的表达 20e Ee 式.类似地，计1与o+1有关.差值G一计1可以表 示为： 12宏观非线性应力一应变曲线峰后斜率推导 当应变局部化启动之后，剪切带之外的混凝土 -+1=听二)n2a 2 (7) 将根据初始弹性模量E卸载.假定剪切带内部混 总轴向变形增量△⑧可被分解为△与△. 凝土的破坏由与y轴（其原点O位于剪切带的中 这种方法被称之为位移法.这样，△©可以写 心)垂直的剪切应力τ引起，见图1(.忽略作用于 为： 剪切带边界上的压缩应力对剪切带内部混凝土破坏 △G=△&+△8 (8) 的影响.剪切带内部混凝土的非线性应变软化本构 总轴向应变的增量△ei为： 关系见图1(c.图1(d)是在单轴压缩条件下通过 测量得到的一个典型全程应力一应变曲线. a-=29 (9) 若干线段可以近似替代一条非线性曲线.若这 利用式(4)~(9)，可以得到下列表达式： 些线段的长度足够小，则这种线性化处理不会导致 1-wcos asina- 过大的误差.t一Y曲线上的线段的一个典型aa 入 △EE 10) Lc 及一e曲线上的线段的一个典型bb分别见图1(c) 1.3峰后的非线性软化本构关系预测 和(d).两个线段的斜率分别为一c:及入.c:及入 由式10)可以发现，推导出的宏观应力一应变 可以分别表示为： 曲线的峰后斜率入依赖于混凝土试样的几何尺寸. 9=一=-会≥0 3 因此，入不能被视为一个材料特性.事实上，它既反 △YB 映了本构参数效应，又反映了几何参数效应 入，=+1-i△ 利用式(3)及式(7)，可以分别得到c:及△的 △Ei =△ (4) 表达式： 式中，YP是剪切带内部的平均塑性剪切应变：△ ci=wcos asin a1 △e-1 E△o 11) 及△E,分别是剪切带内部的平均塑性剪切应变的增 L 量及轴向应变的增量；c:被称之为剪切软化模量， △yg=+sin2a (12) 保持为正值是因线段而异的一个本构参数描述材 料的峰后脆性：入是宏观应力一应变曲线的峰后斜 利用某种尺寸的实测应力一应变曲线，且选择 率，可正可负，入不是本构参数：△：是当压缩应力 合适的w及a值，已知△Ei、△oi、E及L,随剪切应 从：降至+1时作用于剪切带上的剪切应力的增 力而变化的剪切软化模量G可由式(11)确定.另 量：△σ：是作用于混凝土试样上、下端面的压缩应力 外，需要考虑下列初始条件：当i=1时，=τe且 的增量. o1=6。.当C:确定之后，△Y可由式(12)计算.对 在峰后，当压缩应力从ō；降至+1时，由虎克 △Y求和，可以得到Y. 定律，轴向弹性变形的增量△香可以表示为： 一旦反算出了峰后的非线性软化本构关系，利 △--g4K0 用式(1)及式(10)就可以预测其他高度的混凝土试 (5) 样的峰后应力应变曲线. 假定混凝土高度方向上的塑性变形源于沿着剪 切带剪切方向上的剪切滑移.这样，轴向塑性变形 2算例及讨论 的增量△零可以表示为： 在单轴压缩条件下，高度为0.2m的普通混凝 △G=-w△osa=-t山wms心0(6) 土试样的典型应力-应变曲线？见图2(a).在本文 G 中，将峰后的应力一应变曲线用16段线段(17个数 式中，一△τ/G等于剪切带内部的平均塑性剪切应 据点)近似.利用o。=45MPa、I=0.002m、L=

将 σ对ε微分, 可以得到: d σ dε =σc 2 εc -2ε ε2 c ( 2) 在Sco tt 模型中, 初始弹性模量 E = dσ dεε=0为 2σc εc . 1.2 宏观非线性应力-应变曲线峰后斜率推导 当应变局部化启动之后, 剪切带之外的混凝土 将根据初始弹性模量 E 卸载 .假定剪切带内部混 凝土的破坏由与 y 轴( 其原点 O 位于剪切带的中 心)垂直的剪切应力 τ引起, 见图1( a) .忽略作用于 剪切带边界上的压缩应力对剪切带内部混凝土破坏 的影响.剪切带内部混凝土的非线性应变软化本构 关系见图 1( c) .图 1( d) 是在单轴压缩条件下通过 测量得到的一个典型全程应力-应变曲线. 若干线段可以近似替代一条非线性曲线.若这 些线段的长度足够小, 则这种线性化处理不会导致 过大的误差 .τ-γ p 曲线上的线段的一个典型 aa′ 及σ-ε曲线上的线段的一个典型bb′分别见图 1( c) 和( d) .两个线段的斜率分别为 -ci 及 λi .ci 及 λi 可以分别表示为 : ci =- τi +1 -τi Δγp i =- Δτi Δγp i >0 ( 3) λi = σi+1 -σi Δεi = Δσi Δεi ( 4) 式中, γp 是剪切带内部的平均塑性剪切应变;Δγp i 及 Δεi 分别是剪切带内部的平均塑性剪切应变的增 量及轴向应变的增量 ;ci 被称之为剪切软化模量, 保持为正值, 是因线段而异的一个本构参数, 描述材 料的峰后脆性;λi 是宏观应力-应变曲线的峰后斜 率, 可正可负, λi 不是本构参数;Δτi 是当压缩应力 从σi 降至 σi+1时作用于剪切带上的剪切应力的增 量;Δσi 是作用于混凝土试样上 、下端面的压缩应力 的增量. 在峰后, 当压缩应力从 σi 降至 σi +1时, 由虎克 定律, 轴向弹性变形的增量 Δδe i 可以表示为 : Δδ e i = ΔσiL E = σi+1 -σi E L <0 ( 5) 假定混凝土高度方向上的塑性变形源于沿着剪 切带剪切方向上的剪切滑移.这样, 轴向塑性变形 的增量 Δδp i 可以表示为 : Δδp i =- w Δτicosα ci = τi -τi +1 ci wcosα>0 ( 6) 式中, -Δτi/ ci 等于剪切带内部的平均塑性剪切应 变的增量 .当 -Δτi/ ci 乘以 w , 可以获得平均塑性 剪切变形的增量.该增量可以分解为水平及垂直部 分, 垂直部分等于 Δδp i . 根据剪切带之外任意弹性体在水平及垂直方向 上的平衡条件, 可以得到依赖于 σi 及α的 τi 的表达 式 .类似地, τi+1与 σi +1有关.差值 τi -τi+1可以表 示为: τi -τi +1 = σi -σi+1 2 sin2α ( 7) 总轴向变形增量 Δδi 可被分解为 Δδ e i 与 Δδ p i . 这种方法被称之为位移法 [ 3-4] .这样, Δδi 可以写 为 : Δδi =Δδe i +Δδp i ( 8) 总轴向应变的增量 Δεi 为 : Δεi = Δδi L ( 9) 利用式( 4) ～ ( 9), 可以得到下列表达式: λi = Δσi Δεi = 1 E -w cos 2 αsinα Lci -1 ( 10) 1.3 峰后的非线性软化本构关系预测 由式( 10) 可以发现, 推导出的宏观应力-应变 曲线的峰后斜率 λi 依赖于混凝土试样的几何尺寸. 因此, λi 不能被视为一个材料特性.事实上, 它既反 映了本构参数效应, 又反映了几何参数效应. 利用式( 3)及式( 7), 可以分别得到 ci 及 Δγp i 的 表达式 : ci = wcos 2αsin α L 1 E - Δεi Δσi -1 ( 11) Δγp i = σi -σi +1 2ci sin2 α ( 12) 利用某种尺寸的实测应力-应变曲线, 且选择 合适的 w 及 α值, 已知 Δεi 、Δσi 、E 及 L, 随剪切应 力而变化的剪切软化模量 ci 可由式( 11) 确定 .另 外,需要考虑下列初始条件 :当 i =1 时, τ1 =τc 且 σ1 =σc .当 ci 确定之后, Δγp i 可由式( 12) 计算 .对 Δγp i 求和, 可以得到 γp . 一旦反算出了峰后的非线性软化本构关系, 利 用式( 1) 及式( 10)就可以预测其他高度的混凝土试 样的峰后应力-应变曲线 . 2 算例及讨论 在单轴压缩条件下, 高度为 0.2 m 的普通混凝 土试样的典型应力-应变曲线[ 2] 见图 2( a) .在本文 中, 将峰后的应力-应变曲线用 16 段线段( 17 个数 据点) 近似.利用 σc =45 M Pa 、l =0.002 m 、L = 第 1 期 王学滨等:单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 · 27 ·

。28· 北京科技大学学报 第31卷 0.2m、a=30及E=45GPa,根据图2(a)计算得到 系和实测的应力一应变曲线具有类似的形态（仅仅 的峰后应变软化本构关系见图2(b).可以发现预 是形态上类似横、纵坐标的含义都不同.例如：在 测的软化本构关系是非线性的，就如同实测的应力 峰值应力稍后，二者都是上凸的：随后，有一拐点：然 应变曲线（图2(a)一样.而且，预测的软化本构关 后，二者都是上凹的 S (a) 209o O实验结果) 40 40 一预测结果 15 L=0.2m 30 30 L-0.25m 620 20 ee 10 0.05 0.10 09 4 6 0.15 0.20 2 e103 y e/10-1 50 50 50 (d) (e) (f) 40 O实验结果四 O实验结果 O实验结巢网 ~预测结果 30 L035m 0 20 CDSSSS 一预测结果 一预测结果 L-0.45m L-0.55m 20 10 e101 e10-3 e103 图2实验得到的普通混凝士试样（高度0.2m)的应广应变曲线(a),反算出的峰后排线性应变软化本构关系(b),预测的其他高度普通 混凝土试样的应力应变曲线与实验结果斗的比较(c~) Fig 2 Experimental detemined stress strain curve of anormal concrete specimen w ith 2m in height measured under uniaxial compression 2(a) back-calculated nonlrear strain-softening constitutive relation after peak(b),and predicted stressstrain curves of other longer concrete specimens and com parison with experimental results(c to f 由于每一段实测的应力一应变曲线都可以计算 0.0008.然而，计算得到的剪切带内部的平均塑性 出一段软化本构关系，因而软化本构关系也由16段 剪切应变的最大值已经大于0.1，已经超过了最大 线段(17个数据点)构成.此外，还可以发现，用于 轴向应变120倍，见图2b).这意味着若峰后应力 近似实测的应力一应变曲线的两个数据点之间的距 应变曲线被视为一个本构关系则在呈现应变软化 离越近，则反算出的用于近似软化本构关系的两个 行为的加筋混凝土结构设计中，混凝土柱的峰后延 数据点之间的距离也越近. 性及极限轴向变形将被极大地低估. 预测的其他较长的普通混凝土试样的应力应 在本文中，最短混凝土试样(L=0.2m)的应 变曲线与实验结果的比较分别见图2(c~f).可 力一应变曲线被用于峰后非线性应变软化本构关系 以发现，应力一应变曲线的预测结果与实验结果吻 的估算.对于较高的试样(L=0.45m及055m), 合较好.这一方面说明Sot模型可以很好地描述 在应变软化阶段的晚期阶段预测的峰后应力一应 混凝土试样均匀变形阶段的非线性的本构关系，同 变曲线比实验结果稍显平缓，见图2(e,). 时也说明本文提出的软化阶段应力一应变曲线的预 毫无疑问，端面约束对L=0.2m的试样的应 测方法是可靠的. 力一应变曲线有较大的贡献而对于较高的试样，端 预测的峰后应力一应变曲线具有尺寸依赖性. 面约束的作用可以忽略.上文提过，预测的峰后应 试样越高，应力一应变曲线的峰后分支越陡峭.这一 力一应变曲线比实验结果平缓，这是由于估算的本 现象不仅在定量上与实验结果吻合，还在定性上 构关系平缓的缘故.估算的本构关系平缓是由于端 与其他的实验结果一致. 面约束使L=02m的试样的应力-应变曲线的平 图2(a)表明，最大轴向应变的测量值小于 缓性增加.由这一平缓的应力一应变曲线估算本构

0.2 m 、α=30°及 E =45 GPa, 根据图 2( a) 计算得到 的峰后应变软化本构关系见图 2( b) .可以发现, 预 测的软化本构关系是非线性的, 就如同实测的应力- 应变曲线( 图 2( a)) 一样.而且, 预测的软化本构关 系和实测的应力-应变曲线具有类似的形态( 仅仅 是形态上类似, 横 、纵坐标的含义都不同) .例如 :在 峰值应力稍后, 二者都是上凸的 ;随后, 有一拐点 ;然 后, 二者都是上凹的. 图 2 实验得到的普通混凝土试样( 高度 0.2 m) 的应力-应变曲线[ 2] ( a) , 反算出的峰后非线性应变软化本构关系( b) , 预测的其他高度普通 混凝土试样的应力-应变曲线与实验结果[ 2] 的比较( c～ f) Fig.2 Experimental determined stress-strain curve of a normal concret e specimen w ith 0.2m in height measured under uniaxial compression [ 2] ( a) , back-calculated nonlinear strain-softening constitutive relation aft er peak ( b) , and predict ed stress-strain curves of other longer concrete specimens and com parison with experiment al results [ 2] ( c t o f) 由于每一段实测的应力-应变曲线都可以计算 出一段软化本构关系, 因而软化本构关系也由 16 段 线段( 17 个数据点) 构成.此外, 还可以发现, 用于 近似实测的应力-应变曲线的两个数据点之间的距 离越近, 则反算出的用于近似软化本构关系的两个 数据点之间的距离也越近 . 预测的其他较长的普通混凝土试样的应力-应 变曲线与实验结果[ 2] 的比较分别见图 2( c ～ f) .可 以发现, 应力-应变曲线的预测结果与实验结果吻 合较好.这一方面说明 Scott 模型可以很好地描述 混凝土试样均匀变形阶段的非线性的本构关系, 同 时也说明本文提出的软化阶段应力-应变曲线的预 测方法是可靠的 . 预测的峰后应力-应变曲线具有尺寸依赖性 . 试样越高, 应力-应变曲线的峰后分支越陡峭.这一 现象不仅在定量上与实验结果[ 2] 吻合, 还在定性上 与其他的实验结果[ 23] 一致 . 图2 ( a ) 表明, 最大轴向应变的测量值小于 0.000 8 .然而, 计算得到的剪切带内部的平均塑性 剪切应变的最大值已经大于 0.1, 已经超过了最大 轴向应变120 倍, 见图 2( b) .这意味着若峰后应力- 应变曲线被视为一个本构关系, 则在呈现应变软化 行为的加筋混凝土结构设计中, 混凝土柱的峰后延 性及极限轴向变形将被极大地低估. 在本文中, 最短混凝土试样( L =0.2 m) 的应 力-应变曲线被用于峰后非线性应变软化本构关系 的估算.对于较高的试样( L =0.45 m 及 0.55 m), 在应变软化阶段的晚期阶段, 预测的峰后应力-应 变曲线比实验结果稍显平缓, 见图 2( e, f) . 毫无疑问, 端面约束对 L =0.2 m 的试样的应 力-应变曲线有较大的贡献, 而对于较高的试样, 端 面约束的作用可以忽略 .上文提过, 预测的峰后应 力-应变曲线比实验结果平缓, 这是由于估算的本 构关系平缓的缘故 .估算的本构关系平缓是由于端 面约束使 L =0.2 m 的试样的应力-应变曲线的平 缓性增加 .由这一平缓的应力-应变曲线估算本构 · 28 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第1期 王学滨等：单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 29。 关系，自然使本构关系平缓，再由这一本构关系预测 al compression fracture energy of concrete.J Wuhan Univ Tech- 较高的试样的应力应变曲线，自然使预测的峰后 nol Mater Sci Ed.2003.18(4):89 [4 Wang X B.Analytical solution of complete stress strain curve in 应力一应变曲线比实验结果平缓. uniaxial com pression based on gradient-dependent pasticityEu 在软化阶段后期，实测曲线与预测的峰后应力 rock 2005-Impact of Human Activity on the Geologial En viron- 应变曲线尚有一定程度差别的另一方面的原因是， ment.London:Taylor Francis Gmup,2005:661 在软化阶段的后期，在剪切带的中心位置出现了一 [5 Wang X B.Prediction of height effect,plastic defomation and 定长度的真实剪切裂纹，剪切裂纹之间的摩擦力将 fracture energy for high-strength concwete by linear shear soften- 起到重要的作用（这一现象本文的连续介质模型尚 ing constit utive weltion based on energy conservation method. Mag Concr Res,2007,595):341 不能描述). [6 De Borst R.Muhlhaus H B.Gradent-dependent plasticity:for 总之，在混凝土单轴压缩条件下，本文已经将遭 multion and algorithmic aspects Int J Numer Methods Eng, 受到剪切带破坏形式的单一剪切破坏试样的峰后应 1992.35(3):521 力一应变曲线斜率的解析解推广为非线性情形.在 [7 Zhou G L Tham L G,Lee P KK,et al.A phenomenological 峰值应力之前，采用Scot模型描述混凝土试样均 constitutive model for mocks w ith shear failure mode.Int/Numer Anal Methods Gomech,2001,25(4):391 匀变形阶段的非线性的本构关系；在应变软化阶段， [8 Labuz J F,Bioki L.Chss I vs class II stahiity:a demonstra- 为了建立宏观应力一应变曲线峰后斜率的表达式， tion of size effect.Int J Rock Mech Min Sci,1991,28(2/3): 使用了剪切带的非线性应变软化本构关系（式(3）)、 199 弹性体弹性卸载本构关系（式(5）)、弹性体静力平衡 [9 Schryer H L.Analytical solutions for nonlinear strain-gradient 条件（式(7）和一些几何关系（式(5）、式(6)及 softening and localizat ion.J Appl Mech,1990.57(3):522. 10 Muhlhaus H B.Vardoulkis I.The thickness of shear bands in 式(9).剪切带的非线性应变软化本构关系由导出 granular materials.Cotechnique.1987.37(3):271 的最短的普通混凝土试样应力一应变曲线峰后斜率 11]Alshibli K A,Sture S.Sand shear band thickness measurements 反算.利用得到的峰后本构关系，对其他较长的普 by digital imaging techniques.J Comput Civil Eng,1999.13 通混凝土试样（由于试样高度过大而难于实验）的应 (2):103 力一应变曲线进行了预测. [12 Okubo S,Nishimatsu Y.Uniaxial compression testing using a linear combination of stress and strain as the control variable. 3结论 Int J Rock Mech Min Sci.1985.22(5):323 13]Wang X B.Volme change of beterogeneous quasi-brittle mate- 利用本文方法预测的峰后应力一应变曲线依赖 rials in uriaxial compression.J Wuhan Univ Techndl Mater Sci 于试样的高度.试样越高，应力一应变曲线的峰后分 Ed,2006.21(3):162 支越陡峭.对于较高的试样，在应变软化阶段的后 14 Wang X B.Analysis of the post-peak Poisson's rat io of rock 期，预测的峰后应力一应变曲线比实验结果稍显平 specimens in uniaxial compression.Eng Mech,2006.23(4): 多 缓，这意味着端面约束效应（当试样高度较矮时，其 (王学滨。岩样单轴压缩蜂后泊松比理论研究.工程力学， 作用比较显著)将使峰后应力一应变曲线变得不陡 2006.23(4):99) 峭. [15]Wang X B.Size effect of shear fracture energy of concrete in 估算的剪切带内部的平均塑性剪切应变远大于 uniaxial comn pression basedon gradient-dependent plasticity.Key 在单轴压缩条件下测得的轴向应变的最大值.这意 Eng Mater,2006.312:299 [16 Wang X B.Local and global damages of quasi britth material in 味着若峰后应力一应变曲线被视为一个本构关系， uniaxial com pression basedon gradient-dependent plasticity.Key 则混凝土柱的峰后延性及极限变形将被极大地低 Eng Ma1e,2005,293/294:719 估. 17]Wang X B.Unified amlytical stress strain curve for quasibrit tle geomaterial in uniaxial tension,direct shear and uniaxial com- 参考文献 pression.J Cent South Univ Technol,2006,13(1):99 [ Ottosen N S.Themodynamic consequences of strain softering in 18 Wang X B.Unified instability criterion for quasibrittle materia tension.J Eng Mech,1986.112(11):1152 in uniaxial tension,direct shear and uniaxial compression subject- [2]Jansen D C.Shah S P.Effect of length on compressive strain ed to shear failure Euro-C Conference 2006-Computational softening of concrete.J Eng Mech,1997,123(1):25 Modelling of Concrete Structures.London:Taybr Fmancis [3]Wang X B.Pan YS.Effect of relative stress on post-peak uniaxi- Gmup,2006:467 (下转第47页)

关系, 自然使本构关系平缓, 再由这一本构关系预测 较高的试样的应力-应变曲线, 自然使预测的峰后 应力-应变曲线比实验结果平缓. 在软化阶段后期, 实测曲线与预测的峰后应力- 应变曲线尚有一定程度差别的另一方面的原因是, 在软化阶段的后期, 在剪切带的中心位置出现了一 定长度的真实剪切裂纹, 剪切裂纹之间的摩擦力将 起到重要的作用(这一现象本文的连续介质模型尚 不能描述) . 总之, 在混凝土单轴压缩条件下, 本文已经将遭 受到剪切带破坏形式的单一剪切破坏试样的峰后应 力-应变曲线斜率的解析解推广为非线性情形.在 峰值应力之前, 采用 Scott 模型描述混凝土试样均 匀变形阶段的非线性的本构关系;在应变软化阶段, 为了建立宏观应力-应变曲线峰后斜率的表达式, 使用了剪切带的非线性应变软化本构关系(式( 3) ) 、 弹性体弹性卸载本构关系(式( 5)) 、弹性体静力平衡 条件( 式 ( 7)) 和一些几何关系( 式( 5) 、式 ( 6) 及 式( 9)) .剪切带的非线性应变软化本构关系由导出 的最短的普通混凝土试样应力-应变曲线峰后斜率 反算.利用得到的峰后本构关系, 对其他较长的普 通混凝土试样( 由于试样高度过大而难于实验)的应 力-应变曲线进行了预测. 3 结论 利用本文方法预测的峰后应力-应变曲线依赖 于试样的高度.试样越高, 应力-应变曲线的峰后分 支越陡峭.对于较高的试样, 在应变软化阶段的后 期, 预测的峰后应力-应变曲线比实验结果稍显平 缓, 这意味着端面约束效应(当试样高度较矮时, 其 作用比较显著) 将使峰后应力-应变曲线变得不陡 峭. 估算的剪切带内部的平均塑性剪切应变远大于 在单轴压缩条件下测得的轴向应变的最大值 .这意 味着若峰后应力-应变曲线被视为一个本构关系, 则混凝土柱的峰后延性及极限变形将被极大地低 估. 参 考 文 献 [ 1] Ottosen N S.Thermodynamic consequences of strain softening in t ension.J Eng Mech , 1986, 112( 11) :1152 [ 2] Jansen D C, Shah S P .Effect of length on compressive strain softening of concrete.J E ng Mech , 1997, 123( 1) :25 [ 3] Wang X B, Pan Y S.Effect of relative stress on post-peak uniaxi￾al compression fracture energy of concrete .J Wuhan Univ Tech￾nol Mater Sci Ed , 2003, 18( 4) :89 [ 4] Wang X B .Analytical solution of complet e stress-strain curve in uniaxial com pression based on gradient-dependent plasticity ∥E u￾rock 2005-Impact o f Human Activit y on the Geologi ca l En viron￾men t .London:Taylor &Francis Group, 2005:661 [ 5] Wang X B.Prediction of height effect, plasti c def ormation and fractu re energy for high-strength concrete by linear shear soften￾ing constitutive relation based on energy conservation method. Mag Concr Res, 2007, 59( 5) :341 [ 6] De Borst R, Mǜ hlhaus H B .Gradient-dependent plasticity :f or￾mulation and algorithmic aspects.Int J Numer Methods Eng , 1992, 35( 3) :521 [ 7] Zhou G L, Tham L G, Lee P K K, et al.A phenomenological constitutive model f or rocks w ith shear f ailure mode.Int J Nu mer Anal Methods Geomech , 2001, 25( 4) :391 [ 8] Labuz J F, Biolzi L .C lass Ⅰ vs class Ⅱ stability :a demonstra￾tion of size effect .Int J Rock Mech Min Sci, 1991, 28 ( 2/ 3 ) : 199 [ 9] Sch reyer H L .Analytical solutions for nonlinear strain-gradient softening and localization.J Appl Mech , 1990, 57( 3) :522. [ 10] Mǜ hlhaus H B, Vardoulakis I .The thickness of shear bands in granular materials.Géotechnique, 1987, 37( 3) :271 [ 11] Alshibli K A, S tu re S.S and shear band thickness measurements by digital imaging techniques.J Comp ut Ci vil Eng , 1999, 13 ( 2) :103 [ 12] Okubo S , Nishimatsu Y .Uniaxial compression testing using a linear combination of stress and strain as the control variable . Int J Rock Mech Min S ci, 1985, 22( 5) :323 [ 13] Wang X B .Volume change of heterogeneous quasi-brittle mate￾rials in uniaxial compression.J Wuhan U niv Technol Mater Sci Ed , 2006, 21( 3) :162 [ 14] Wang X B .Analysis of the post-peak Poisson' s ratio of rock specimens in uniaxial compression.Eng Mech, 2006, 23 ( 4 ) : 99 ( 王学滨.岩样单轴压缩峰后泊松比理论研究.工程力学, 2006, 23( 4) :99) [ 15] Wang X B.Size eff ect of shear fracture energy of concret e in uniaxial com pression based on gradient-dependent plasticity .Key Eng Mat er, 2006, 312:299 [ 16] Wang X B.Local and global damages of quasi-brittle material in uniaxial com pression based on gradient-dependent plasticity .Key Eng Mat er, 2005, 293/ 294:719 [ 17] Wang X B .Unified analytical stress-strain curve for quasibrittle geomaterial in uniaxial t ension, direct shear and uniaxial com￾pression.J Cent Sou th Univ Technol, 2006, 13( 1) :99 [ 18] Wang X B.Unified instability criterion f or quasibrittle material in uniaxial tension, direct shear and uniaxial compression subject￾ed t o shear failure ∥Euro-C Con f erence 2006-Comp utationa l Modelling of Concrete S tructures.London:Taylor & Francis Group, 2006:467 ( 下转第 47 页) 第 1 期 王学滨等:单轴压缩条件下普通混凝土柱的峰后非线性尺寸效应 · 29 ·